专题02数轴重难点题型专训（3个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（浙教版2024）

专题02数轴重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间距离的表示 题型五 数轴上点的简单平移 题型六 数轴上与原点有关的计算 题型七 数轴上整点覆盖问题 题型八 关于数轴的说法正误判断问题 题型九 数轴上的翻折问题 题型十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负 拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合 拓展训练二 数轴上点运动规律探究 拓展训练三 数轴上的双动点问题 拓展训练四 数轴上的多动点问题 拓展训练五 有关数轴的新定义问题 知识点一、数轴 定义:规定了 原点 、 单位长度 和 正方向 的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫作 原点 。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 知识点二、数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正半轴 与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点在数轴的 负半轴 上，与原点的距离是 a 个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，数轴上点所表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出A的取值范围是解答此题的关键．先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可． 【详解】解：由数轴上A点所表示的位置可知，，且点A靠近， 只有选项A满足条件． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查用数轴是的点表示有理数，数轴上两点间的距离，分在的左边和右边两种情况讨论，即可得出结果．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点在表示的点的左边时，该点为：， 当点在表示的点的右边时，该点为：， ∴数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是或． 故答案为：或． 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，由此可解． 【详解】解：由图可知，数轴上c在b的右侧， ， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）画出数轴，在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小，用“”连接起来． 3 ， ，1.5 ， ，0． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，先将各数表示在数轴上，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将各数表示在数轴上如图所示： ， 则． 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 【例2】（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【详解】解:作图如下： 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（    ） A．数轴的原点必须画在数轴的中间 B．数轴的单位长度必须是1厘米 C．数轴的方向必须向右 D．数轴的原点可以画在任意一个位置 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握三要素是解题的关键． 【详解】解：A. 数轴的原点画在任意一个位置，错误，不符合题意；     B. 数轴的单位长度可以是任意长度，错误，不符合题意； C. 数轴的方向向左或向右，习惯上向右，错误，不符合题意；     D. 数轴的原点可以画在任意一个位置，正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向， 正确的是； 故选：D． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【答案】 负 正 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 【答案】见解析 【分析】利用数轴的定义，规定1个单位长度（线段的长）代表长，确定方向，首先确定点O表示汽车站牌的位置，然后根据题意表示出情景即可． 【详解】如图，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（的长）代表长；于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和杨树的位置；点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是先确定汽车站牌的位置，然后作为参照来找标注其它情景位置． 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）点A在数轴上表示﹣3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点所表示的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据右加左减的法则进行计算即可． 【详解】∵﹣3+4﹣7=﹣6，∴A点所表示的数是﹣6． 故选B． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知右加左减的法则是解答此题的关键． 【例2】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． _____、_____、_____． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先从数轴得，再依次找出、、2.6、的点，然后依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G，即可作答． 【详解】解：依题意，， 数轴如图所示： 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上，则点表示的数可能是（） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的位置关系是解题关键．根据数轴上点P的位置在和之间，再由选项中的数据可得点P表示的数． 【详解】解：因为点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上， 所以点表示的数大于等于且小于等于， 只有选项B符合要求， 故选：B 2．（24-25七年级上·四川达州·期中）如图，□内的数可以用（   ）来表示 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；因此此题可根据数轴直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知：□内的数可以用表示； 故选C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A，B，C，D，则这四个点从左到右的顺序为 ，离原点距离最近的点为 ． 【答案】 B，A， C，D A 【分析】此题考查了用数轴上的点表示数，把，，，四个有理数表示在数轴上，根据数轴即可得到答案． 【详解】解：把，，，四个有理数表示在数轴上如图， ∴这四个点从左到右的顺序为B，A， C，D，离原点距离最近的点为A， 故答案为：B，A， C，D；A， 4．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段练习）（）写出数轴上的点、点、点所对应的分数： 点__________，点__________，点__________； （）并在数轴上分别用、、表示出，，这三个分数所对应的点． 【答案】（），，；（）数轴表示见解析． 【分析】（）根据数轴即可求解； （）在数轴上找到，，对应的点表示即可； 本题考查了数轴和有理数，掌握数轴上点表示有理数是解题的关键． 【详解】解：（）由数轴可得，点对应的分数为，点对应的分数为，点对应的分数为， 故答案为：，，； （）画图如下： 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征． 逐一判断即可． 【详解】解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 【例2】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里，并用“”把这些数边连起来： ，，，，，，，． 【答案】见解析； 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较；首先化简绝对值和多重符号，然后根据有理数的分类以及有理数的大小比较求解即可． 【详解】解： 如图所示， ． 1（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，由a，b，c在数轴上的位置得到，进而逐项求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，①正确； ，②错误； ，③错误； ，④正确； ，⑤正确； 到原点的距离小于到原点的距离，⑥错误； 在与之间有2个整数，⑦正确． 正确的有4个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据且解答即可． 【详解】解：由a在数轴上的位置可知，且， ∴表示的整数是． 故选B． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）在下面中填数，所填的数中， 更接近零． 【答案】 【分析】此题考查了数轴的认识和负数的意义，根据数轴上点表示的数写出结论即可． 【详解】解：如下图： 所填的数中，更接近零． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）有一个摸球游戏：如图，有6个小球，每个小球上分别写了一个数． 将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号将各数连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示如下所示： ∴． 【经典例题四 数轴上两点之间距离的表示】 【例1】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的有关知识，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．根据数轴，判断A，B两点表示的数，求出，从而确定点C的位置． 