专题05有理数40道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（浙教版2024）

专题05有理数40道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的双动点问题 题型二 数轴上的多动点问题 题型三 有关数轴的新定义问题 题型四 绝对值的几何意义（最值问题） 题型五 绝对值的综合应用 题型六 数轴上的翻折问题 题型七 带字母的绝对值化简与动态最值 题型八 相反数的结论综合 【经典例题一 数轴上的双动点问题】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 2．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ； ②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动． ①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 4．（24-25七年级上·吉林长春·期中）给出如下定义：如果在同一直线上的三点M，N，R满足（即点M到点R的距离是点N到点R距离的2倍），那么我们称点R是的一个倍点．若点R在线段上，则称点R为的内倍点；若点R在线段的延长线上，则称点R为的外倍点．如图：在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为2，点C对应的数为，则点A是的外倍点，但点A不是的外倍点． (1)数轴上两点D、E所表示的数分别为m和n，且满足， ①________；________． ②点D________（填“是”或者“不是”）的内倍点；的外倍点是点________．（填D或E） (2)若点P从A点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒， ①当P是的倍点，求点P表示的数； ②若点P运动的同时，点Q从B点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F是的内倍点，点G是的外倍点，当时，直接写出t的值． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒． ①当时，求的值； ②在点，出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇后，点立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点与点相遇后，点又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到点后停止．当时，请直接写出的值． 【经典例题二 数轴上的多动点问题】 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为， 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)______，______； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段AP的中点时则点对应的数为______； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1?（列一元一次方程解应用题）； (4)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过______后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？（请直接写出答案．） 8．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 9．（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c，且满足，点C是由点B向左移动5个单位得到的．    (1)请直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若点P从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点M从点B处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点N从点C处以每秒2个单位单位长度向右运动．设运动的时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ． ②请问：是否存在t的值使得？若不存在，请说明理由：若存在，请求出t的值． (3)若小蚂蚁甲从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以每秒3个单位长度的速度也向左运动，现观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来一半的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t． 10．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 有关数轴的新定义问题】 11．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段的中点，则点P对应的数__________； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 14．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 15．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【经典例题四 绝对值的几何意义（最值问题）】 16．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 20．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【经典例题五 绝对值的综合应用】 21．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 22．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 24．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 25．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【经典例题六 数轴上的翻折问题】 26．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 27．（23-24七年级上·广东河源·期中）点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 29．（24-25七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【经典例题七 数轴上的动态整点覆盖问题】 31．（23-24七年级上·江西南昌·期中）“分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数、、满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：， 所以的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，且，求的值． （2）已知是有理数，当时，求的值． （3）已知是有理数，，求的值 （4）若均为整数，且，化简：． 32．（23-24六年级上·山东烟台·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并完成（1）解答和题目后提出的问题． （1）例：已知，是有理数，当时，求的值． 解：由题意得，，两个有理数都为正数或都为负数． ①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：　　， 综上，的值为2或 　　． （2）请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数，，满足，求的值． 33．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 34．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 35．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【经典例题八 带字母的绝对值化简与动态最值】 36．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： (1)的值； (2)的值． 37．（23-24七年级上·云南丽江·期末）已知、如图，的绝对值是3，、互为倒数，求：的值． 38．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 39． （23-24七年级上·湖南衡阳·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴的单位长度为1． （1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ； （2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由； （3） 在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05有理数40道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的双动点问题 题型二 数轴上的多动点问题 题型三 有关数轴的新定义问题 题型四 绝对值的几何意义（最值问题） 题型五 绝对值的综合应用 题型六 数轴上的翻折问题 题型七 带字母的绝对值化简与动态最值 题型八 相反数的结论综合 【经典例题一 数轴上的双动点问题】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 【答案】(1)4 (2)或； 【分析】本题主要考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的运用，分类讨论思想，熟练掌握利用数轴上动点表示两数之间的距离是解题关键． （1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，从而得到C点对应的数； （2）根据分情况讨论，①当M、N未相遇，M表示的数是，N表示的数是，得到求解即可；②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N表示的数是，得到求解，即可解题； 【详解】（1）解： A点对应的数是，B点对应的数是8， ， ， ，， C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）解：当M运动到点时，（秒），此时N表示的数是，此时，M停留秒后，此时N表示的数是，此时， ， 停留期间， 运动t秒时，， ①当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， ②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 2．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ； ②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动． ①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析； (2)①；②或； (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴、利用一元一次方程解决线段动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）①根据非负数的性质即可得解；②在数轴上找到、两个点即可； （2）①先求出和，再根据“分割值”的定义得解即可；②分类讨论，根据点从到及从到两种情况，建立方程求解即可； （3）根据题意设点速度为，点速度为，运动时间为，进而用含的式子表示出，即可得到的长，进而即可得解． 【详解】（1）①，， ，， ，， 故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为， ， ， ， 故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，， ， ，， ， 解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时， 此时，， ，， ， 解得； 综上，的值为或； （3）解：， ∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为， 则， ，即， ， （点的运动路程） ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期中）给出如下定义：如果在同一直线上的三点M，N，R满足（即点M到点R的距离是点N到点R距离的2倍），那么我们称点R是的一个倍点．若点R在线段上，则称点R为的内倍点；若点R在线段的延长线上，则称点R为的外倍点．如图：在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为2，点C对应的数为，则点A是的外倍点，但点A不是的外倍点． (1)数轴上两点D、E所表示的数分别为m和n，且满足， ①________；________． ②点D________（填“是”或者“不是”）的内倍点；的外倍点是点________．（填D或E） (2)若点P从A点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒， ①当P是的倍点，求点P表示的数； ②若点P运动的同时，点Q从B点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F是的内倍点，点G是的外倍点，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；②是；E (2)①点P表示的数为8或0；②t的值为或 【分析】本题考查了非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识点，分情况讨论为解题关键． （1）①利用非负性进行求解即可；②根据题目中给出的倍点定义进行分析求解即可； （2）①根据题目中给出的定义结合数轴上两点间距离的求解进行求解即可；②根据定义结合一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：（1），，， ，， ； （2）点A对应的数为，点C对应的数为，点D对应的数为， 点D在线段上，且， 则称点D为的内倍点， 故答案为：是； 点C对应的数为，点B对应的数为2，点D对应的数为，点E对应的数为5， ， 则点D不是的外倍点， ， 点E是的外倍点， 故答案为：E； （2）①P是的倍点， ，即， 点A表示的数为， 点P表示的数是， ， 点B表示的数为2， 点P表示的数是， ， ， 当时，即时， ， 解得：， 此时P点表示的数是； 当时，即时， ， 解得：， 此时P点表示的数是； 综上点P表示的数为8或0； ②点F是的内倍点， ，且点F在线段上， 点G是的外倍点， ，且点G在线段的延长线上， 设，，则， ，即， .， ， ， ， ， ， ， 由题意得点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点P在点Q左侧时，， ， ， 当点P在点Q右侧时，， ， ， 综上t的值为或． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒． ①当时，求的值； ②在点，出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇后，点立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点与点相遇后，点又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到点后停止．当时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①，；②或或5． 【分析】（1）设点C对应的数为c，先求出，根据，变形，即，解方程即可； （2）①点M、N在相遇前，先求出点M表示的数：，点N表示的数为：，根据，列方程，点M、N相遇后，求出点M过点C，点M表示的数为，根据，列方程，解方程即可； ②点P与点M相遇之前，小于，点P与点M相遇后，点M未到点C，先求点P与点M首次相遇时，确定点P与M，N位置，当时，列方程求解；当点P与点N相遇时，求出，此时点M在C位置，点N、P在位置，点P掉头向C运动，点M在点C位置停止不等，根据当时，列方程求解；点P与点M再次相遇时，解得，点N与点M相遇时，，解得，当点P到点A之后，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点C对应的数为c， ∴， ∵， ∴，即， 解得； （2）解：①点M、N在相遇前，点M表示的数：，点N表示的数为：， ∵， ∴， 解得， 点M、N相遇后，点M过点C，点M表示的数为， ∵， ∴， 解得， ∴时，或； ②点P与点M相遇之前，小于， 点P与点M相遇后，点M未到点C， 点P与点M首次相遇，即， 解得， 点M与点P在1位置，点N在7位置，点P掉头，，， 当时，， 解得， 当点P与点N相遇时，， 解得， 此时点M在C位置，点N、P在位置， 点P掉头向C运动，点M在点C位置停止不等， 当时， ， 解得； 点P与点M再次相遇时，， 解得， 点N与点M相遇时，， 解得， 当点P到点A之后， 当时， ， 即， 解得； 综合得当时， 的值为或或5． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，两点间的距离，列代数式，相遇与追及问题，列方程，分类考虑动点的位置，根据等量关系列方程是解题关键． 【经典例题二 数轴上的多动点问题】 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）4；12；（4）当或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求中点表示的数， 根据两点之间的距离解答（1）；然后根据中点算式解答（2）；再根据点P到两个数对应的数轴上的点之间的距离解答（3）；最后表示三个点，分三种情况根据中点算式解答（4）． 【详解】（1）根据材料1，可以理解为数轴上的数x和对应的点之间的距离； 故答案为：； （2）根据材料2，的中点表示的数是； 故答案为：1； （3）表示数轴上的点P到和1对应的点的距离之和，当点P在两个数对应的点之间时，有最小值4；表示数轴上的点P到对应的点的距离减去这个点到9对应的点的距离，当点P在数9对应的点的右边时，有最大值12； 故答案为：4,12； （4）t秒时A，B，C三点对应的数分别为， 当点B为中点时，， 解得； 当点C为中点时，， 解得； 当点A为中点时，， 解得． 所以或4或16． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为， 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)______，______； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段AP的中点时则点对应的数为______； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1?（列一元一次方程解应用题）； (4)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过______后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？（请直接写出答案．） 【答案】(1)， (2)， (3)经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1 (4)经过或或后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质，解决本题的关键是根据懂点的运动方向和速度表示动点所表示的数． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据线段中点坐标公式即可求解； （3）设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1，秒后，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：，由题意列出方程，解方程即可得出答案； （4）根据动点的运动分三种情况讨论其中一个点是另外两个点的中点即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 若点为线段的中点，则点对应的数， 若为线段AP的中点时，则， 解得：， 故答案为：，； （3）解：设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1， 秒后，点的位置为：，点的位置为：， 点的位置为：， 由题意得：， 解得：或， 经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1； （4）解：设经过秒后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点， 秒后，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：， 当点是的中点时，则， 解得：； 当点是的中点时，则， 解得：； 当点是的中点时，则， 解得：； 综上所述，经过或或后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点． 8．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 9．（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c，且满足，点C是由点B向左移动5个单位得到的．    (1)请直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若点P从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点M从点B处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点N从点C处以每秒2个单位单位长度向右运动．设运动的时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ． ②请问：是否存在t的值使得？若不存在，请说明理由：若存在，请求出t的值． (3)若小蚂蚁甲从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以每秒3个单位长度的速度也向左运动，现观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来一半的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t． 【答案】(1)，6，1 (2)①，，；②不存在，理由见解析 (3)1秒或10秒 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再由“左移减，右移加”可得； （2）①根据“左移减，右移加”列出代数式；②根据代数式求得的值，即可得出结论； （3）分两种情况：①当时，②当时，分别求得，，根据“甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等”即，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点C是由点B向左移动5个单位得到的， ， 故答案为：2，6，1； （2）解：①由题意得，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 故答案为：，，； ②不存在t的值使得，理由如下： ，， ，即点M与点N之间的距离总是比点P与点N之间的距离大2， 不存在t的值使得； （3）解：①当时，甲、乙均向左运动，此时，， 甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等， ，即， 解得：； ②当时，甲向左运动，乙向右运动，此时，， 甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等， ，即， 解得：； 综上所述，甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间为1秒或10秒． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离及动点问题，正确分析题目中的等量关系，列出代数式和方程是解题的关键． 10．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①2秒中后点P为线段的中点；②或 【分析】(1)分计算即可． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可． ②分两种情况计算求解即可． 【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10， 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 不符号题意， 故或． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 因为点P为线段的中点， 所以， 解得． ②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4， 所以， 当时， 则， 解得． 当时， 则， 解得． 当或时，点P为线段的三等分点． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【经典例题三 有关数轴的新定义问题】 11．