第13章 三角形 课件 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第2课时　三角形的边 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　　　1．证明三角形的任意两边之和大于第三边；2．了解三角形的稳定性．(核心素养：运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识) 随堂测 知识导学 返回目录 1．三角形的三边关系：如图，从点A到点B的三条路线中，由“两点之间，线段最短”可知，最短的路线是第______条(填序号)，所以AC＋BC ______AB，移项可得AC______AB－BC，同理可得BC______AB－AC．(填“＞”“＜”或“＝”) ② 总结：三角形两边的和________第三边，两边的差________第三边． ＞ ＞ ＞ 大于 小于 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 2．组成三角形的条件：一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段______组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段________组成三角形．(填“能”或“不能”) 能 3．三角形的稳定性：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状________(填“会”或“不会”)改变，这说明三角形是具有__________的图形． 不能 不会 稳定性 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　组成三角形的条件 例1　下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (　　) A．1，3，5 B．3，4，8 C．3，6，3 D．7，7，9 训练　1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是 (　　) A．5，9，11 B．2，5，8 C．1，10，10 D．4，5，7 知识点 1 D B ） 第2课时　三角形的边 返回目录 例2　若一个三角形的两边长分别为4和5，则第三边的长x的取值范围为____________． 训练　2．若一个三角形的三边长分别为3，x，7，则x的取值范围为_____________． 1＜x＜9 4＜x＜10 　　　　1．判断三条线段能组成三角形的方法：较短的两条线段之和＞最长的线段； 2．已知三角形的两边长分别为a，b，则第三边长x的取值范围为：|a－b|＜x＜a＋b． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 　　　　　等腰三角形分类讨论 例3　已知△ABC是等腰三角形． (1)若AB＝5 cm，BC＝10 cm，则AC＝______cm； (2)若AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AC＝________cm． 知识点 2 10 5或8 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 训练　3．(RJ八上P10 T6改编)(1)已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，则它的周长为__________； (2)已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为______． 16或17 22 　　　　没有明确等腰三角形的腰和底边时，需要分类讨论，还应检验各种情况是否符合三角形的三边关系． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 训练　4．(RJ八上P6改编)用一条长为28 cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么三边长分别是多少？ 解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm． 由题意，得3x＋3x＋x＝28． 解得x＝4．∴3x＝12． ∴这个等腰三角形的三边长分别是12 cm，12 cm，4 cm． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 (2)能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形吗？若能，请求出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由． 解：能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形． ①当底边长为6 cm时，腰长为(28－6)÷2＝11(cm)． ②当腰长为6 cm时，底边长为28－6×2＝16(cm)． ∵6＋6＜16，不符合三角形的三边关系，∴此时不能围成三角形． 综上，能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形，等腰三角形的三边长分别为11 cm，11 cm，6 cm． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 　　　　　三角形的稳定性 例4　如图，手机支架采用了三角形结构，这样做的数学原理是____________________． 知识点 3 三角形具有稳定性 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 训练　5．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学原理是三角形具有________性． 稳定 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 课堂检测 返回目录 1．(2024淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是 (　　) A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm B ） 第2课时　三角形的边 返回目录 2．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学原理是 (　　) A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 D ） 第2课时　三角形的边 返回目录 3．如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD， 试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由． 解：AC＞BC． 理由：∵AD＋DC＝AC，AD＝BD， ∴BD＋DC＝AC． ∵BD＋DC＞BC， ∴AC＞BC． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 4．(RJ八上P10 T5)一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长． 解：分两种情况： ①当腰长为6时，底边长为20－6×2＝8． ②当底边长为6时，腰长为(20－6)÷2＝7． 综上，这个等腰三角形的其他两边的长分别为6，8或7，7． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 5．用一根长为7 cm的铁丝围成一个三条边长均为整厘米数的三角形，有几种不同的方案？请直接写出来． 解：有2种不同的方案： 方案一：三角形三边长分别为2 cm，2 cm，3 cm； 方案二：三角形三边长分别为3 cm，3 cm，1 cm． ） 第2课时　三角形的边 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．(2022广东)下列图形中有稳定性的是 (　　) A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 2．下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成一个三角形的是 (　　) A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 A D ） 第2课时　三角形的边 返回目录 3．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是____________________． 三角形具有稳定性 ） 第2课时　三角形的边 返回目录 4．已知一个三角形的三边长分别为2，x，7，则x的取值范围是____________． 5．一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为22 cm，则它的腰长为________________． 