第一章 第6课时 三角函数的应用-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 第6课时　三角函数的应用 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A，b，则下列式子中正确 的是（　C　） A. a＝bsin A B. a＝bcos A C. a＝btan A D. a＝btan B 　　　　　　　　　　　　　　　　　 C 温故知新 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝2，BC＝3，那么下列各 式中，正确的是（　C　） A. sin B＝ B. cos B＝ C. tan B＝ D. tan B＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 C 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 A. 指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向 角.如图X1－6－1中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分 别表示 60°， 40°， 80° 及 30°. 图X1－6－1　　　　　 北偏东　 南偏东　 南偏西　 北偏西　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图X1－6－2，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方 向上的两个村庄，CD＝6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则 AB的长为（　B　） A. 2 km B. 3 km C. km D. 3km B 图X1－6－2 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　B. （1）在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做 ⁠； （2）在进行测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫做 ⁠ ⁠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 仰角　 俯角　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图X1－6－3，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m 的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向 前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个 电视塔的高度AB为（　C　） A. 50 m B. 51 m C. （50＋1）m D. 101 m C 图X1－6－3 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　C. （1）坡面与水平面的夹角叫做 ，记作α，坡面的 铅垂高度h和水平宽度l的比叫做 （或坡比），记作i，即i ＝.坡度通常写成1∶m的形式； （2）坡度与坡角的关系：i＝＝ ⁠. 坡角　 坡度　 tan α　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 图X1－6－4 5. 如图X1－6－4，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6　 m. 若背水坡CD的坡度i＝1∶（i为DF与FC的比值），则背水坡 CD的长为 m. 12　 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点1：方向角 【例1】（2024·甘孜州）如图X1－6－5，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的 南偏东45°方向上的B处.这时B处距离A处有多远？ （参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 课本母题 图X1－6－5 思路点拨：过点P作PC⊥AB于点C，解直角三角形即可得到答案. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－6－1，过点P作PC⊥AB于点C. 在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100 n mile， ∴PC＝AP·sin A＝100×sin 37°≈100×0.6＝60（nmile）， AC＝AP·cos 37°≈100×0.8＝80（n mile）. 在Rt△PBC中，∠B＝45°， ∴BC＝PC≈60 n mile. ∴AB＝AC＋BC≈80＋60＝140（n mile）. 答：B处距离A处有140 n mile. 答图X1－6－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （2024·泸州）如图X1－6－6，海中有一个小岛C，某渔船在海 中的点A测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时 间后到达点B，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东 60°方向继续航行一段时间后到达点D，这时测得小岛C位于北偏 西60°方向上.已知A，C相距30 n mile. 求C，D间的距离.（结果 保留根号） 图X1－6－6 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－6－3，过点C作CH⊥AB于点H. 在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，AC＝30 n mile， ∴AH＝CH＝AC·cos 45°＝30×＝15（n mile）. 在Rt△BCH中，∠CBH＝60°， ∴BC＝＝＝10（n mile）. 如答图X1－6－3，过点D作DG⊥AB 交AB的延长线于点G. ∴∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°. ∴∠BDG＝60°. 答图X1－6－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴∠CDB＝60°. ∴CD＝＝＝20（n mile）. 答：C，D间的距离为20 n mile. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】（2024·达州）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图X1－6－7①），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图X1－6－7②的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6 m，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4 m， 知识点2：仰角与俯角 课本母题 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 已知彩亭的中轴AB＝6.3 m，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5 m，请根据以上数据，求中轴上DF的长度.（结果精确到0.1 m；参考数据：≈1.73，≈1.41） 图X1－6－7 思路点拨：过点M作MN⊥AB，先利用直角三角形的边角间关系求 出DN，AF的长，再利用线段的和差关系求出DF. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－6－2，过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意，得四边形CMNB是矩形. ∴CM＝BN＝1.5 m，MN＝CB＝6 m， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8（m）. 在Rt△DMN中，∠DMN＝30°， ∴DN＝tan∠DMN·MN＝tan 30°×6＝2（m）. 在Rt△AEF中，∠AEF＝45°， ∴AF＝sin∠AEF·EF＝sin 45°×4＝2（m）. ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8≈1.5（m）. 答：中轴上DF的长度约为1.5 m. 答图X1－6－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河 上一座桥的桥塔AB的高度（如图X1－6－8①）.某学习小组设计 了一个方案：如图X1－6－8②，点C，D，E依次在同一条水平直 线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C. 在D处测得桥塔顶部B的 仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°. （1）求线段CD的长； 母题变式 图X1－6－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）设CD＝x m. ∵DE＝36 m，∴CE＝CD＋DE＝（x＋36）m. ∵EC⊥AB，∴∠BCE＝∠ACD＝90°. ∵tan∠CDB＝，∠CDB＝45°， ∴BC＝CD·tan∠CDB＝x·tan 45°. ∵tan∠CEB＝，∠CEB＝31°， ∴BC＝CE·tan∠CEB＝（x＋36）·tan 31°. ∴x＝（x＋36）·tan 31°.解得x＝≈＝54. 答：线段CD的长约为54 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求桥塔AB的高度.（结果精确到1 m；参考数据：tan 31°≈ 0.6，tan 6°≈0.1） 解：（2）∵tan∠CDA＝，∠CDA＝6°， ∴AC＝CD·tan∠CDA≈54×0.1＝5.4（m）. 由（1）得BC＝CD≈54， ∴AB＝AC＋BC≈5.4＋54≈59（m）. 答：桥塔AB的高度约为59 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例3】某小区物业公司对小区环境进行优化改造.如图X1－6－ 9，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°， BD⊥AD于点D. 为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡 角降为15°，求BC的长度.（C，A，D三点共线；结果精确到0.1 m；参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97） 图X1－6－9 知识点3：坡角与坡度 课本母题 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20 m， sin∠BAD＝， ∴BD＝BA·sin∠BAD＝20×sin 30°＝10（m）. 在Rt△BCD中，∠BCD＝15°，sin∠BCD＝， ∴BC＝≈≈38.5（m）. 思路点拨：根据锐角三角函数的定义先求出BD的长，再求出BC 的长即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （2022·郴州）如图X1－6－10是某水库大坝的横截面，坝高 CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升 级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度 改为i2＝1∶，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（结果 精确到0.1 m；参考数据：≈1.41，≈1.73） 图X1－6－10 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在Rt△BCD中，BC的坡度为i1＝1∶1， ∴＝1. ∴CD＝BD＝20 m. 在Rt△ACD中，AC的坡度为i2＝1∶， ∴＝.∴AD＝CD＝20 m. ∴AB＝AD－BD＝20－20≈14.6（m）. 答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. （创新题）图X1－6－11①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图X1－6－11②所示，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm、身高208 cm的小 杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C 处，小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈ 0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈ 0.94，tan 20°≈0.36） 创新设计 图X1－6－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图X1－6－4，过点C作CD⊥OB交AM于点D，交AN于点E，交水平线AG于点F. 由题意，得CF＝OA＝160 cm，AF＝OC＝130 cm. 在Rt△ADF中，∠DAF＝15°， ∴DF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1（cm）. ∵DF＞26 cm， ∴DE＞26 cm. ∴CD＝DF＋CF＝35.1＋160＝195.1（cm）. ∵小杜的身高为208 cm， ∴208－195.1＝12.9（cm）. 答：小杜最少需要下蹲约12.9 cm才能被识别. 答图X1－6－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$