【详解】解：由数轴可知：点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴， ∵， ∴点C一定在点A和点B之间， 故选：B． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）问题  （1）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （3）由此你能发现什么？ 【答案】（1）2；（2）2；（3）互为相反数的两个点到原点的距离相等 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上表示两个互为相反数的点到原点的距离相等，是解题的关键．（1）在数轴上，表示的点与原点的距离是2个单位长度； （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是2个单位长度； （3）由此能发现互为相反数的两个点到原点的距离相等． 【详解】（1）在数轴上，表示的点与原点的距离是2； （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是2； （3）由此能发现互为相反数的两个点到原点的距离相等． 1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，点A，O，B在数轴上对应的数分别为，0，5．下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【详解】解：A、正确，故A不符合题意； B、正确，故B不符合题意； C、正确，故C错误，符合题意 D、正确，故D不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级上·山西晋城·期末）数3与在数轴上的对应点之间的距离是（　　） A．0.8 B．5.2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点对应的数的差的绝对值进行计算即可． 【详解】解：数3与在数轴上的对应点之间的距离是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，数轴上的点A、B、C、D，E分别表示有理数、、2、m、n． (1)求A、B两点之间的距离是多少？B、C两点之间的距离呢？B、D两点之间的距离呢？ (2)请用有理数m、n表示D、E两点之间的距离． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）根据点A、B、C、D，E在数轴上所表示的数结合图形进行解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：． 【经典例题五 数轴上点的简单平移】 【例1】 25-26七年级上·全国·周测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，找出圆的运动规律与数轴上数字的对应关系是解题的关键；根据圆的周长为个单位长度，先求出圆在数轴上向左滚动的距离，再除以，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合. 【详解】解： 数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合； 故答案为：A ． 【例2】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没到达原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为；返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置， ∴点向左平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，到达点A的位置， ∴点表示的数为或； 故答案为：7或． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与点B之间的距离记作，已知，b比a大16，则：若点M以每秒1个单位的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点N以每秒3个单位的速度从点B出发，沿数轴向左运动，设运动时间是t秒，当点M与点N之间的距离是8时，则t的值为 ． 【答案】2或6 【分析】利用路程=速度时间，结合两点的路程之和为或，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当两点相遇前距离为8时，， 解得：； 当两点相遇后距离为8时，， 解得：， 综上所述，t的值为2或 故答案为：2或． 【经典例题六 数轴上与原点有关的计算】 【例1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上A、B、C、D四点对应的有理数分别是整数a、b、c、d，且有 c－2a=8，则原点应是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】先根据c-2a=8，从图中可看出c-a=4，再求出a的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵c-2a=8， 从图中可看出c-a=4， ∴c-2a=c-a-a=4-a=8， ∴a=-4， ∴b=-1，c=0，即C是原点． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴，数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意数轴上的点比较大小的方法是左边的数总是小于右边的数．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且c－2a＝7，那么数轴的原点应是（  ）   A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】由图可知C点与A点相隔4个单位长度，即c−a=4；又已知c−2a=7，可解得a=−3，则b=0，即B点为原点. 【详解】根据题意，知c−a=4，即c=a+4， 将c=a+4代入c−2a=7，得：a+4−2a=7， 解得：a=−3， ∴A点表示的数是−3， 则B点表示原点. 故选B. 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于掌握有理数的正数与负数运算. 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 2．（23-24七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【详解】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【点睛】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义. 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）完成下列各题 比较大小：________ ；________（用“、或”填空） 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，， 将有理数填入图中它所属于的集合的圈内． 已知如图：数轴上、、、四点对应的有理数分别是整数、、、，且有，则原点应是________． ．点 ．点 ．点 ．点． 【答案】（1）＜，＜．（2）-3＜-1＜0＜2.5＜4．（3）见解析；（4）B. 【分析】（1）求出绝对值，根据有理数的大小比较法则比较即可． （2）先再数轴表示出来，再比较即可． （3）根据负数、整数、正数的定义选出后填上即可． （4）采取排除法，即可得出选项． 【详解】（1）-0.1＜0.001， ∵|-|=，|-|=， ∴-＜-， 故答案为＜，＜． （2） -3＜-1＜0＜2.5＜4． （3） （4）A、假如A点是原点时，则a=0，c=4，不符合c-2a=7，故本选项错误； B、假如B点是原点时，则a=-3，c=1，符合c-2a=7，故本选项正确； C、假如C点是原点时，则a=-4，c=0，不符合c-2a=7，故本选项错误； D、假如D点是原点时，则a=-7，c=-3，不符合c-2a=7，故本选项错误； 故答案为B点． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，负数、整数、正数的定义，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为，或． 例：如图1，点表示的数，点表示的数， 则，或 ； 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为______ (2)数轴上表示和的两点之间的距离为_____；若表示一个有理数，且，则______； (3)如图2，、两点在数轴上对应的数分别为、，若有、两个小球分别从、两处同时出发，两小球的运动速度分别为2个单位/秒、5个单位/秒，设运动时间为秒钟．若小球向右运动，小球向左运动，同时小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，在小球和小球相遇前的运动过程中．是否存在数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3； (2)；6； (3)存在， 【分析】本题考查的是数轴及绝对值，一元一次方程的应用： （1）结合题意，求出2和的两点之间的距离即可； （2）结合题意，求出x和的两点之间的距离即可；根据数值的大小关系，化简求值； （3）表示出点D表示的数，算出当M和N小球相遇时的时间，由此表示出、，根据为定值求出m即可． 【详解】（1）解：根据题意有，， ∴2和的两点之间的距离为 3， 故答案为：3； （2）x和的两点之间的距离为：； ∵， ∴； 故答案为：；6； （3）∵D小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动， ∴点D表示的数为， 当M和N小球相遇时，有， 解得：， 在M小球和D小球相遇前的运动过程中，有 ，， 则， ∵为定值， ∴， ∴， ∴当时，为定值． 【经典例题七 数轴上整点覆盖问题】 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题． 【详解】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，， 则所有整数的和为， 故答案为：3． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·周测）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 【答案】24 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求出到的整数个数是解题的关键． 由图可知被墨迹盖住的数在到之间，找出到的整数个数并计数即可得到答案． 【详解】解：被墨迹盖住的整数有：，共个 故答案为： 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 【经典例题八 关于数轴的说法正误判断问题】 【例1】（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正整数和负整数统称整数 B．