5＜x＜9 6 cm或8 cm ） 第2课时　三角形的边 返回目录 循环练 6．已知一个三角形的三个角的度数分别是90°，60°，30°，则这个三角形是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B ） 第2课时　三角形的边 返回目录 $$ 第1课时　三角形的概念 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　　　　　理解三角形及其内角等概念． 随堂测 知识导学 返回目录 1．三角形的相关概念   文字语言 图形语言 符号语言 三角形 由不在同一条直线上的三条线段_________ _________所组成的图形叫作三角形 边：AB，BC，AC或a，b，c； 顶点：点A，点B，点C； 内角(简称角)：∠A，∠B，∠C； 记作“△ABC”，读作“三角形ABC” 首尾顺 次相接 ） 第1课时　三角形的概念 返回目录   文字语言 图形语言 符号语言 等腰 三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 在△ABC中，AB＝AC． 腰：AB，AC；底边：BC； 顶角：∠A；底角：∠B，∠C 等边 三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形 在△ABC中，AB＝AC＝BC 等腰三角形和等边三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 2．三角形的分类 按角分类 按边分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三边都不相等的三角形 等边三角形 ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　三角形的相关概念 例1　观察图中的三角形，回答下列问题： (1)图中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：_____________________________； (2)以∠A为角的三角形是______________________； (3)以点D为顶点的三角形是______________________； (4)以AC为边的三角形是______________________． 知识点 1 3 △ABC，△ACD，△BCD △ABC，△ACD △ACD，△BCD △ABC，△ACD ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 训练　1．(RJ八上P4 T1改编)观察图中的三角形，回答下列问题： (2)以∠D为角的三角形是_____________________； (3)以点A为顶点的三角形是_____________________； (4)以BC为边的三角形是______________________________． (1)图中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：______________________________________________； 5 △ABE，△CDE，△BCE，△ABC，△BCD △CDE，△BCD △ABE，△ABC △BCE，△ABC，△BCD ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 　　　　　三角形的分类 例2　观察下列三角形，并把它们的标号填在相应的横线上． (1)锐角三角形：__________，直角三角形：________，钝角三角形：________； (2)等腰三角形：____________，等边三角形：______． 知识点 2 ③④⑥ ①⑤ ②⑦ ②④⑤⑥ ⑥ ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 训练　2．(RJ八上P3 T2改编)如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，用符号表示图中的三角形． (1)锐角三角形：____________； (2)直角三角形：___________________________________； (3)钝角三角形：____________． △ACE △ACD，△ADE，△ABD，△ABC △ABE ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 训练　3．(RJ八上P3 T1改编)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，用符号表示图中的三角形． (1)等腰三角形：__________________________________； (2)等边三角形：____________． △AOB，△AOC，△BOC，△ABC △ABC ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 课堂检测 返回目录 1．一个三角形的三个角的度数分别是89°，45°，46°，那么这个三角形是 (　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 B ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 2．如图，在△ABC中，点D，E在线段BC上． (1)图①中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：____________________________________ ___________________； (2)图①中以∠B为角的三角形是____________________________，以点D为顶点的三角形是___________________________，以AE为边的三角形是____________________________； 6 △ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD，△ABC △ABD，△ABE，△ABC △ABD，△ADE，△ACD △ADE，△ACE，△ABE ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 (3)如图①，若AB＝AC，AD＝BD＝AE＝DE＝CE，则等腰三角形有_________________________ ___________，等边三角形有____________； (4)如图②，若AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是线段DC上一点，且∠BAE是锐角，则锐角三角形有__________，直角三角形有__________ __________________，钝角三角形有____________ __________． △ABD，△ADE，△ACE， △ABC △ADE △ABE △ABD， △ADE，△ACD △ACE， △ABC ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 3．(RJ八上P4 T5改编)如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有 (　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 D 　　　　任意不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形． ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 (　　) C 2．判断正误：三角形按照边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形．______(填“√”或“×”) × ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 3．如图，四边形ABCD是长方形，E是对角线BD上一点，CE⊥BD，连接AE． (1)三角形ABE可记作____________，它的三条边分别是________ ____________，三个顶点分别是________________，三个内角分别是____________________________； △ABE AB， BE，AE 点A，B，E ∠ABE，∠AEB，∠BAE ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 (2)以CD为边的三角形有_____个，它们分别是______________ ________； (3)图中一共有_____个三角形，其中，锐角三角形为___________，直角三角形为____________________________________，钝角三角形为___________． 2 △CDE， △BCD 6 △ABE △BCE，△CDE，△ABD，△BCD △ADE ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 解：解不等式①，得x＞3． 解不等式②，得x≤10． ∴不等式组的解集为3＜x≤10． ） 第1课时　三角形的概念 返回目录 三角形 $$ 第4课时　画三角形的高 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 随堂测 课堂讲练 返回目录 　　　　　画三角形的高 例1　(RJ八上P9 T3改编)对于下面每个三角形，分别画出它的高，观察高的位置，并回答下列问题： 知识点 1 解：画三角形的高如答图1所示． 答图1 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 (1)如图①，锐角三角形ABC有_____条高，它们都在三角形的________(填“内部”或“外部”)，且在三角形的________(填“内部”或“外部”)交于一点； (2)如图②，直角三角形ABC有_____条高，有两条高恰好是它的两条__________，且它的所有高交于________顶点； 3 内部 内部 3 直角边 直角 答图1 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 (3)如图③，钝角三角形ABC有_____条高，有两条高在三角形的________(填“内部”或“外部”)，且它的所有高所在的直线在三角形的________(填“内部”或“外部”)交于一点． 3 外部 外部 答图1 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 　　　　　等面积法 例2　如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝14． (1)请画出△ABC的高AD，BE； 知识点 2 答图2 解：如答图2，线段AD，BE即为所求． ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 (2)若BE＝7，求AD的长．　　 解：∵AD，BE分别是BC，AC边上的高， 答图2 又AC＝12，BC＝14，BE＝7， ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 训练　1．如图，在△ABC中，AB＝4． (1)请画出△ABC的高AE，CD； 解：如答图3，线段AE，CD即为所求． 答图3 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 (2)若AE＝3，CD＝2，求BC的长． 解：∵AE，CD分别是△ABC的边BC，AB上的高， 又AB＝4，CD＝2，AE＝3， 答图3 　　　　等面积法，就是用两种不同的方式表示同一个图形的面积，从而构建方程求解的方法． ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 课堂检测 返回目录 1．下列说法错误的是 (　　) A．三角形的高是线段 B．锐角三角形的三条高交于一点 C．直角三角形只有一条高 D．有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形 C ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 2．在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画边BC上的高正确的是 (　　) D ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 3．如图，在由边长为1的小正方形组成 的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在 格点上，边AB的长为5． (1)画出△ABC的边BC上的高AD； (2)画出△ABC的边AB上的高CE； (3)△ABC的面积为______，CE的长为______． 解：(1)如答图4，线段AD即为所求． (2)如答图4，线段CE即为所求． 答图4 22 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 4．(RJ八上P10 T7改编)如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5．△ABC的高AD与高BE的比是________． 4∶5 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 5．【分类讨论】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为_____________． 90°或50° 分两种情况：①AD在△ABC的内部；②AD在△ABC的外部． ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD． (1)画出△ABD的边AB上的高DE； 解：如答图5，线段DE即为所求． 答图5 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 (2)若DE＝CD，求DE的长． 解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 答图5 ∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，AB＝10， 又DE＝CD，∴3DE＋5DE＝8DE＝24． ∴DE＝3． ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高，BD＝8．求PF＋PE的值． 解：如答图6，连接AP． ∵BD为△ABC的高， 答图6 ∵PF⊥AB，PE⊥AC，AB＝AC， ∴BD＝PF＋PE．∴PF＋PE＝8． ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．若一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 C ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AF⊥ BC，交BC的延长线于点F，BE⊥AC，交AC的延长线于点E，则△ABC的边BC上的高是线段 (　　) A．AF B．AE C．CD D．BE A ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°． (1)指出图中边BC，AC上的高； (2)画出边AB上的高CD； (3)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求边AB上的高CD的长． 解：(1)边BC上的高是线段AC，边AC上的高是线段BC． (2)如答图1，线段CD即为所求． 答图1 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 循环练 4．如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，AD是边BC上的高．若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积为_____． 2 ） 第4课时　画三角形的高 返回目录 $$ 第5课时　三角形的内角(1) 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　　　　　探索并证明三角形的内角和定理．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力) 随堂测 知识导学 返回目录 1．如图，已知△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 方法1：证明：如图，过点A作DE∥BC． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠1，∠C＝_______． ∵点D，A，E在同一条直线上， ∴∠1＋∠2＋∠3＝_________． ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°． ∠3 180° ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 方法2：证明：如图，过点C作CM∥AB，延长BC至点N． ∵CM∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2． ∵点B，C，N在同一条直线上， ∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°． ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°． 2．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　三角形的内角的简单计算 例1　已知△ABC． (1)若∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C＝_______°； (2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝______°； (3)若∠B＝50°，则∠A＋∠C＝_______°． 知识点 1 100 40 130 ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 训练　1．写出下列图形中x的值．         x＝______　 x ＝______　x＝______ 60 54 60 ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 例2　在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C．求∠C的度数． 解：设∠C＝x°，则∠B＝4x°． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴x＋4x＋20＝180． 解得x＝32．∴∠C＝32°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 训练　2．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠C－∠B＝15°．求∠A，∠B，∠C的度数． 解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，∠C＝(x＋15)°． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴3x＋x＋(x＋15)＝180． 解得x＝33．∴3x＝99，x＋15＝48． ∴∠A＝99°，∠B＝33°，∠C＝48°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 　　　　　三角形的内角与高、角平分线的综合 例3　(RJ八上P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝40°， 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°． 知识点 2 ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 训练　3．如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠BAC＝70°，∠C＝40°．求∠DAE的度数． 解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°， ∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°． ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－40°＝50°． ∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝50°－35°＝15°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 　　　　　三角形的内角的应用 例4　(RJ八上P12例2改编)如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A岛在C岛的北偏西40°方向．求从A岛看B，C两岛的视角∠BAC的度数． 知识点 3 解：由题意，得∠ABD＝30°，∠CBD＝80°，∠ACE＝40°． ∴∠ABC＝∠CBD－∠ABD＝80°－30°＝50°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 ∵BD∥CE，∴∠CBD＋∠BCE＝180°． ∴∠BCE＝180°－∠CBD＝180°－80°＝100°． ∴∠ACB＝∠BCE－∠ACE＝100°－40°＝60°． ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－50°－60°＝70°． 答：从A岛看B，C两岛的视角∠BAC的度数为70°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 训练　4．(RJ八上P17 T7改编)如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACB的度数． 解：由题意，得∠BAE＝40°，∠CAE＝15°，∠DBC＝80°． ∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝40°＋15°＝55°． ∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠BAE＝40°． ∴∠ABC＝∠DBC－∠ABD＝80°－40°＝40°． ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－40°－55°＝85°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 课堂检测 返回目录 1．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A的度数为________． 2．(RJ八上P13 T2改编)如图，在△ABC中，∠A＝40°， 则∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度数为_________． 30° 280° ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 3．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°．求∠BDC，∠EDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝180°－70°－30°＝80°． ∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 4．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠DOC的度数为________． 75° ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 5．【整体思想】如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BP与CP相交于点P． (1)若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠P＝_________；　 120° ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 (2)若∠A＝60°，求∠P的度数； (3)若∠A＝α，则∠P＝____________(用含α的式子表示)． 解：(2)∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°．　 ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．如图是一个缺角的△ABC，已知∠A＝45°，∠B＝60°，则这个三角形缺失的∠C的度数为_______． 75° ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 2．在如图所示的图形中，x的值为______． 60 ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 3．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，过点B作BE∥AD．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠C的度数为 (　　) A．65° B．75° C．85° D．95° B ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E．若∠B＝42°，∠C＝58°，求∠ADC及∠ADE的度数． 解：∵∠B＝42°，∠C＝58°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°． ∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝82°． ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°． ∴∠ADE＝180°－∠AED－∠DAC＝50°． ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 循环练 5．