13.2.2 三角形的高、中线与角平分线　课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

三角形的高、中线与角平分线 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 复 习 回 顾 过一点画已知直线的垂线 放、 靠、 推、 画。 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 ∵ AD ⊥ BC ∴ AD是△ ABC的BC边上的高 A B C D 三角形有几条高线？ 例 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知 AD · BC＝ BP · AC. P 代入数值，可解得 BP＝ . 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 回顾上述视频，说说第二种特殊位置的线段 AP. P 是 BC 的中点 AP 是三角形的什么线呢？ 说一说 请画出此三角形的所有高线，观察有什么结论？ A B C 请你任画一个直角三角形和一个钝角三角形，观察是否具有上面的结论？它的高线有什么特殊？ 试一试 归纳总结 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 锐角三角形的三条高所在直线交于一点 AB BD A B C D E F A B C D AB边上的高是 ; CE BC边上的高是 ; AD CA边上的高是 ; BF 分别指出图中△ABC 的三条高。 直角边BC边上的 高是 ; 斜边AC边上的 高是 ; 想一想 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 例 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段. D 识别三角形的高 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( ) A B C D A D C B A D C B A D C B A D C B C 巩固练习 13 如图：△ABC中，D为BC中点，连结AD，你能根据此图得到哪些结论？ A D B C 课堂探究 ∵AD是△ ABC的 中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的线段,叫做这个三角形的中线. A B C D 定义 BD =CD = BC B A (1) 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线。 它们有怎样的位置关系? 与同伴进行交流。 (2) 钝角三角形和直角三角形的三条 中线也有同样的位置关系吗? E D A F C 试一试 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 三角形的三条中线交于一点. 知识拓展 　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 2 2 BD 6 cm² 　　练习　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． （1）AC = AE = EC； CD = ； AF = AB； （2）若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． A B C D E F G S△ABC = 2S△ABM = 40 平方厘米 　　练习　如图所示，AM 是△ABC的中线，△ABM 的面积是 20 平方厘米，求△ABC 的面积. 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能画出它的一个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗? A B C D 请同学将自己准备好的三角形纸片ABC拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB与AC重合，得到一条折痕为AD。 把三角形纸片展开、铺平，AD一定平 分∠BAC吗？ A B C 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角的平分线。 O B C A 定义 如图，记作 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB， 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ? 做一做 24 三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点. 三角形角平分线的性质 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34° ＝110°. A B D C 素养考点 4 利用三角形的角平分线求角的度数 例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . A B C D E F 1 2 3 4 1 2 3 4 ∠2 ∠ABC ∠4 巩固练习 填空： 如图，AD， BE， CF是△ABC的三条中线， 则AB＝2_____________，BD＝________________， AE＝ _______。 【课本P5 练习 第2题（1）】 A B C D E F AF（或BF） CD（或 BC） AC 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB = 5cm，AC = 3cm.△ABD的面积为a cm2， （1）S△ABC = ______cm2； （2）△ABD与△ACD的周长之差为___cm. 2a 2 综合应用 在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，DE∥AC 交AB于E，EF∥AD 交BC 于F，试问EF是△BED的角平分线吗？说说你的理由. 拓展延伸 解：EF是△BED的角平分线，理由如下： ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2. ∵ DE∥AC， ∴∠5=∠2=∠1. ∵EF∥AD， ∴∠3=∠5，∠4=∠1， ∴∠3=∠4， ∴EF 是△BED 的角平分线. 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ $$