17.2 用公式法分解因式 同步练习 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

2025-2026学年数学人教版八年级上册 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式（同步练习）（解析） 一、选择题 1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游 2．把多项式 因式分解之后，正确的结果是(　　). A．(x+y+3)(x-y-1) B．(x+y-1)(x-y+3) C．(x+y-3)(x-y+1) D．(x+y+1)(x-y-3) 3．下列因式分解结果不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．如果多项式能被整除，那么的值是（　　） A． B． C．3 D．6 6．已知实数满足，则代数式的值为（　　） A．9 B．7 C．0 D． 二、填空题 7．分解因式： =　 　. 8．因式分解： 　 　． 9．分解因式： =　 　． 10．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 　 　． 11．若，且，为不大于的正整数，则　 　． 12．已知，，则代数式的值为　 　． 三、解答题 13．分解因式： （1） （2）(p-4)(p+1)+3p. 14．如图，在中，点D、E分别是AC、AB上的点，，BD、CE相交于点Q．点F在CE延长线上，，且. （1）求证：； （2）判断AB与CF的大小关系，并说明理由． （3）若，，，且，求的周长值． 15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 . 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为　 　；②计算： 　 　. （2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b； （3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值. 16．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年数学人教版八年级上册 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式（同步练习）（解析） 一、选择题 1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游 2．把多项式 因式分解之后，正确的结果是(　　). A．(x+y+3)(x-y-1) B．(x+y-1)(x-y+3) C．(x+y-3)(x-y+1) D．(x+y+1)(x-y-3) 3．下列因式分解结果不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．如果多项式能被整除，那么的值是（　　） A． B． C．3 D．6 6．已知实数满足，则代数式的值为（　　） A．9 B．7 C．0 D． 二、填空题 7．分解因式： =　 　. 8．因式分解： 　 　． 9．分解因式： =　 　． 10．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 　 　． 11．若，且，为不大于的正整数，则　 　． 12．已知，，则代数式的值为　 　． 三、解答题 13．分解因式： （1） （2）(p-4)(p+1)+3p. 14．如图，在中，点D、E分别是AC、AB上的点，，BD、CE相交于点Q．点F在CE延长线上，，且. （1）求证：； （2）判断AB与CF的大小关系，并说明理由． （3）若，，，且，求的周长值． 15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 . 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为　 　；②计算： 　 　. （2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b； （3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值. 16．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 参考答案解析 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ =， ∴信息中的汉字有：华、我、爱、中. ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华. 故答案为：A. 【分析】先提取公因式分解，再利用平方差公式进行第二次分解得到结果，然后观察所包含的因式得出信息中的汉字，即可得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解： =x2-2x+1-y2-4y-4-1+4-3 =(x2-2x+1)-(y2+4y+4) =(x-1)2-(y+2)2 =(x-1+y+2)(x-1-y-2) = (x+y+1)(x-y-3) . 故答案为： (x+y+1)(x-y-3) . 【分析】首先根据完全平方公式，得出(x-1)2-(y+2)2，再利用平方差公式，即可进行因式分解。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵x2−3x＝x（x−3），∴A不符合题意； B、∵x2＋4x＋4＝（x＋2）2，∴B不符合题意； C、∵x2−2＝（x＋）（x−），∴C符合题意； D、∵（a−1）2−4（a−2）＝a2−6a＋9＝（a−3）2，∴D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用因式分解的定义及因式分解的计算方法逐项分析判断即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、 不能用平方差公式进行因式分解 ，不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解 ，符合题意； C、 不能用平方差公式进行因式分解 ，不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解 ，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】熟练掌握平方差公式的结构特征进行因式分解即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵多项式能被整除， 则 则， ∴， ∴． ∴， 即， 故答案为：A． 【分析】由于多项式能被整除，则能分解因式，再对应求出a、b的值，然后代入计算即可求解.​​​​​​​ 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ， 故答案为：B. 【分析】根据题意可知 ， ，把a3变形为，再利用整体思想计算即可. 7．【答案】 【解析】【解答】原式 故答案为： 【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。 8．【答案】 【解析】【解答】 ， 故答案为： ． 【分析】直接利用完全平方公式分解即可. 9．【答案】 【解析】【解答】解： = = = 故答案为： ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。 10．【答案】12 【解析】【解答】解： a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0， a、b、c是等腰△ABC的三边长， 当 为腰时，则另一腰 此时 三角形不存在，舍去， 当 为底时，则腰 此时 三角形存在， △ABC的周长为 故答案为：12 【分析】先利用分组分解因式可得再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再根据等腰三角形的性质及三边的关系分两种情况求解即可。 11．【答案】13 【解析】【解答】解：∵， ∴p+q=m，pq=36， ∵，为不大于的正整数， ∴p=4，q=9或p=9，q=4， ∴m=p+q=4+9=13. 故答案为：13. 【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可. 12．【答案】-15 【解析】【解答】解：，∵，， ∴原式== 故答案为：-15. 【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可. 13．【答案】（1）解：原式=a2 − 2 a b + b2 + 4 a b=a2 + 2 a b + b2= （2）解：原式=p2 + p − 4 p − 4+ 3 p=p2 − 4 = ( p )2 − 22 = ( p + 2 ) ( p − 2 ) 【解析】【分析】 （1）、先展开完全平方得到a2 − 2 a b + b2，再 合并同类项化简 ，最后应用完全平方公式因式分解，解答即可； （2）、先展开多项式乘积得到p2 + p − 4 p − 4，再 合并同类项化简 ，最后应用平方差公式因式分解，解答即可. 14．【答案】（1）证明：在中，， 在中，. ∵，， ∴，即：； （2）解：，理由如下： ∵是的外角， ∴. ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ，∴， ∴. （3）解：∵，∴， ∵，， ∴， 整理得， 故， ∴， 而，∴， 此时，， 又∵.∴的周长 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）先根据三角形外角的性质证得，再利用证明，得； （3）由（2）得，进而得到，因式分解得，而，则，求解即可． 15．【答案】（1）42；9 （2）解：设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n， 则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n. 又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11， ∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3. ∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38. （3）解：设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y， ∵c−5f（c）＞30， ∴10x＋y−5（x＋y）＞30， ∴5x＞30＋4y， ∵y≥1， ∴5x＞34，即x＞6.8， ∵x为整数， ∴x可取7，8，9， 当x＝7时，y＝1，c＝71； 当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82； 当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93； 综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93. 【解析】【解答】解：（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42. 故答案为：42； ②f（45）＝（45＋54）÷11＝9. 故答案为：9； 【分析】（1）由“湘一数”的定义进行求解即可； （2） 设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，由f（10m＋n）＝m＋n，得k＋2（k＋1）＝11， 求出k值，即可求b； （3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据 c−5f（c）＞30列出不等式，从而求出x的范围，再求出x的整数解即可求出c值. 16．【答案】（1）解： = = = =； （2）解： = = ∵， ∴， ∴多项式的最小值为-18； （3）解：∵， 即， ∴， ∴a=3，b=4，c=5， ∴△ABC的周长为3+4+5=12． 【解析】【分析】（1）根据阅读材料先配方，再利用平方差公式分解即可； （2）将原式配方可得，由可得，从而得出最小值； （3）将已知等式配方可得，根据偶次幂的非负性可求出a、b、c的值，继而求出周长. 学科网（北京）股份有限公司 $$