下列各选项中，正确画出△ABC的边AC上的高的是 (　　) B ） 第5课时　三角形的内角（1） 返回目录 $$ 第7课时　三角形的外角 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　　　　　1．理解三角形外角的概念；2．掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力) 随堂测 知识导学 返回目录 1．三角形的外角的概念：三角形的一边与另一边的__________组成的角，叫作三角形的外角． 2．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝________＋∠B． 延长线 ∠A ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它__________的两个内角的和． 几何语言：如图，∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠B． 注：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． 不相邻 ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　三角形的外角的概念 例1　下列各图中，∠1是△ABC的外角的是 (　　) 知识点 1 D ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 训练　1．如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC的外角的是 (　　) A．∠1，∠2 B．∠2，∠3 C．∠1，∠3 D．∠1，∠2，∠3 C ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 　　　　　三角形的外角的性质 例2　写出下列图形中∠α的度数． 知识点 2 ∠α＝_________　 ∠α＝________　 ∠α＝________ 113° 35° 40° ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 训练　2．(RJ八上P22 T4改编)下图中x的值为______． 60 ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 例3　(RJ八上P17 T5)如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°．求∠1和∠2的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠A＝40°． ∴∠2＝∠1＋∠D＝40°＋45°＝85°． ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 训练　3．(RJ八上P17 T6)如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．求∠C的度数． 解：∵AB∥CD， ∴∠DOE＝∠A＝45°． ∵∠DOE＝∠C＋∠E，∠C＝∠E， ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 　　　　　三角形的外角与内角的综合 例4　如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝32°．求∠BAC的度数． 解：∵∠3＝∠4，∠DAC＝32°， 知识点 3 ∴∠BAC＝∠1＋∠DAC＝37°＋32°＝69°． ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 训练　4．如图，点D在△ABC的边BC上，∠B＝ ∠BAD＝∠C，∠ADC＝72°．求∠DAC的度数． 解：∵∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝72°， ∴∠C＝∠B＝36°． ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－72°－36°＝72°． ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，则∠C＝ 　 　 　 (　　) A．35° B．40° C．45° D．55° C ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 2．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，D重合)，连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝ (　　) A．10° B．20° C．30° D．40° C ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 3．(RJ八上P15例4改编)如图，∠1＋∠2＋∠3的度数为_________． 360° ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 4．如图，五角星的顶点分别为A，B，C，D，E，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为(　　) A．90° B．180° C．270° D．360° B ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 5．如图，D为△ABC内任意一点，求证：∠BDC＞∠A．　 证明：如答图1，延长BD交AC于点E． ∵∠BDC是△DEC的一个外角， ∴∠BDC＞∠DEC． 又∠DEC是△ABE的一个外角， ∴∠DEC＞∠A． ∴∠BDC＞∠A． 答图1 ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 6．(RJ八上P17 T11)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B＋2∠E．   证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠B＋∠E． ∴∠BAC＝∠E＋∠ACE＝∠E＋∠B＋∠E＝∠B＋2∠E． ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为 (　　) A．40° B．50° C．55° D．60° D ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 2．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC的度数为 (　　) A．20° B．50° C．80° D．100° C ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 3．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为_________________．(用“＜”连接) ∠1＜∠2＜∠3 ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC. 求证：AD∥BC． 证明：∵∠B＝∠C， ∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B． ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD． ∴∠EAD＝∠B． ∴AD∥BC． ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 循环练 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．若∠BAD＝32°，则∠C的度数为________． 32° ） 第7课时　三角形的外角 返回目录 $$ 第6课时　三角形的内角(2) 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　1．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余； 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力) 随堂测 知识导学 返回目录 注：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，即直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． 图形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 直角三角形的两个锐角________． 几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝________ 有两个角________的三角形是直角三角形． 