2026年中考数学一轮复习考点探究课件：锐角三角函数

锐角三角函数 1 内容要求 对应命题点 考频 核心素养 ①知道30°，45°，60°角的三角函数值. ②能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题 锐角三角函数 5年4考 几何直观 模型观念 创新意识 解直角三角形 5年6考 解直角三角形的应用 5年2考 2 知识点1　锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 则sin A=，cos A=，tan A=. 3 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4 【基础小练】 1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，则sin A的值是(　　) A. B. C. D. 2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cos A=，那么直角边AC长为 ___.  4 5 知识点2　解直角三角形 (1)三边的关系为_________.  (2)三角的关系为________________.  (3)边角关系为sin A=，cos A=，tan A=.  (设Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) a2+b2=c2 ∠A+∠B=∠C 6 【基础小练】 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上.已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20，则∠ABD=____°.  15 7 知识点3　解直角三角形的应用 仰角、俯 角问题 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角；视线在水平线下方的角叫作俯角   坡度(坡比)、 坡角问题 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比)；坡面与水平线的夹角叫作坡角.如图，坡比i=tan α=   方向角问题 一般以观察者的位置为中心，正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角.通常表达成北(南)偏东(西)多少度   8 【基础小练】 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC 的长是_____ 米.  6 9 命题点 1　锐角三角函数(5年4考) 1.(2022·广东)sin 30°=.  2.【拓展训练】在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则∠A的余弦 值为.  10 命题点 2　解直角三角形(5年6考) 3.【拓展训练】在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么 S△ABC为____.  7.5 11 4.(2021·广东)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB. (1)若AE=1，求△ABD的周长； (2)若AD=BD，求tan∠ABC的值. 12 解：(1)如图，连接BD， 设BC的垂直平分线交BC于点F， ∴BD=CD， ∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC. 又∵AB=CE，∴C△ABD=AC+CE=AE=1. 13 (2)设AD=x. ∵AD=BD，∴BD=3x. ∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x. 在Rt△ABD中，AB===2x. 在Rt△ABC中，tan∠ABC===. 14 命题点3　解直角三角形的应用(5年2考) 类型1　仰角、俯角问题 5.【开放性】 (2022·广州)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD=1.6 m，BC=5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度. 15 条件①：CE=1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分. 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40. 16 解：(1)∵BC=5CD，CD=1.6 m， ∴BC=5×1.6=8(m)， ∴BC的长为8 m. (2)选择条件①. 由题意得=，∴=，∴AB=12.8 m， ∴旗杆AB的高度为12.8 m. (选择条件②. 17 如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则BF=DC=1.6 m，DF=BC=8 m. 在Rt△ADF中，∠ADF=54.46°， ∴AF=DF·tan 54.46°≈8×1.40=11.2(m)， ∴AB=AF+BF≈11.2+1.6=12.8(m)， ∴旗杆AB的高度约为12.8 m.)(任选一种方法即可) 18 类型2　坡角、坡度(坡比)问题 6.【拓展训练】为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水 坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与 水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长. (结果精确到0.1米.参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18° ≈0.32) 19 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 由题意得AF⊥BC，DE=AF. ∵斜面AB的坡度i=3∶4， ∴=， ∴设AF=3x米，则BF=4x米. 在Rt△ABF中， AB===5x(米). 20 在Rt△DEC中， ∵∠C=18°，CD=20米， ∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米)， ∴AF=DE=6.2米，即3x=6.2， 解得x=，∴AB=5x≈10.3(米). 答：斜坡AB的长约为10.3米. 21 7.【拓展训练】如图1，某地根据各段隧道 空间情况，在不影响交通的情况下，加装 了大小、形状不一的19个人行逃生爬梯.如 图2，起初工程师计划修建一段坡角为50° (即∠ABC=50°，∠BAC=40°)的爬梯AB，从安全角度考虑，工程师对爬 梯的设计进行了修改，修建了AD，EF两段平行的爬梯，并在中间修建了 1米的水平平台DE，点C，B，F三点共线，小明实地测量后得到AC为4米， CF为5米. (1)求修改后的爬梯坡角比修改前的坡角减缓了多少度； (2)求修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离. (结果精确到0.1米.参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 22 解：(1)如图，延长AD交CF于点G. ∵DE∥ GF，DG∥ EF， ∴四边形DGFE是平行四边形， ∴DE=GF=1米， ∴CG=CF-GF=5-1=4(米). ∵AC=4米，∴AC=CG， ∴∠AGC=45°， ∴∠ABC-∠AGC=50°-45°=5°. 答：修改后的爬梯坡角比修改前的坡角减缓了5度. 23 (2)在Rt△ABC中， ∵tan∠BAC==， ∴CB=4×tan 40°≈4×0.84=3.36(米)， ∴BF=CF-CB≈5-3.36≈1.6(米). 答：修改后爬梯的底部F与修改前爬梯的底部B之间的距离约为1.6米. 24 类型3　方向角问题 8.【拓展训练】如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向，一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号) 25 解：如图，过点A向正东方向作射线AE，过点C向正西方向作射线CF，过点C向正北方向作射线CG，过点D作DH⊥l于点H， 则DH长即为所求的输油管道的最短长度. 由题意知AB=24千米， ∠BAC=60°，∠BAD=15°， ∠BCG=30°，CG∥ l， ∴∠CAD=45°， ∠ABC=∠BCG=30°， ∴∠ACB=90°， 26 ∴∠ADC=45°， ∴AC=CD. 在Rt△ABC中，AC=AB=12千米， ∴CD=AC=12千米，BC==12千米， ∴BD=BC-CD=(12-12)千米. 在Rt△BDH中，DH=BD=(6-6)千米. 答：输油管道的最短长度是(6-6)千米. 27 类型4　其他问题 9.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功， 3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械 臂的一种工作状态，当两臂AC=BC=10 m，两臂夹角∠ACB=100°时， 求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 50°≈0.766， cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192) 28 解：如图，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC=BC，CD⊥AB， ∴CD是△ABC的中线，也是∠ACB的平分线， ∴AB=2AD， ∠ACD=∠ACB=50°. 29 在Rt△ACD中，AC=10 m，∠ACD=50°， sin∠ACD=， ∴sin 50°=， ∴AD=10×sin 50°≈10×0.766=7.66(m)， ∴AB=2AD≈2×7.66=15.32≈15.3(m). 答：A，B两点间的距离约为15.3 m. 30 10.【情境化】[社会发展] (2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题： (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73) 31 解：(1)∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q=∠P=90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4 m， ∴AQ=AB·sin∠ABQ= m，∠QAB=30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°， ∴∠CBE=30°，∴BC== m， 32 ∴AD= m. ∵∠PAD=180°-30°-90°=60°， ∴AP=AD·cos∠PAD= m， ∴PQ=AP+AQ=+=≈6.1(m). 33 (2)在Rt△BCE中，BE==3.2 m， 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7 m. ∵该充电站有20个停车位， ∴QM=QB+20BE=66.7 m. ∵四边形ABCD是矩形，∴PN=QM=66.7 m. 34 【基础巩固】 1.在△ABC中，∠ABC=90°.若AC=100，sin A=，则AB的长是(　) A. B. C.60 D.80 35 2.(2025·清远二模)如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小 明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为80 m，其上升的垂直高度CB为40 m， 则斜坡AB的坡度为(　　)   A.30° B.2∶ C.1∶ D.1∶2 36 3.【情境化】[热点新闻] (2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　)  A.asin θ千米 B. 千米 C.acos θ千米 D. 千米 37 4.【情境化】[生产劳动] (2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼 的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部 点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50 m，则这栋楼的高度 为__________m.(结果保留根号)  (50+50) 38 5.(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼” 的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高 度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处， 测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°， 则测得黄鹤楼 的高度是____m.(参考数据：tan 63°≈2)  51 39 【能力提升】 6.(2024·眉山)如图，斜坡CD的坡度i=1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平 面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影 子BE长为10米，则大树AB的高为____________米.  (4-2) 40 7.【情境化】[热点新闻] (2024·广州)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米. (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， 求模拟装置从A点下降到B点的时间. (参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80， tan 36.87°≈0.75) 41 解：(1)如图. 由题意得AC⊥CD，BE∥ CD， ∴∠BDC=∠EBD=36.87°. 在Rt△BCD中，BD=10米， ∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米)， ∴CD的长约为8米. 42 (2)在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°， ∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.6=6(米). 在Rt△ACD中，AD=17米，CD=8米， ∴AC===15(米)， ∴AB=AC-BC=15-6=9(米). ∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5(秒)， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒. 43 $$