第一章 第7课时 利用三角形测高-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 第7课时　利用三角形测高 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 如图X1－7－1，机器人从A处出发向正东方向走x m到达B处， 再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距 （　B　） 图X1－7－1 A. m B. m C. x·sin α m D. x·cos α m 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 温故知新 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图X1－7－2，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　A　） 图X1－7－2 A A. 12sin α m B. 12cos α m C. m D. m 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A. 测量底部可以到达的物体高度时，所得到的数学模型如图 X1－7－3所示，这时物高h＝ ⁠. 图X1－7－3 btan α＋a　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图X1－7－4，用测角仪器在B处测得塔顶D的仰角为27°6'，已知AB＝1.5m，AC＝100m，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则塔DC的高度为 m.（用含27°6'角的三角函数表示） （100tan 27°6'＋1.5） 对点范例 图X1－7－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　B. 测量底部不可以到达的物体高度时，所得到的数学模型如 图X1－7－5所示，这时物高h＝ ⁠. ＋a　 知识重点 图X1－7－5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图X1－7－6，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑 物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为 （　C　） 图X1－7－6 C 对点范例 A. 20 m B. 30 m C. 40 m D. 50 m 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：测量底部可以到达的物体高度 【例1】在一次实践活动中，某课堂学习小组用测倾器，皮尺测量 旗杆的高度，他们进行了如下的测量（如图X1－7－7）： 课本母题 图X1－7－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MBC＝23°； ②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝22.7 m； ③量出测倾器的高度AB＝1.2 m. 根据以上数据，请你求出旗杆的高度.（结果精确到0.1 m；参考 数据：tan 23°≈0.42） 思路点拨：由题意，得BC＝AN，CN＝AB，再根据∠MBC＝ 23°，MC＝tan∠MBC·BC，求出MC，最后根据MN＝MC＋CN， 即可得出答案. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：由题意，得BC＝AN＝22.7 m，CN＝AB＝1.2 m. 在Rt△MBC中，∠MBC＝23°， ∴MC＝tan∠MBC·BC＝tan 23°×22.7≈9.534（m）. ∴MN＝MC＋CN≈9.534＋1.2≈10.7（m）. 答：旗杆的高度约是10.7 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部A处 的仰角为10°（如图X1－7－8），已知两楼之间的间距CE为50 m，教学楼高BC为16 m（图中所有点均在同一平面内），求实验 楼的高度.（参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18） 图X1－7－8 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：由题意，得BD＝CE＝50 m，DE＝BC＝16 m. 在Rt△ABD中，∠ABD＝10°， ∴AD＝BD·tan 10°≈50×0.18＝9（m）. ∴AE＝DE＋AD≈16＋9＝25（m）. 答：实验楼的高度约为25 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】（2023·无锡）如图X1－7－9，某山顶有一座观光塔CM， 山脚A处有一条笔直山路直通塔底M. 某数学兴趣小组为测量该塔 的高度，先在山脚A处测得塔顶C的仰角∠CAB＝23°，沿着山坡 AM向上走200 m到达点D处，在D处测得塔顶C的仰角∠CDE＝ 31°，已知山坡的倾斜角∠MAB＝18°，求塔高CM. （结果精确 到0.1 m；参考数据：tan 18°≈0.32，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 23°≈0.42， sin 23°≈0.39，tan 31°≈0.6， sin 31°≈0.52） 知识点2：测量底部不可以到达的物体高度 课本母题 图X1－7－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－7－1，过点D作DN⊥AB交AB于点N. ∵∠MAB＝18°，AD＝200 m， ∴DN＝AD·sin 18°≈62（m）， AN＝AD·cos 18°≈190（m）. ∴EB＝DN＝62 m. ∵∠CDE＝31°，∠MDE＝∠MAB＝18°， ∴CE＝DE·tan 31°≈0.6DE，ME＝DE·tan 18°≈0.32DE. ∴CM＝CE－ME≈0.28DE. 答图X1－7－1 思路点拨：过点D作DN⊥AB于点N，解直角三角形即可得到结论. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵∠CAB＝23°， ∴CB＝AB·tan 23°， 即CE＋BE＝（BN＋AN）·tan 23°. ∴0.6DE＋62＝（DE＋190）·tan 23°. 解得DE≈98.89. ∴CM＝0.28DE＝0.28×98.89≈27.7（m）. 答：塔高CM约为27.7 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （2024·临夏州）乾元塔（图X1－7－10①）位于临夏州临夏市 的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可 眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍 穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测 量乾元塔高度AB的实践活动.如图X1－7－10②，A为乾元塔的顶 端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在点C用高度为1.6 m 的测角仪（即CE＝1.6 m）测得点A的仰角为37°，向西平移14.5 m至点D，测得点A的仰角为45°， 请根据测量数据，求乾元塔的 高度AB. （结果精确到1 m； 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 母题变式 图X1－7－10 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－7－2，过点E作EF⊥AB于点F. 设FG＝x m. 在Rt△AEF中，∠AEF＝37°， ∴AF＝EF·tan 37°≈0.75（x＋14.5）＝（0.75x＋10.875）m. 在Rt△AGF中，∠AGF＝45°， ∴tan 45°＝. ∴AF＝GF＝x m. ∴0.75x＋10.875＝x. 答图X1－7－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解得x＝43.5. ∵BF＝CE＝1.6 m， ∴AB＝AF＋BF＝43.5＋1.6≈45（m）. 答：乾元塔的高度AB约为45 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高 度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 时间：2023年4月20日　　 合实践活动报告 填写人：王朵 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图X1－7－11所示的测量草图，确定需 要测量的几何量 图X1－7－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的 另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量 仰角或俯角，如图X1－7－12所示.准备皮尺 图X1－7－12 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【步骤三】实地测量并记录数据 如图X1－7－13，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.如图X1－7－14，利用测角仪，测量后计算得出仰角α.测出眼睛到地面的距离AB. 测出所站地方到古树底部的距离BD. α＝ 　　　，AB＝1.54 m，BD＝10 m 图X1－7－13　图X1－7－14 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【步骤四】计算古树高度CD. （结果精确到0.1 m；参考数据： sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839） 请结合图X1－17－11、图X1－17－14和相关数据求出【步骤三】 中α的度数并完成【步骤四】. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：测角仪显示的度数为50°， ∴α＝90°－50°＝40°. ∵AB⊥BD，ED⊥BD，CE⊥AE， ∴四边形ABDE是矩形. ∴AE＝BD＝10 m，ED＝AB＝1.54 m. 在Rt△CAE中，CE＝AE·tan α≈10×0.839＝8.39（m）. ∴CD＝CE＋ED≈8.39＋1.54＝9.93≈9.9（m）. 答：古树高度CD约为9.9 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$