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＝________， ∴△ABC是直角三角形 互余 90° 互余 90° ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　直角三角形的性质 例1　(RJ八上P14例3改编)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：∠CAE＝∠DBE．理由如下： 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC． 在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED． ∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE． 知识点 1 ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 训练　1．(RJ八上P14 T1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 解：∠ACD＝∠B．理由如下： ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°．∴∠B＋∠BCD＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°． ∴∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD． ∴∠ACD＝∠B． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 　　　　　直角三角形的判定 例2　(RJ八上P14 T2改编)如图，在△ABC中，E是边AC上一点，过点E作ED⊥AB于点D．若∠1＝∠2，求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°． ∴∠A＋∠1＝90°． 又∠1＝∠2，∴∠A＋∠2＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 知识点 2 ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 训练　2．如图，AC⊥BD，垂足为C，∠A＝∠D． 求证：△BDE是直角三角形． 证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°． ∴∠A＋∠B＝90°． 又∠A＝∠D，∴∠B＋∠D＝90°． ∴△BDE是直角三角形． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 课堂检测 返回目录 1．在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 A ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 2．(RJ 八上P16 T1改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则x的值为 (　　) A．15 B．30 C．50 D．60 B ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 3．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 (　　) A．∠A＝90° B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．∠C＝∠A＋∠B D．∠A＋∠B＝90° B ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 4．(RJ 八上P16 T4改编)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．若∠1＝∠B，∠C＝65°，则∠BAC的度数为________． 70° ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 5．如图，CE⊥AD，AB⊥CD，垂足分别为E，B，∠C＝28°，则∠A的度数为________． 28° ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 6．(2024通辽)将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是(　　) A．45° B．35° C．30° D．25° B ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 7．【推理能力】(RJ八上P17 T10改编)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E． (1)若∠ACD＝80°，求∠E的度数； 解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，　 ∴∠CAB＝180°－∠ACD＝100°．　 ∵AE平分∠CAB，CE平分∠ACD， ∴∠E＝180°－∠CAE－∠ACE＝180°－50°－40°＝90°． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 (2)求证：△ACE是直角三角形． 证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＋∠ACD＝180°． ∵AE平分∠CAB，CE平分∠ACD， ∴△ACE是直角三角形． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 8．【等量代换】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．求证：∠CFE＝∠CEF． 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＋∠CEB＝90°．　 ∵CD⊥AB，∴∠FBD＋∠BFD＝90°． ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBD． ∴∠CEB＝∠BFD． ∵∠CFE＝∠BFD，∴∠CFE＝∠CEB，即∠CFE＝∠CEF． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2，则这个三角形是 (　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 A ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论中错误的是 (　　) A．∠A＝∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角 C．∠1＝∠2 D．图中有3个直角三角形 C ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 3．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为 (　　) A．55° B．45° C．35° D．25° C ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 4．如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O．若∠A＝60°，求∠BOC的度数． 解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°． ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°． ∵CE⊥AB，∴∠BEO＝90°． ∴∠EOB＝90°－∠ABD＝90°－30°＝60°． ∴∠BOC＝180°－∠EOB＝180°－60°＝120°． ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 循环练 5．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A的度数为________． 20° ） 第6课时　三角形的内角（2） 返回目录 $$ 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 知识导学 课堂讲练 第十三章　三角形 课堂检测 　　　　　　　　1．理解三角形的中线、角平分线、高线的概念；2．了解三角形重心的概念．(核心素养：运算能力、抽象能力、几何直观、模型观念) 随堂测 知识导学 返回目录 1．三角形的中线、角平分线、高   文字语言 图形语言 符号语言 三角形的中线 连接三角形的顶点与它对边的________的线段，叫作这个三角形的中线   ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝_________＝ ________， 中点 2CD 2BD S△ACD S△ABC ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录   文字语言 图形语言 符号语言 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的__________与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的________叫作三角形的角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝_________＝ 平分线 线段 ∠CAD ∠BAC ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录   文字语言 图形语言 符号语言 三角形 的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画________，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC，∠ADB＝____________＝90°，     垂线 ∠ADC ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 注： 1．任意三角形都有三条中线、三条角平分线、三条高，且它们都是线段； 2．三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心； 3．三角形的三条角平分线相交于一点； 4．三角形的三条高所在的直线相交于一点 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 课堂讲练 返回目录 　　　　　三角形的中线 例1　如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ACD的面积为8，则△ABC的面积为______． 知识点 1 16 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 训练　1．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为_____，△BCD的面积为_____．　 5 5 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 例2　如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝ 8，BC＝6．求△ABD与△BCD的周长差． 解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD． ∴C△ABD－C△BCD＝AB＋AD＋BD－(BC＋CD＋BD)＝AB－BC＝8－6＝2． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 训练　2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝7．若△ABD的周长比△ACD的周长多5，求AB的长． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD． 又C△ABD－C△ACD＝5， ∴AB＋AD＋BD－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝5． ∴AB＝AC＋5＝7＋5＝12． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 　　　　　三角形的角平分线 例3　如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，∠CBD＝30°，则∠ABC的度数为________． 知识点 2 60° ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 训练　3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线． (1)∠DAC的度数为_______； (2)∠ACB的度数为_______． 30° 80° 　　　三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 　　　　　三角形的面积 例4　如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若BC＝7，AD＝4，则S△ABC＝______． 知识点 3 14 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 训练　4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，BC＝5，则S△ABC＝______．　 20 　　　　三角形的高指的是顶点到它的对边所在直线的垂线段，而三角形面积公式中的“高”实际上是指高的长度，即一个顶点到对边所在直线的距离． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 课堂检测 返回目录 1．三角形的高、中线和角平分线都是 (　　) A．直线 B．射线 C．线段 D．以上答案都不对 C ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 2．如图，AE是△ABC的中线，D是线段BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是 (　　) D ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 4．如图，AD是△ABC的中线． (1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长之差为_____； 1 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 (2)过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积． 解：如答图1．∵AE⊥BC， ∴AE为△ACD的高． ∵AD是△ABC的中线， 答图1 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 5．如图，点D，E，F分别是△ABC三条边的中点，若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为_____． 3 　　　　连接AD，利用中线的性质可以得出△DCF和△BDE的面积，同理可以得出△AEF的面积． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 6．(RJ八上P10 T8改编)如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：∠1＝∠2． 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠DAF＝∠1，∠DAE＝∠2． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF＝∠DAE． ∴∠1＝∠2． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．三角形一边上的中线把该三角形分成两个 (　　) A．形状相同的三角形 B．周长相等的三角形 C．面积相等的三角形 D．直角三角形 C ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CM平分∠ACB，则∠BCM的度数为 (　　) A．15° B．30° C．35° D．45° B ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，若AB＝6，△ABD的周长比△ACD的周长多2，则AC的长为_____． 4 ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 4．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC的长． 解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，且S△ABD＝10， ∴S△ABC＝2S△ABD＝20． ∵AE是△ABC的边BC上的高， 又AE＝4，∴BC＝10． ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 循环练 5．在一场足球比赛中，甲、乙两名运动员与足球的距离分别为9 m，15 m，则甲、乙两人之间的距离d的取值范围为_______________． 6 m≤d≤24 m ） 第3课时　三角形的中线、角平分线、高 返回目录 S△ABD＝________＝ ________ ____________ S△ABC＝BC·AD $$