－4和互为相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念，解题的关键是熟练掌握并熟记有理数的相关概念．根据有理数的相关概念，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、正整数和负整数，零统称整数，故A不正确，符合题意； B、－4和互为相反数，故B正确，不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，故C正确，不符合题意； D、任何有理数都可以用数轴上的点表示，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在数轴上位置的描述，正确的是（    ） A．在表示的点的左边 B．在表示的点和原点之间 C．和原点的距离是 D．可由1表示的点向左移动4个单位长度得到 【答案】D 【分析】根据用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的移动等知识，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，在表示的点的右边，A错误，故不符合要求； 不在表示的点和原点之间，B错误，故不符合要求； 和原点的距离是3，C错误，故不符合要求； 可由1表示的点向左移动4个单位长度得到，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据有理数和数轴上的相关概念判断即可． 【详解】①在3和4之间有数，故说法错误； ②在0和之间有负数，说法错误； ③在9和10之间有无数个正数，正确； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个，正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数和数轴，解题的关键是熟悉有理数和数轴的相关知识． 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．数轴上的点不能表示分数 D．数轴上表示的点在原点左边 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，直接利用数轴的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、数轴上的原点表示0，说法正确，故选项B不合题意； C、分数属于有理数，可以用数轴上的点表示，故原说法错误，选项C符合题意； D、数轴上表示的点在原点左边，说法正确，故选项D不合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线，以及数轴的意义逐一分析可得答案．本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应． 【详解】解：数轴上的点与实数一一对应，故①⑥是错误的； 数轴是一条直线的说法正确；故②是错误的； 数轴上的一个点只能表示一个数；故③是正确的； 数轴也可以箭头竖直向上画；故④是正确的； ⑤数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是0，故⑤是错误； 故正确的说法有2个． 故答案为：2． 【经典例题九 数轴上的翻折问题】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点的距离：点、在数轴上表示的数分别为、，则，一元一次方程的应用．掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键， 设出点所表示的数，根据点、所表示的数，可以表示出的距离，再根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解． 【详解】解：设点所表示的数为，， ，点所表示的数为9， 表示的数为或， 或22， 根据折叠得，， 或， 解得：或， 故选：D． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【答案】(1) (2)或3 (3)点M表示的数是1011，点N表示的数是 【分析】本题考查有理数与数轴，折叠问题，计算出折叠处的点表示的数是解题的关键． （1）计算出折叠处的点表示的数，即可求解； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或，分两种情况计算即可； （3）先计算出所在点到点M或点N的距离，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数1表示的点重合， 折叠处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：由（1）知折叠处的点表示的数为：， 若点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或， 点A所表示的数为5时，，， 点B表示的数是； 点A所表示的数为时，，， 点B表示的数是3； 故答案为：或3； （3）解： M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合， 所在点到点M或点N的距离为：， 点M表示的数比点N表示的数大， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点A表示的数点B表示的数线段的长，即可求出点A表示的数； （2）根据，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设点D表示的数为y，则点表示的数是，根据，可列出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数是1，点A在点B的左侧，且， ∴点A表示的数是； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为6； （3）解：设点D表示的数为y，则点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：点D表示的数为或． 【经典例题十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、有理数的四则运算法则等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，， A.∴，即此选项不符合题意； B.，即此选项不符合题意； C.，即此选项不符合题意； D.，即此选项符合题意． 故选∶D． 【例2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由数轴可得，则，，从而求得答案． 本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号． 【详解】由数轴可得， 则，， 那么， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【详解】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a－1）（b－1）＞0；②（a－1）（b＋1）＞0；③（a＋1）（b＋1）＞0．其中，正确式子的序号是 ． 【答案】①② 【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，大数减去小数差为正，小数减去大数差为负，再根据乘法运算法则即可依次进行判断，得出答案． 【详解】根据数轴上点的位置可得：，， ①、，， ∴，故①正确； ②、，， ∴，故②正确； ③、，， ，故③错误； 故答案为：①②． 【点睛】题目主要考查了数轴上的点的大小比较、两个数相乘积的符号问题，熟练运用数轴上的点的大小比较是解题关键． 【拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【答案】(1)D， (2) 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、数轴；关键是能利用数轴准确表示有理数，并能列式计算 （1）根据点B表示的数和的值即可求出点D表示的数，进而求得原点的位置，然后根据A在点B左侧即可解答； （2）根据的长度即可求单位长度． 【详解】（1）解：点B表示的数为，， 点C表示的数为：，点D表示的数为：， ∴原点所在的位置是点处； 点A表示的数为：， 故答案为：，， （2）当点D表示的数是32，点B表示的数为． ， 相邻两点之间的距离， ． 1．（23-24九年级下·重庆忠县·期中）距离，是数学、天文学、物理学研究的基本问题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度．若点A、B在数轴上代表的数为a﹑b，则A、B两点之间的距离，则下列说法： ①数轴上表示x和的两点之间的距离是﹔ ②若，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当时，代数式有最小值为6； ④当代数式取最小值时，x的取值范围是； ⑤点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若﹐则点A位于B，C两点之间． 其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．③④ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可． 【详解】解：①数轴上表示和的两点之间的距离是，故①错误； ②设点表示数， 点表示的数是， ， ， ， 解得：或， 故②错误； ③代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， 当时，为最小值．故③正确； ④代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和，当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， 当代数式取最小值时，的取值范围是，故④正确； ⑤表示点到点、的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点 位于 、两点之间，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 3．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的计算方法的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题可以采用两种方法：第一种方法在数轴上直接表示出、和的数，然后即可求出两点之间的距离；第二种方法就是直接用较大的数减去较小的数，在数轴上越靠右的数越大，然后即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； 故答案为：2；6． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 【拓展训练二 数轴上点运动规律探究】 【例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 2．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键． 原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 14 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离大于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离大于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；14． 【拓展训练三 数轴上的双动点问题】 【例1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①； ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性． 【详解】解：∵，，且， ∴，，解得，，故①正确； 当点与点重合时， ∵，， ∴，故②错误； 设点P表示的数是， 当点与点重合时，点B表示的数是2， ，，， ∴，故③正确； 设点B表示的数是，则点C表示的数是， ∵M是OB的中点， ∴点M表示的数是， ∵N是AC的中点， ∴点N表示的数是， 则，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法． 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是数轴的原点，点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，在线段上，满足． (1)填空：______，______，______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒． ①当时，求的值； ②在点，出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇后，点立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，一直到点后停止．当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；②或或 【分析】本题考查了非负数的性质，根据数轴表示有理数，数轴上动点问题，一元一次方程的应用； （1）根据偶次幂的非负性，绝对值的非负性求得的值，进而根据，得出，即可求解； （2）①点M、N在相遇前，点M表示的数：，点N表示的数为：，点、相遇后，点表示的数为，根据列出方程，解方程，即可求解； ②先求得点与点首次相遇表示的数为，当相遇前，则，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数：，当时，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数：，当时，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数：，根据列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为：，，． （2）解：①点M、N在相遇前，点M表示的数：，点N表示的数为：， ∵， ∴， 解得， 点、相遇后，点表示的数为， ∵， ∴， 解得， ∴时，或； ②点与点首次相遇，即， 解得，此时点表示的数为 当相遇前，则，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数：， ∴， ∵ ∴ 解得：     当时，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数：， ∵点速度大于的速度，则相遇后向右，则点总在点的右侧， ∴， 当相遇时，，解得： 当时， 当时， ∵ ∴或 解得：或（舍去） 当时，点M表示的数：，点N表示的数为：，点表示的数： ∴， ∵ ∴ 解得：（舍去） 当时，点表示的数为，点N表示的数为：，点表示的数： ∴， ∵ ∴ 解得： 综上所述，或或 1．（2023北京海淀·一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（    ）个 （1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，； （2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1； （3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】（1）先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，再比较即可； （2）由题意可知数m和数m+2相等或是互为相反数，进而求出答案； （3）根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）由数轴可得：-1＜m＜0＜2＜n＜3，且|m|＜|n|． ∴， -2＜2m＜0， ∴， 故（1）错误； （2）由题意得：|m|=|m+2|， ∴m=m+2或m=-（m+2）， ∴m=-1． 故（2）错误； （3）由数轴可知：c＜0，b=5，|c|＜5，|d-5|=|d-c|， ∴BD=CD， ∴D点介于O、B之间， 故（3）错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，比较简单，因为是选择题故可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． （1）点M对应的数为 （用含t的式子表示）； （2）当t为 时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】 或 【分析】（1）根据点C表示的数和，得出点B表示的数，再根据得出点A表示的数，结合点P运动情况表示出点P，根据M为的中点可得结果； （2）求出点Q表示的数，根据题意列出方程，解之可得． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为6，， ∴点B对应的数为， ∵， ∴点A对应的数为， 由运动可知：点P表示的数为：， ∴点M表示的数为； 故答案为：； （2）由运动可知：点Q表示的数为：， ∵P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．根据数量关系列出方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为6，，，动点P，Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N在上，且，则经过 秒时，之间距离为4．    【答案】6或10/10或6 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，一元一次方程方程的应用等知识，设运动时间为t秒，依次求出点B、A、P、M、Q、N所表示的数，从而得到，继而得解，求出点M、N所表示的数，以及利用数轴上两点间的距离公式求解或者分类讨论是解题的关键，注意利用数轴上两点间的距离公式可以不必讨论． 【详解】解：∵点C对应的数为6，且， ∴点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为： 设运动时间为t秒，则点P对应的数为：，点Q对应的数为：， 又∵M为的中点， ∴点M对应的数为： ∵点Q对应的数为：，点C对应的数为6， ∴， ∴， 又∵N在上， ∴点N对应的数为：， ∴ 又∵ ∴ 解得：或 经过6或10秒时，M，N之间的距离为4． 故答案为：6或10． 4．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①M和N的相遇点Q所对应的数为；②存在，符合题意的t的值为：或 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可得出结果； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，分两种情况分析，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解得， 故答案为：； （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设，则， 因为M和N两点分别在上运动的时间相同， 则， 解得， 则Q表示的数为， 故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如下： ∵， ∴点M从A到O所需时间为：， ∵， ∴点M从O到C所需时间为：， ∵， ∴点N从B到C所需时间为：， 点N从C到O所需时间为： 点N返回时， 点N从O到C所需时间为：， 点N从C到B所需时间为：， 由此再分类讨论如下： （1）当点M在上时，点N在上运动，此时， 此时； ， ∴， 解得； （2）当点N在上时， ①点M在上且点M和点N相遇前，当两点相遇时，，当， ， ， ∴ 解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时， ， ∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，， ∴， 解得，不符合题意；, 综上所述，符合题意的t的值为：或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 【拓展训练四 数轴上的多动点问题】 【例1】（23-24七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的一点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，数轴上两点A，B对应的数分别为，4，原点O是点A，B的2倍点，点P为数轴上一动点，若点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设出发t秒后，点P恰好是点A，O的“2倍点”，则t的值为 ．    【答案】或或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，由点P表示的数为，可得，根据“2倍点”的定义可得或，再建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得点P表示的数为， ∵数轴上点A表示，点O表示0， ∴， ∵点P恰好是点A，O的“2倍点”， ∴或， ∴或， 当时， ∴或， 解得：或； 当时， ∴或， ∴或 综上所述，的值为或或或； 故答案为；或或或． 【例2】（23-24七年级上·浙江·阶段练习）如图所示，已知A、B、C是数轴上三点，点O表示原点，点C对应的数为4，BC=2，AB=10，动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，点M为AP的中点，点N在CQ上，且CN=，设运动时间为t s（t＞0），则t= s时，OM=2BN．    【答案】14或． 【分析】当运动时间为t秒时，点P对应的数为6t-8，点Q对应的数为3t+4，结合M为AP的中点，N在CQ上且CN=CQ，即可得出OM=|3t-8|，BN=|1-（t+4）|，由OM=2BN，即可得出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P对应的数为6t-8，点Q对应的数为3t+4， ∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN=CQ， ∴点M对应的数为=3t-8，点N对应的数为=t+4， ∴OM=|3t-8|，BN=|1-（t+4）|． ∵OM=2BN， ∴|3t-8|=2|1-（t+4）|， 即3t-8=2t+6或8-3t=2t+6， 解得：t=14或t=， 故答案为：14或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1．（22-23七年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 【答案】1或 【分析】先将经过t秒后点C和点D表示的数表示出来，再分为三种情况进行讨论：当点O为中点时；当点D为中点时；当点C为中点时． 【详解】解：根据题意得： 经过t秒后，点C表示的数为：，点D表示的数为：； 当点O为中点时：，解得：， 当点D为中点时：，解得：， 当点C为中点时：，解得：（舍）， 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的两点之间的距离，解题的关键是根据题意找出其中的等量关系，进行分类讨论． 2．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为x，点B对应的数为y，且点O为数轴上的原点，且. （1）点A对应的数为______；点B对应的数为______；线段的长度为_______； （2）若数轴上有一点C，且，求点C在数轴上对应的数； （3）若点P从A点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，同时Q点从B点出发沿数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，当时，求t的值. 【答案】（1）-5；4；9；（2）-8或7；（3）和． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值； （2）根据AB=9可知点C在点A的左侧或点B的右侧，分点C在点A左侧和点C在点B右侧两种情况考虑，找出AC、BC的长度结合AC+BC=15即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点P、Q的运动找出OP、OQ的长度，结合OP=2OQ即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵|a+5|+（a+b+1）2=0， ∴a+5=0，a+b+1=0， ∴a=-5，b=4． ∴AB=｜4-（-5）｜=9， （2）设点C在数轴上对应的数为x， ∵AB=4-（-5）=9， ∴点C在点A的左侧或点B的右侧， 若点C在点A左侧，则AC=-5-x，BC=4-x，如图1所示． ∴AC+BC=-5-x+4-x=-1-2x=15， 解得：x=-8； 若点C在点B右侧，则AC=x-（-5）=x+5，BC=x-4， ∴AC+BC=x+5+x-4=15， 解得：x=7． ∴点C在数轴上对应的数为-8或7． （3）OP=|5-2t|，OQ=|4-4t|，如图2所示． ∵OP=2OQ， ∴|5-2t|=2|4-4t|， 解得：t1=，t2=． ∴当OP=2OQ时，t的值为和． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，点A在数轴上表示的数是-4，点B在原点右侧且到点A的距离为8，且点B为线段OC的中点． (1)点B在数轴上所表示的数是_________，点C在数轴上所表示的数是________； (2)现有一动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，另一动点Q从C点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，点T是线段PQ的中点，设运动时间为t，当时，求出相应t的值； (3)以AB为边在数轴的上方作长方形ABMN，且．现有一动点E从B出发以每秒1个单位的速度沿的方向运动；同时动点F从A点出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动．当点F运动到N点时速度提为每秒4个单位继续运动到点M，然后立即以提速后的速度返回至点N停止运动．当F点停止运动时，点E也随之停止运动，设点F的运动时间为x，请用含x的代数式表示三角形BEF的面积S，并写出对应x的取值范围． 【答案】(1)4，8 (2)t的值为或8. (3)当时，；当时，当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设点B在数轴上所表示的数是m，点C在数轴上所表示的数是n，由点B在原点右侧且到点A的距离为8，且点B为线段OC的中点，即可求解； （2）经过t秒，点P、Q在数轴上所表示的数分别是：-4+6t，8+2t，由T为P、Q中点，得点T在数轴上所表示的数，由得方程即可求解； （3）分五种情况讨论即可. 【详解】（1）解：设点B在数轴上所表示的数是m，且点B在原点右侧且到点A的距离为8， ∴m-（-4）=8，即m=4， 点C在数轴上所表示的数是n，且且点B为线段OC的中点， ∴n=2m=8， 故答案为：4，8 （2）经过t秒，点P、Q在数轴上所表示的数分别是：-4+6t，8+2t， ∵T为P、Q中点， ∴点T在数轴上所表示的数是：， 由得：， 解得，或， ∴当时， t的值为或8. （3）解：分情况： ①当E、F分别在BM、AN上时，如图所示： 此时BE=AF=x， 当时，； ②当E、F都在MN上，且在相遇之前，如图所示： 此时EF=12-x-2-4（t-2）=18-5x， 故当时， ③当E、F在相遇之后且F到达M之前，如图所示： 此时EF=2+4（x-2）+x-12=5x-18， 故当时，； ④当F到达M之后，未追上E之前，如图所示： 此时EF=x-2-4（x-4）=14-3x， 故当时，； ⑤当F追上E之后，，如图所示： 此时EF= 4（x-4）-(x-2)= 3x-14， 故当时， 综上：当时，；当时，当时，；当时，；当时， 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建绝对值方程解决问题，题目比较难． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离． 例：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5． 分析：由绝对值的几何意义知，该方程表示：求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的数，而在数轴上，1和﹣2的距离为|1﹣（﹣2）|＝3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边， 由图可知看出x＝2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|+|x+3|＝7的解为　 　． （2）代数式|x﹣1|+|x+4|的最小值为　 　． （3）如图，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是-3，B点表示数是-1，C点表示数是6，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　 　，AC＝　 　．（用含t的代数式表示） （4）在（3）的条件下，若mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变，试确定m的值． 【答案】（1）x=-4或x=3；（2）5；（3）3t+2， 9+4t；（4）m＝3 【分析】（1）分类讨论：，根据绝对值的意义，可化简方程，然后解方程，可得答案； （2）代数式|x﹣1|+|x+4|的最小值即为x在1和-4之间时值最小； （3）根据点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，表示出移动的距离，即可得出AB、AC； （4）根据mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变，可以判断出汗t的项的系数为0,进而能求出m的值. 【详解】当时，原方程可化为 ，解得； 当时，原方程等价于，不存在x的值； 当时，原方程等价于，解得； 故答案为或 代数式|x﹣1|+|x+4|的最小值即为x在1和-4之间时的值 即为， ∴ 故答案为. （3）∵A点表示数是-3，B点表示数是-1，C点表示数是6， ∴原来的距离是：，原来的距离是： ∴，； 故填：、 （4）∵mAC﹣4AB＝m（4t+9）﹣4（3t+2）＝（4m﹣12）t+9m﹣8， ∵mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变， ∴4m﹣12＝0， ∴m＝3． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义、数轴、一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是要用分类讨论及数形结合的思想. 【拓展训练五 有关数轴的新定义问题】 【例1】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】解：设运动时间为t，则t秒后点P表示的数为，点M表示的数为， 当点P在点M左侧时，， 解得：； 当点P在点M右侧时，， 解得：； 综上分析可知，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为秒或秒， 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·浙江金华·期中）若A、B、C为数轴上的三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，我们就称点C是的好点．例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的好点，但点D就不是的好点． （1）如图1，点B是的好点吗？ （填“是”或“不是”）； （2）如图2，A、B为数轴上两点，点A表示的数为，点B表示的数为60．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左运动，到达点A停止，当运动时间为 秒时，P、A和B中恰有一点为其余两点的好点． 【答案】 是 6或9或12 【分析】（1）计算B到D的距离，B到C的距离，看是否满足好点的定义； （2）分四种情况讨论：（Ⅰ）P是的好点；（Ⅱ）若P是的好点；（Ⅲ）若B是的好点；（Ⅳ）若A是的好点，根据好点的定义列出方程求解． 【详解】解：（1）由图可得，，所以点B是的好点． （2），，， （Ⅰ）若P是的好点，则可得，解得；   （Ⅱ）若P是的好点，则可得，解得； （Ⅲ）若B是的好点，则可得，解得；   （Ⅳ）若A是的好点，则可得，解得． 综上所述：当或9或12时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点． 故答案为：是；6或9或12． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程，正确理解好点的定义，找出线段的关系是本题的关键． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两点的“欢乐点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，2，3，满足，此时点B是点A，C的“欢乐点”．    （1）若数轴上点M表示，点N表示1，点，，分别对应，和4，则点M，N的“欢乐点”为 点； （2）已知P为数轴上一动点，若点N是点P，M的“欢乐点”，则此时点P表示的数为 ． 【答案】 或或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式分别计算出点，，到点M和到点N的距离，再根据“欢乐点”的定义进行逐一判断即可； （2）设点P表示的数为x，则，根据“欢乐点”的定义可得或，即或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴点是点M，N的“欢乐点”； 同理可得，， ∵，， ∴点，都不是点M，N的“欢乐点”， 故答案为：； （2）设点P表示的数为x， ∵数轴上点M表示，点N表示1， ∴， ∵点N是点P，M的“欢乐点”， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或或， 综上所述，点P表示的数为或或或， 故答案为；或或或． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 3．（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若为数轴上三点，若点到的距离是到点距离的2倍，我们就称是【】的美好点． 例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【】的美好点，又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【】的美好点，但点是【】的美好点．    如图2，是数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是2．       (1)点表示的数分别为，6.5，11，其中是【】的美好点的是__________，是【】的美好点的是__________． (2)现有一个电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为秒，当点是点，的美好点时，求的值． 【答案】(1)，； (2)的值为、3或9 【分析】（1）根据美好点的定义对三点进行计算，其中到点的距离等于到的距离的2倍，为【】的美好点，同理可以求出【】的两个美好点； （2）当点为【】的美好点时，点或，当点为【】的美好点时，点或，分情况分别进行求值即可得到答案． 【详解】（1）解：设【】的美好点为，有两种情况： 当在之间时，， 解得：， 当在点右边时，， 解得：， 点是【】的美好点， 设【】的美好点为，有两种情况： 当在之间时，， 解得：， 当在点左边时，， 解得：， E点是【】的美好点， 故答案为：，E； （2）解：由（1）可得： 当点为【】的美好点时，点或， 当点为【】的美好点时，点或， 当时，，解得：， 当时，此时点在的右侧，不符合题意，舍去， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 的值为、3或9． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，读懂题意，理解到美好点的意义，采用分类讨论的思想，是解题的关键． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一根被污染的数轴．已知点之间的距离与点之间的距离相等，则点对应的数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟记两点之间的距离公式是解题的关键． 先根据数轴确定点对应的数为，再根据“在数轴上，两点间的距离等于右边的点对应的数减去左边的点对应的数”可求得点之间的距离为，结合点之间的距离与点之间的距离相等这一条件以及点的位置，进而求出点对应的数． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为． 点之间的距离为． 点之间的距离与点之间的距离相等， 点之间的距离也为． 又点对应的数为，且点在点的右边， 点对应的数为． 故选：C 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：， 解得． 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 7．（24-25九年级下·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 8．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 10．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，先根据在数轴上的位置判断出的取值范围，再比较出各数的大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，故正确； 由数轴可知：，， ∴，故正确； 由数轴可知：， ∴，， ∴，故错误； 由数轴可知：， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上可知：正确，共个正确， 故选：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点M与点N之间的距离是5个单位长度，点N表示， ∴点M表示的数是或； 故答案为：3或． 12．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和相反数的几何意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据和数轴可得出点A与点B表示的数互为相反数，即可求解． 【详解】解：，表示 点表示的数为， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 14．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查数轴上两点间距离相关知识，解题关键是分所求点在已知点左侧和右侧两种情况进行讨论计算． 根据数轴上两点间距离的定义，分左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】解：①该点在点A右侧 ∵在数轴上，右边的数比左边的数大，点表示的数是 ∴当所求点在点右侧时，该点比大 ， ∴这个数为 ． ②该点在已点A左侧 ∵在数轴上，左边的数比右边的数小， ∴该点比小 ， ∴这个数为 ． 综上所述：或0， 故答案为：或0． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数表示的点在数轴上的位置如下图所示． (1)在数轴上表示出的相反数的位置． (2)若数表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度，求的值． (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)c的值为5或15 【分析】本题考查了数轴的概念、相反数的几何意义及数轴上两点间的距离计算，关键在于理解互为相反数的点关于原点对称的性质，以及利用数轴上两点间距离等于其坐标差的绝对值这一原理来解决问题，通过确定数与原点的距离并结合数的正负性来求解具体数值． (1) 利用相反数的几何意义（数轴上关于原点对称的点）确定a、b相反数的位置； (2) 结合数轴上两点距离与原点的关系，先求b到原点的距离，再根据b的符号确定b的值； (3) 先由(2)得b的相反数，再根据数轴上两点距离的两种情况（左右两侧）计算c的值． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：数b表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度， 数b表示的点距原点10个单位长度． 又数b表示的点在原点的左侧，所以． （3）解：由（2）知，，所以．因为数c表示的点与数表示的点相距5个单位长度， 所以c的值为5或15． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，其中数a在如下图所示的数轴上的对应点为M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． (1)________，________． (2)写出绝对值小于a的所有整数和大于b的所有负整数． (3)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“>”连接起来． 【答案】(1)2 ， (2)绝对值小于a的所有整数为，0，1；大于b的所有负整数为 (3)数轴上表示见解析， 【分析】（1）根据数轴确定数a的值，再由b与原点的距离得出b的值. （2）根据绝对值、整数、负整数的概念求出满足条件的数. （3）在数轴上标出各点并比较大小. 【详解】（1）解：由数轴可知，点M对应的数为2，所以,因为b是负数，且与原点的距离为3.5，所以. 故答案为：2，. （2）解：因为，所以绝对值小于2的整数为； 因为,所以大于b的负整数为. （3）解：在数轴上表示各数，如图： 由数轴可知：. 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到A村，继续向东行驶到B村，然后向西行驶到C村，最后回到快递点． (1)以该快递点为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示画数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置． (2)C村离A村有多远？ (3)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移问题，解题的关键是根据题意画出数轴，本题属于基础题型． （1）根据题意画出数轴，在数轴上表示三个村庄的位置即可； （2）根据数轴即可求出的距离； （3）求出快递员走的总路程，根据题意即可求出耗油的数量． 【详解】（1）解：依题意得，数轴为： （2）依题意得，点C与点A的距离为： 所以C村离A村． （3）依题意得，快递员骑了， ∴共油耗量为：． 答：面包车耗油1.44升． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02数轴重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间距离的表示 题型五 数轴上点的简单平移 题型六 数轴上与原点有关的计算 题型七 数轴上整点覆盖问题 题型八 关于数轴的说法正误判断问题 题型九 数轴上的翻折问题 题型十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负 拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合 拓展训练二 数轴上点运动规律探究 拓展训练三 数轴上的双动点问题 拓展训练四 数轴上的多动点问题 拓展训练五 有关数轴的新定义问题 知识点一、数轴 定义:规定了 原点 、 单位长度 和 正方向 的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫作 原点 。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 知识点二、数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正半轴 与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点在数轴的 负半轴 上，与原点的距离是 a 个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，数轴上点所表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上与表示的点的距离等于的点表示的有理数是 ． 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”或“”） 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）画出数轴，在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小，用“”连接起来． 3 ， ，1.5 ， ，0． 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【例2】（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（    ） A．数轴的原点必须画在数轴的中间 B．数轴的单位长度必须是1厘米 C．数轴的方向必须向右 D．数轴的原点可以画在任意一个位置 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）点A在数轴上表示﹣3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点所表示的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．8 D．6 【例2】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． _____、_____、_____． 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上，则点表示的数可能是（） A． B． C．0 D．3 2．（24-25七年级上·四川达州·期中）如图，□内的数可以用（   ）来表示 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A，B，C，D，则这四个点从左到右的顺序为 ，离原点距离最近的点为 ． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段练习）（）写出数轴上的点、点、点所对应的分数： 点__________，点__________，点__________； （）并在数轴上分别用、、表示出，，这三个分数所对应的点． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【例2】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里，并用“”把这些数边连起来： ，，，，，，，． 1（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）在下面中填数，所填的数中， 更接近零． 4．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）有一个摸球游戏：如图，有6个小球，每个小球上分别写了一个数． 将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号将各数连接起来． 【经典例题四 数轴上两点之间距离的表示】 【例1】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）问题  （1）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （2）在数轴上，表示的点与原点的距离是多少？ （3）由此你能发现什么？ 1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，点A，O，B在数轴上对应的数分别为，0，5．下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山西晋城·期末）数3与在数轴上的对应点之间的距离是（　　） A．0.8 B．5.2 C． D．3 3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，数轴上的点A、B、C、D，E分别表示有理数、、2、m、n． (1)求A、B两点之间的距离是多少？B、C两点之间的距离呢？B、D两点之间的距离呢？ (2)请用有理数m、n表示D、E两点之间的距离． 【经典例题五 数轴上点的简单平移】 【例1】（25-26七年级上·全国·周测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为 ． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与点B之间的距离记作，已知，b比a大16，则：若点M以每秒1个单位的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点N以每秒3个单位的速度从点B出发，沿数轴向左运动，设运动时间是t秒，当点M与点N之间的距离是8时，则t的值为 ． 【经典例题六 数轴上与原点有关的计算】 【例1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上A、B、C、D四点对应的有理数分别是整数a、b、c、d，且有 c－2a=8，则原点应是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且c－2a＝7，那么数轴的原点应是（  ）   A． A点 B．B点 C．C点 D．D点 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的数分别是整数，，，，且，那么这条数轴上的原点是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知如图：数轴上A，B，C，D四点对应的有理数分别是整数a，b，c，d，且有c﹣2a＝7，则原点应是点 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）完成下列各题 比较大小：________ ；________（用“、或”填空） 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，， 将有理数填入图中它所属于的集合的圈内． 已知如图：数轴上、、、四点对应的有理数分别是整数、、、，且有，则原点应是________． ．点 ．点 ．点 ．点． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为，或． 例：如图1，点表示的数，点表示的数， 则，或 ； 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为______ (2)数轴上表示和的两点之间的距离为_____；若表示一个有理数，且，则______； (3)如图2，、两点在数轴上对应的数分别为、，若有、两个小球分别从、两处同时出发，两小球的运动速度分别为2个单位/秒、5个单位/秒，设运动时间为秒钟．若小球向右运动，小球向左运动，同时小球从原点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，在小球和小球相遇前的运动过程中．是否存在数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 数轴上整点覆盖问题】 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26七年级上·全国·周测）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【经典例题八 关于数轴的说法正误判断问题】 【例1】（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正整数和负整数统称整数 B．－4和互为相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在数轴上位置的描述，正确的是（    ） A．在表示的点的左边 B．在表示的点和原点之间 C．和原点的距离是 D．可由1表示的点向左移动4个单位长度得到 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） ①在3和4之间没有数； ②在0和之间没有负数； ③在9和10之间有无数个正数； ④数轴上，在表示和的两点之间的整数有6个． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．数轴上的点不能表示分数 D．数轴上表示的点在原点左边 4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有 个． 【经典例题九 数轴上的翻折问题】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 【经典例题十 根据点所在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“”“”或“”） 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a－1）（b－1）＞0；②（a－1）（b＋1）＞0；③（a＋1）（b＋1）＞0．其中，正确式子的序号是 ． ∴ 【拓展训练一 数轴上两点之间的距离综合】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 1．（23-24九年级下·重庆忠县·期中）距离，是数学、天文学、物理学研究的基本问题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度．若点A、B在数轴上代表的数为a﹑b，则A、B两点之间的距离，则下列说法： ①数轴上表示x和的两点之间的距离是﹔ ②若，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当时，代数式有最小值为6； ④当代数式取最小值时，x的取值范围是； ⑤点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若﹐则点A位于B，C两点之间． 其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．③④ D．③④⑤ 2．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【拓展训练二 数轴上点运动规律探究】 【例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【拓展训练三 数轴上的双动点问题】 【例1】（23-24七年级上·北京海淀·期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①； ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是数轴的原点，点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，在线段上，满足． (1)填空：______，______，______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒． ①当时，求的值； ②在点，出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇后，点立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，一直到点后停止．当时，请直接写出的值． 1．（2023北京海淀·一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（    ）个 （1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，； （2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1； （3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间； A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． （1）点M对应的数为 （用含t的式子表示）； （2）当t为 时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为6，，，动点P，Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N在上，且，则经过 秒时，之间距离为4．    4．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练四 数轴上的多动点问题】 【例1】（23-24七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的一点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，数轴上两点A，B对应的数分别为，4，原点O是点A，B的2倍点，点P为数轴上一动点，若点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设出发t秒后，点P恰好是点A，O的“2倍点”，则t的值为 ．    【例2】（23-24七年级上·浙江·阶段练习）如图所示，已知A、B、C是数轴上三点，点O表示原点，点C对应的数为4，BC=2，AB=10，动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，点M为AP的中点，点N在CQ上，且CN=，设运动时间为t s（t＞0），则t= s时，OM=2BN．    1．（22-23七年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 2．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为x，点B对应的数为y，且点O为数轴上的原点，且. （1）点A对应的数为______；点B对应的数为______；线段的长度为_______； （2）若数轴上有一点C，且，求点C在数轴上对应的数； （3）若点P从A点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，同时Q点从B点出发沿数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，当时，求t的值. 3．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，点A在数轴上表示的数是-4，点B在原点右侧且到点A的距离为8，且点B为线段OC的中点． (1)点B在数轴上所表示的数是_________，点C在数轴上所表示的数是________； (2)现有一动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，另一动点Q从C点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，点T是线段PQ的中点，设运动时间为t，当时，求出相应t的值； (3)以AB为边在数轴的上方作长方形ABMN，且．现有一动点E从B出发以每秒1个单位的速度沿的方向运动；同时动点F从A点出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动．当点F运动到N点时速度提为每秒4个单位继续运动到点M，然后立即以提速后的速度返回至点N停止运动．当F点停止运动时，点E也随之停止运动，设点F的运动时间为x，请用含x的代数式表示三角形BEF的面积S，并写出对应x的取值范围． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离． 例：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5． 分析：由绝对值的几何意义知，该方程表示：求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的数，而在数轴上，1和﹣2的距离为|1﹣（﹣2）|＝3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边， 由图可知看出x＝2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|+|x+3|＝7的解为　 　． （2）代数式|x﹣1|+|x+4|的最小值为　 　． （3）如图，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是-3，B点表示数是-1，C点表示数是6，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　 　，AC＝　 　．（用含t的代数式表示） （4）在（3）的条件下，若mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变，试确定m的值． 【拓展训练五 有关数轴的新定义问题】 【例1】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【例2】（23-24七年级上·浙江金华·期中）若A、B、C为数轴上的三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，我们就称点C是的好点．例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的好点，但点D就不是的好点． （1）如图1，点B是的好点吗？ （填“是”或“不是”）； （2）如图2，A、B为数轴上两点，点A表示的数为，点B表示的数为60．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左运动，到达点A停止，当运动时间为 秒时，P、A和B中恰有一点为其余两点的好点． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两点的“欢乐点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，2，3，满足，此时点B是点A，C的“欢乐点”．    （1）若数轴上点M表示，点N表示1，点，，分别对应，和4，则点M，N的“欢乐点”为 点； （2）已知P为数轴上一动点，若点N是点P，M的“欢乐点”，则此时点P表示的数为 ． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 3．（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若为数轴上三点，若点到的距离是到点距离的2倍，我们就称是【】的美好点． 例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【】的美好点，又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【】的美好点，但点是【】的美好点．    如图2，是数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是2．       (1)点表示的数分别为，6.5，11，其中是【】的美好点的是__________，是【】的美好点的是__________． (2)现有一个电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为秒，当点是点，的美好点时，求的值． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 2．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一根被污染的数轴．已知点之间的距离与点之间的距离相等，则点对应的数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 7．（24-25九年级下·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 8．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：；；；，其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是 ． 12．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是 ． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 14．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数表示的点在数轴上的位置如下图所示． (1)在数轴上表示出的相反数的位置． (2)若数表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度，求的值． (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求的值． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，其中数a在如下图所示的数轴上的对应点为M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． (1)________，________． (2)写出绝对值小于a的所有整数和大于b的所有负整数． (3)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“>”连接起来． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到A村，继续向东行驶到B村，然后向西行驶到C村，最后回到快递点． (1)以该快递点为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示画数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置． (2)C村离A村有多远？ (3)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $$