第一章 第1课时 锐角三角函数（一）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级第一章“直角三角形的边角关系”第1课时锐角三角函数（一），核心知识点为正切值及坡度概念。课堂导入通过“温故知新”环节复习勾股定理计算直角三角形边长，为正切值“对边比邻边”的学习搭建前后知识衔接的支架。 其亮点在于采用“课本母题+母题变式+创新设计”三级递进结构，课本母题如求tanA和tanB落实基础，母题变式如坡度问题实现知识迁移，创新设计通过构造图形求tan22.5°等培养数形结合思维，契合“会用数学的眼光观察现实世界”的创新意识与“会用数学的思维思考现实世界”的推理能力。学生能夯实基础并提升探究能力，教师可高效开展分层教学。

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 第1课时　锐角三角函数（一） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则BC＝ （　C　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 　　　　　　　　　　　　　　　　　 C 温故知新 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB＝ （　A　） A. B. 5 C. D. 3 A 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 如图X1－1－1，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对 边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A， 即 tan A＝ 　　＝ 　　. 　 　 知识重点 图X1－1－1 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 对点范例 3. 如图X1－1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，则tan A的值为（　A　） A 图X1－1－2 A. B. C. D. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　B. 坡面的 高度与 宽度的比称为坡度（或坡 比）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 铅直 水平　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 有一斜坡，若沿斜坡每前进30 m就升高15 m，则斜坡的坡度i 等于（　C　） A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. 2∶1 C 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：求正切值 【例1】（课本P4习题第1题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 5，AB＝13，求tan A和tan B. 课本母题 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13， ∴BC＝＝＝12. ∴tan A＝＝，tan B＝＝. 思路点拨：先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数的定义 解答. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. （课本P4随堂练习改编）如图X1－1－3，在等腰三角形ABC 中，请根据图中所给数据求出tan B. 图X1－1－3 答图X1－1－1 母题变式 解：如答图X1－1－1，过点A作AD⊥BC于点D. ∴BD＝CD＝BC＝3. 在Rt△ABD中，AB＝5， ∴AD＝＝＝4. ∴tan B＝＝. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：根据正切值求边长 【例2】（课本P4习题第2题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ 3，tan A＝，求AC. 课本母题 解：∵∠C＝90°， ∴tan A＝. ∵BC＝3，tan A＝， ∴＝.解得AC＝. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 思路点拨：根据锐角三角函数的定义可得tan A＝，再把BC＝ 3，tan A＝代入即可算出AC的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （课本P4随堂练习改编）如图X1－1－4，某人从山脚下的点A 走了100 m后到达山顶的点B，已知山的坡度i＝，求山的高 度BC. 图X1－1－4 母题变式 解：由题意知AB＝100 m，坡度i＝， ∴i＝tan∠BAC＝＝. 设BC＝x m，则AC＝3x m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC2＋AC2＝AB2，即x2＋（3x）2＝（100）2. 解得x＝100.∴山的高度BC为100 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （创新题）数形结合思想是通过构造几何图形来解决代数问题 的重要思想.小明同学对计算tan 22.5°的值进行了以下探究. （1）构造图形：如图X1－1－5，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠ABC＝45°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD， 求tan D的值. 解：设AC＝x，则BC＝x. ∵BD＝AB，∠ABC＝45°， …… 请你将上述解题过程补充完整； 创新设计 图X1－1－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）设AC＝x，则BC＝x. ∵BD＝AB，∠ABC＝45°， ∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝22.5°，BD＝AB＝x. ∴CD＝BC＋BD＝x＋x＝（1＋）x. 在Rt△ACD中，tan D＝tan 22.5°＝＝＝＝＝－1. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）类比推理：请你仿照上面的思路，构造图形，计算tan 75° 的值. 解：（2）如答图X1－1－2，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠ABC ＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB， 连接AD. ∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝15°. ∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝75°. 设AC＝x，则AB＝2x，BC＝x. 答图X1－1－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴BD＝AB＝2x. ∴CD＝BC＋BD＝x＋2x＝（＋2）x. ∴tan∠CAD＝tan 75°＝＝＝＋2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$