精品解析：湖南省颐华高级中学（平江）2025-2026学年高一上学期入学学科素养测试数学试题

颐华高级中学2025级高一新生学科素养测试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A. B. C. D. 2. 关于的方程的解不大于3，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 已知均为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知：点，如，都是点的等和点．若点在直线上，点的等和点也是点的等和点，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 7. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数，使得； 其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. 只有①②③ 8. 如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），下列三个结论： ①当时，则； ②； ③的周长不变． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 9. 已知，则______． 10. 分解因式：______． 11. 若，则的值为__________. 12. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______. 13. 若，，用含的代数式表示，则______． 14. 如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____． 15. 如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长等于______． 16. 关于的方程有两个不相等的实根，若，则的最大值是______． 三、解答题：本题共5小题，共50分（12+14+14+14+16=70）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简：． （2）解不等式：． 18. 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)． （1）求g(t)的解析式； （2）求g(t)的最大值． 19. 求和 （1）计算：； （2）； （3）求证：． 20. 如图，为的直径，点在的延长线上，点在上，过点作直线的垂线，垂足为，并且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21. 如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为，对称轴是直线与轴交于点. （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图2，若是线段上的一个动点（与不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，四边形的面积为. ①求与的函数关系式； ②是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华高级中学2025级高一新生学科素养测试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2. 关于的方程的解不大于3，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的解法求出关于的方程的解，再根据分式方程的解不大于3和分式方程有增根确定的取值范围. 【详解】将关于的分式方程的两边都乘以，得， 去括号，得，移项、合并同类项，得，即， 由于分式方程的解不大于3，即，解得， 而分式方程有增根，当时，即，解得， 综上所述，的取值范围为且. 故选：C． 3. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，，原式化简为，展开即可求解. 【详解】令，则，， ， ， ． 故选：D． 4. 已知均为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，则，分类讨论取值，可求. 【详解】 ， 均为正整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 的取值不可能为7． 故选：A. 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知：点，如，都是点的等和点．若点在直线上，点的等和点也是点的等和点，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，设点的等和点为，由等和点定义列方程可求，由此可得点的坐标. 【详解】因为点在直线上，可设点的坐标为， 设点的等和点为，由等和点定义可得，故， 由已知点也为点的等和点，所以，所以 所以，故点的坐标为， 故选：D． 7. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数，使得； 其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系及判别式逐一判断即可. 【详解】①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； ②方程有两个不相等的实根，， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根，则， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：或 或 ，故④正确． ⑤假设存在实数，使得成立； 由， ， 即， ，，即， 当时，存在实数，使得成立，故⑤正确． 故选：B． 8. 如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），下列三个结论： ①当时，则； ②； ③的周长不变． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】对①，由可得，从而，，进而求得；对②，将绕点顺时针旋转得，可得，从而，由四边形内角和为，可得；对③，由，可得，从而周长不变. 【详解】对①，正方形中，， ，． 当时，，， ，. 易证，， ，，故①正确； 对②，如图，将绕点顺时针旋转得， 则， 则在和中，，， ，， ，，故②正确； 对③，，， 的周长为：， 和均为正方形的边长，故的周长不变，故③正确； 综上①②③都正确．故选：． 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式求出，再把代入计算即可得到结果． 【详解】 ，， ． 故答案为： 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，因式分解，即可求解. 【详解】原式 ， 故答案为：. 11. 若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合立方和公式，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由. 故答案为：. 12. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______. 【答案】； 【解析】 【分析】根据函数的函数值，，结合函数的图象即可求解. 【详解】， ，又， 故由二次函数图象可知： 要使函数的定义域为，值域为 的值最小为； 最大为3． 的取值范围是：． 故答案： 【点睛】本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题． 13. 若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合可得结论. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 14. 如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，根据△BCE的面积可求得，再根据，可得，从而可求得答案. 【详解】解：设，则， 因为矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上， 所以，则， 因为△BCE的面积是6， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 15. 如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形内角和等于，求得,即，结合已知条件可判断和全等，得到的长，求得的长 【详解】，， (对顶角相等)，,即， 在和中，， ，则． 故答案为：1 16. 关于的方程有两个不相等的实根，若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系结合已知条件得出之间的关系，再将表示关于的二次函数，最后根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实根， ，， ，即， ， 当时，有最大值． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共50分（12+14+14+14+16=70）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式，即可求解；（2）根据条件，利用绝对值的几何意义，即可求解. 【详解】（1）原式． （2）根据绝对值的意义，表示数轴上的对应点到1、3对应点的距离之和， 而数轴上0和4对应点到1、3对应点的距离之和正好等于4， 故不等式的解集为：或． 18. 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)． （1）求g(t)的解析式； （2）求g(t)的最大值． 【答案】（1）g(t)＝；（2）3. 【解析】 【分析】（1）就、、分类讨论后可得的解析式； （2）根据（1）中解析式可求的最大值. 【详解】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3. 当，即时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； 当，即时，g(t)＝f(2)＝3； 当时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， ∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1. 综上所述，g(t)＝ （2）当时，； 当时，； 当时，. ∴g(t)的最大值为3. 19. 求和 （1）计算：； （2）； （3）求证：． 【答案】（1）111105 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用转化各式即可直接计算求解； （2）利用裂项公式即可计算求解； （3）利用不等式结合分母有理化即可证明. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 左边 因此，左边得证. 20. 如图，为的直径，点在的延长线上，点在上，过点作直线的垂线，垂足为，并且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和已知条件证明，则，再由，可得，由此即可得到结论； （2）解Rt得到，则，再解直角三角形得到，则；由平行线的性质得到，则，进而得到，则，最后根据进行求解即可． 【小问1详解】 直线与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 又为的半径，直线与相切； 【小问2详解】 在中，， ， ； ， ， ． 21. 如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为，对称轴是直线与轴交于点. （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图2，若是线段上的一个动点（与不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，四边形的面积为. ①求与的函数关系式； ②是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②存在，最大值为7，此时点. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据是定值，可得当最小时，的周长最小，再由点关于对称轴对称，可得，从而得到的周长最小的最小值为，即可求解； （3）①先求出直线的解析式，再由点的横坐标为，可得点，点，从而得到，然后根据四边形的面积，得到与的函数关系；②根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 抛物线经过三点， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 是定值，当最小时，的周长最小， 如图，连接交于点，连接，点关于对称轴对称，， ，则的周长的最小值为， 因，则的周长的最小值为； 【小问3详解】 ①顶点， 如图，设直线的解析式为， 把点代入得：，解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为点， 轴，点， ， 四边形的面积 即； ②存在，∵， 当时，取得最大值为7，此时点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $