第10讲 直角三角形（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第10讲 直角三角形（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 .直角三角形的定义 2 .直角三角形的性质 3. 直角三角形的判定 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、斜边的中线等于斜边的一半 三、锐角互余的三角形是直角三角形 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1 .直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点2 .直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点3. 直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90^∘ ， ∴△ABC 是直角三角形. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是斜边上的高线，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质．在熟记知识点的基础上应用是关键． 利用等角的余角相等进行计算． 【详解】解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴． ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【答案】/25度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键；先根据三角形高的定义得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余得． ，然后再根据 即可得出答案． 【详解】解：∵是 斜边的高， ， ， ， ， 故答案为： 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，即可解题． （2）本题与（1）问的证明类似，证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，是斜边上的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， 故选：C 5．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，斜边上的中线，则斜边的长是 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知：是的两条高，分别为的中点．    (1)请写出线段与的大小关系，并说明理由； (2)请写出线段与的位置有什么关系？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)垂直且平分，理由见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】该题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是掌握直角三角形以及等腰三角形的性质； （1）根据直角三角形的性质证明，同理证明，即可求解； （2）根据等腰三线合一的性质即可证明； 【详解】（1）， 证明：是的两条高， ， ， ∵在中，是斜边的中点， ， 是的两条高， ， ， ∵在中，是斜边的中点， ， ； （2）垂直且平分， 证明：∵是的中点， ∴是等腰底边的中线， ， ∴垂直且平分． 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有4个， 如图： ②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个， 如图： 综上，满足上述条件的点C有8个． 故选C． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    【答案】；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形内角和定理的应用、根据等边对等角证明、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、中线的定义以及直角三角形的判定等知识点，利用中线的定义，可得出，结合，可得出，根据等边对等角可得出，，利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出，再利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”，即可得证．根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（中线的定义）． ∵， ∴． ∴（等边对等角）， 同理，， ∵（三角形内角和等于）， ∴， ∴是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）． 故答案为：；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形． 分层强化 一、单选题 1．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 2．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 3．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键；利用等角的余角相等证明即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故选：D． 4．如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 5．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由直角三角形的性质求出，由全等三角形的性质推出，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：． 6．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 7．已知在中，斜边上的中线，则斜边的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可进行解答． 【详解】解：在中，斜边上的中线，则斜边 故选：D． 8．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 二、填空题 9．在中，一个锐角为，则另一个锐角为 度． 【答案】65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中两锐角互余． 根据在直角三角形中两锐角互余求解即可． 【详解】解：另一个锐角为：． 故答案为：65． 10．若直角三角形斜边上的中线为4，则这个直角三角形的斜边为 ． 【答案】8 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：直角三角形斜边上的中线为4， ∴这个直角三角形的斜边为， 故答案为：8 ． 11．在中，，，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在于点E，与相交于点D，若，，则 °， °． 【答案】 60 105 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：60；105． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的外角性质，准确识图是解题的关键． 13．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得出，所以为等腰三角形，可求出的度数，进而即可得解． 【详解】解：在中，，是的中点， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：． 14．如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，直角三角形的性质．由全等三角形的性质推出，得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，画的高； (2)在图2中，在线段上求作一点，使得． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查网格中基本作图，熟知网格特点是关键． （1）根据网格特点，利用全等三角形的判定与性质，结合锐角互余的三角形是直角三角形画图即可； （2）根据网格特点，利用全等三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 17．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为15 【知识点】等边三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：是的斜边边上的中线，且， ， ， 是等边三角形， 的周长为15． 18．如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)19 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，，进而利用等腰三角形的判定解答即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 19．如下图，在中，，E为射线上一点，且于点F． (1)若，则______． (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）在中利用内角和定理易得：进而得到的度数，再在和中利用内角和定理解答即可． （2）根据（1）猜测出与的数量关系即可；在中利用三角形内角和定理结合，得出，再在中利用内角和定理结合对顶角相等得到，再在中利用内角和定理解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：．理由如下： ， ， ， ． ， ． 20．如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即； （2）由面积法可求得的长． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，即， ∴是的高； （2）∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键． 21．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 22．已知在中，，，D是的中点，M是边上的一点，连结，作交直线于点N． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当M是边上任意一点时，与还相等吗？若相等，若不相等，请说明理由； (3)请写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题 【分析】（1）由题意得，进而得到，，得到，即可得到结论； （2）E为的中点，连接，根据题意可证明是等边三角形，进而证明，即可得到结论； （3）分两种情况讨论：①若点N在线段上，由（2）可知，得出，进而得出，即可得到；②点N在的延长线上，同①思路求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，D是的中点， ∴，即平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：相等，理由如下： 证明：如图2，E为的中点，连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：． 证明：分两种情况讨论： ①如图3，若点N在线段上， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，点N在的延长线上， 由（2）可知是等边三角形，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 综上所述，． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题关键． 23．小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． ，， 又， ； （2）解：如图，作直线于点， ，， ，， ， 又，， ， ， 点到的距离为； （3）证明：，， ， 又，， ， ， 是的中点． 24．【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，，见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； 问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论． 【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 故他得到的正确结论是：； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长到点G．使．连接， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 即； 问题3．不成立，结论：，理由如下： 如图3，在上取一点G．使．连接， ∵ ，， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴． 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直角三角形（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 .直角三角形的定义 2 .直角三角形的性质 3. 直角三角形的判定 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、斜边的中线等于斜边的一半 三、锐角互余的三角形是直角三角形 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1 .直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点2 .直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点3. 直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90^∘ ， ∴△ABC 是直角三角形. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是斜边上的高线，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D．15 5．（24-25八年级上·浙江·期末）在中，斜边上的中线，则斜边的长是 ． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知：是的两条高，分别为的中点．    (1)请写出线段与的大小关系，并说明理由； (2)请写出线段与的位置有什么关系？并说明理由． 题型三、锐角互余的三角形是直角三角形 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    分层强化 一、单选题 1．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 7．已知在中，斜边上的中线，则斜边的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 8．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，一个锐角为，则另一个锐角为 度． 10．若直角三角形斜边上的中线为4，则这个直角三角形的斜边为 ． 11．在中，，，则 ． 12．如图，在于点E，与相交于点D，若，，则 °， °． 13．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为 ． 14．如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 15．如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 三、解答题 16．在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，画的高； (2)在图2中，在线段上求作一点，使得． 17．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 18．如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 19．如下图，在中，，E为射线上一点，且于点F． (1)若，则______． (2)探索与的数量关系，并说明理由． 20．如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 21．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 22．已知在中，，，D是的中点，M是边上的一点，连结，作交直线于点N． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当M是边上任意一点时，与还相等吗？若相等，若不相等，请说明理由； (3)请写出、、之间的数量关系，并证明． 23．小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 24．【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$