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义，构建方程求解； （2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解； 【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知， 解得， ∴的美好点表示的数为； ②令美好点表示的数为y，由题知，, 解得， ∴的美好点表示的数为； （2）解：根据题意，得 ∴ 解得 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离表示；根据定义构建方程是解题的关键． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 【答案】（1）①－1；②－4；（2）t的值1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】解：（1）已知点M表示数-7，点N表示数2，由题意可设N到美好点的距离为x，则(M，N)的美好点为2x+x=2-(-7)，3x=9，x=3 ∴①(M，N)的美好点为-7+2×3=-1；②(N，M)的美好点为-7+3=-4； （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP=2MN时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN=2MP时，NP=13.5，点P对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN=2MP时，NP=4.5，因此t=2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN=2MN时，NP=18，因此t=9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN=2PN时，NP=4.5，因此t=2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查了实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段的中点，则点P对应的数__________； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 【答案】(1)1 (2)或6； (3)或或． 【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案； （2）此题要分两种情况：①当P在左侧时，②当P在右侧时，再列出方程求解即可； （3）由点P恰好是点A，B的“友好点”，列出方程可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 【详解】（1）解：P为的中点，． 依题意得， 解得：． 故答案为：1； （2）由，若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P不可能在线段上，只能在A点左侧，或B点右侧． ①P在点A左侧，， 依题意得， 解得：； ②P在点B右侧，， 依题意得， 解得：． 故P点对应的数是或6； （3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为，点P对应的数为， ∵点P恰好是点A，B的“友好点”， ∴或， 解得：（舍去）或或或， ∴t的值或或． 14．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 15．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 【经典例题四 绝对值的几何意义（最值问题）】 16．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵数的点位于与5之间， ∴表示数到的距离 ∴， 故答案为：． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 【经典例题五 绝对值的综合应用】 21．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 22．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 24．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 25．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【答案】(1)小张最后回到了公司，见解析； (2)小张这一天一共跑了36千米； (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【分析】（1）把这些数全部相加，根据结果判断即可； （2）把这些数的绝对值全部相加即可； （3）要算出每次离公司的距离，然后再进行比较即可． 本题主要考查的是正负和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】（1）解： 答：小张最后回到了公司； （2）解：（千米） 答：小张这一天一共跑了36千米； （3）解：第一天：离公司千米， 第二天： ，离公司3千米， 第三天：，离公司2千米， 第四天：，离公司6千米， 第五天：，离公司1千米， 第六天：，离公司4千米， 第七天： ，离公司0千米， 在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【经典例题六 数轴上的翻折问题】 26．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 【答案】(1)3 (2)①；②两点表示的数分别是 【分析】本题考查了数轴的折叠问题，通过折叠使数轴上的点重合，考查“对称点”和“中点”概念的理解和应用. （1）根据表示1的点和表示的点重合，由此可以得到折痕点为0，由此可以得到表示的点重合的点. （2）①根据已知条件可知对称点为表示1的点，由此即可找到与表示5的点的重合点. ②根据题意可知A和B与对称点的距离，由此即可得到A和B两点表示的数. 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，所以折痕点为原点，借助数轴可得，则表示的点与表示3的点重合． 故答案为：3. （2）解：折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，所以折痕点为1； ①借助数轴可得，表示5的点与表示的点重合； 故答案为： ②由题意可得，A、B两点与折痕点的距离都为： 因为点A在点B的左侧，所以A、B两点表示的数分别为. 27．（23-24七年级上·广东河源·期中）点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 【答案】(1)；6 (2)9 (3)①3；②点表示的数为，点表示的数为1010 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，结合数轴的特点正确列出方程是解题的关键． （1）观察数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，点A表示的数是，设点A与表示数的点重合，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答； （3）①由题意得，、分别表示与3、与6在数轴上所对应的点之间的距离，再分析数轴上点的位置即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可得，点B表示的数是，点C表示的数是6． 故答案为：；6． （2）解：由数轴可得，点A表示的数是， 设点A与表示数的点重合， 由数轴折叠可得，， 解得：， ∴点A与表示数9的点重合． 故答案为：9． （3）解：①表示与3在数轴上所对应的点之间的距离， 表示与6在数轴上所对应的点之间的距离， 当时，有最小值，最小值为6与3在数轴上所对应的点之间的距离，即， ∴的最小值为3； ②设点表示的数为，则点表示的数为， 由数轴折叠可得，， 解得：， 则， ∴点表示的数为，点表示的数为1010． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 29．（24-25七年级上·吉林·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【答案】(1)3 (2)， (3)或时，P、A之间距离为3个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧）， ∴点A到对称中心的距离为，且A点在的右边，点B到对称中心的距离为，且B点在的左边， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （3）解：∵动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P对应的数为， 当P、A之间距离为3个单位长度时， 或 ， 解得或， ∴或时，P、A之间距离为3个单位长度． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，9 (2) (3)；； (4)不变， 【分析】本题考查了列代数式、偶次方、绝对值等非负数的化简及代数式的化简，明确题意，正确列式是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性可解； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则可知对折点所表示的数，进而可得点C与数哪个数表示的点重合； （3）根据数轴上的点向左运动用减法，向右运动用加法，按照题意计算即可； （4）将（3）中数据代入计算，结果为定值． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 解得，． 故答案为：，9； （2）因为，．将数轴折叠后，A点与B点重合， 可知折叠的中点距离A点和B点相同， 则折叠的中点为1， 所以此时点C与表示的点重合． 故答案为：； （3）点A、B、C开始时的位置分别是，3，9， t秒后，A：，B：，C：， ， ， ． 故答案为：；；； （4）． 故的值不随着时间t的变化而变化． 【经典例题七 数轴上的动态整点覆盖问题】 31．（23-24七年级上·江西南昌·期中）“分类讨论”是一种重要的数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数、、满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：， 所以的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，且，求的值． （2）已知是有理数，当时，求的值． （3）已知是有理数，，求的值 （4）若均为整数，且，化简：． 【答案】（1）的值为或；（2）的值为：或；（3）-1；（4）或 【分析】（1）根据绝对值的意义和a＜b，确定a、b的值，再计算a+b； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据a，b，c是有理数，a+b+c=0，把求转化为求的值，根据abc＜0得结果． （4）根据题意可得，|a-b|20和|c-a|19一个为0，一个为1，从而得出a=b，c-a=±1或a-b=±1，c=a，再去绝对值即可． 【详解】解：（1） ①时， ； ②时， ， 综上所述：的值为或． （2） 的正负共有三种情况， ①同正时， ； ②一正一负时，不妨设， ； ③同负时， ， 综上，的值为：或． （3） 中有一个负数两个正数或个负数， 又， 中有一个负数两个正数， ， 不妨设， 原式 （4）均为整数，， 与中一个为，一个为， ①设，， ， 即， 原式 ； ②设，，即， ， 原式 ； 综上，所求值为或． 【点睛】（1）考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键； （2）（3）考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意=±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为-1）； （4）考查了整式的加减以及绝对值，明确字母的取值分情况讨论是解题的关键． 32．（23-24六年级上·山东烟台·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并完成（1）解答和题目后提出的问题． （1）例：已知，是有理数，当时，求的值． 解：由题意得，，两个有理数都为正数或都为负数． ①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：　　， 综上，的值为2或 　　． （2）请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1），（2）或1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值化简，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）当，都是负数时，即，，则：，据此可得答案． （2）读懂题意，按照题目给的解题思路分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：， 综上，的值为2或； 故答案为：，； （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则； ②、、有一个为负数，另两个为正数时， 设，，， 则； 因此的值为或1． 33．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． （1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴ 34．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 35．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 【经典例题八 带字母的绝对值化简与动态最值】 36．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相反数的性质，非负数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两个数的和为0，平方和绝对值的非负性是解题关键． （1）根据相反数的性质结合平方和绝对值的非负性可求出x和y的值，再代入中求值即可； （2）将x和y的值代入中求值即可． 【详解】（1）解：∵与是互为相反数， ∴． ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：当，时，． 37．（23-24七年级上·云南丽江·期末）已知、如图，的绝对值是3，、互为倒数，求：的值． 【答案】41 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，代数式求值，理解题意得出，，，是解此题的关键． 根据相反数的定义可知，根据倒数的定义可知，由绝对值的意义得出，求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：由a，b在数轴上的位置得，， ∵的绝对值是3， ∴， ∴； ∵、互为倒数， ∴， ∴ ． 38．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 39．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 【答案】或 【分析】根据、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度，可以得到，，，，，然后即可求出、、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度， ，，，，， ，，或， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，非负数的性质，相反数、倒数的应用，绝对值的意义，解答本题的关键是掌握相关知识内容以及明确有理数混合运算的计算方法． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴的单位长度为1． （1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ； （2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由； （3） 在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】（1）﹣4，2 ；（2）2或10 ；（3）﹣16或﹣4． 【分析】（1）由点B，D表示的数互为相反数，所以点B为﹣2，D为2，则点A为﹣4； （2）存在，分两种情况讨论解答； （3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，由AC=3，分类讨论，即可解答． 【详解】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，故答案为﹣4，2； （2）存在，如图： 当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x） 解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M所表示的数为2或10； （3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：，所以P点对应运动的单位长度为：，所以点P表示的数为﹣16． ②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t=，所以P点对应运动的单位长度为：3×=4，所以点P表示的数为﹣4． 答：点P表示的数为﹣18或﹣4． 考点：1．数轴；2．相反数． 学科网（北京）股份有限公司 $$