1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 目录 考法1：求点到直线的距离 3 考法2：求点到平面的距离 4 考法3：求异面直线所成角 7 考法4：求直线与平面所成角 7 考法5：求平面与平面所成角 10 1. 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 点P到直线l的距离． 两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. 2. 点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则是直线l的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解. (1) 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. (2) 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 3. 异面直线所成的角 若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则. 4. 直线与平面所成的角 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为 ，则. 5. 两个平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面与平面的夹角。 若分别为平面的法向量，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则. 考法1：求点到直线的距离 方法提炼 用向量法求点到直线的距离的两种思路 1. 将求点到直线的距离问题转化为求向量的模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法。 2. 直接套用点到直线的距离公式求解,其步骤为: (1) 求直线的单位方向向量; (2) 求直线上一点到所求点的向量: (3) 代入公式. 【例1.1.】 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．3 【例1.2.】 已知，，，，则点到平面的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【例1.3.】 如图，ABCD－EFGH是棱长为4的正方体，若P在正方体内部且满足P（3，1，2），则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ） A． B． C．1 D．2 考法2：求点到平面的距离 【例2.1.】 已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 . 【例2.2.】 在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（    ） A． B． C．2 D．4 【例2.3.】 如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【例2.4.】 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 【例2.5.】 如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【例2.6.】 正方体的棱长为，则平面与平面的距离为 . 【例2.7.】 如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【例2.8.】 如图在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点. (1)求点B到直线的距离； (2)求点B到平面的距离. 考法3：求异面直线所成角 方法提炼 在两条异面直线与上分别取和，则与可分别作为的方向向量，设两条异面直线的夹角为，则. 【例3.1.】 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为 ． 【例3.2.】 在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【例3.3.】 在正三棱台中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 （多选）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．点F到直线的距离为1 C．平面 D．点到平面的距离为 考法4：求直线与平面所成角 方法提炼 用向量法求角的解题步骤 第一步:识图:分析几何体,根据所学知识,理清图形中的数量关系; 第二步:建系设点:寻找题目中是否有三条直线两两垂直的条件，建立空间直角坐标系,从而确定点的坐标; 第三步:求向量的坐标; 第四步:求平面的法向量; 第五步:运用相应的公式计算; 第六步:下结论。 【例4.1.】 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 （多选）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 【例4.4.】 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（    ） A．4 B． C． D．8 【例4.5.】 在四棱锥中， (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成的角的正弦值. 【例4.6.】 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【例4.7.】 在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F. (1)证明：平面平面； (2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值. 考法5：求平面与平面所成角 方法提炼 (1) 二面角的范围是,两个平面夹角的范围是. (2) 确定二面角的平面角的大小的方法:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负。②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解。③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内,则所求二面角为锐二面角;若垂足在另一个半平面的反向延长面上,则所求二面角为钝二面角。 (3) 利用向量法计算二面角大小的常用方法: 1　 法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小。 2　 方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小。 【例5.1.】 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ）      A． B． C． D． 【例5.2.】 如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．   【例5.3.】 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.若直线与平面所成的角为，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例5.4.】 如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【例5.5.】 在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【例5.6.】 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【例5.7.】 如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面． (1)求的长； (2)若，求二面角的余弦值． 【例5.8.】 如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点. (1)证明：平面DAC； (2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值. 【例5.9.】 如图，在四棱锥中，已知底面，平面平面. (1)求三棱锥体积的最大值； (2)若四边形为直角梯形，，，求二面角的正弦值. 【例5.10.】 如图所示，在四棱锥中，，，且. (1)求证：平面平面； (2)已知点是线段上的两点，且是线段上一点，若二面角与二面角的平面角相等，求的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 目录 考法1：求点到直线的距离 3 考法2：求点到平面的距离 7 考法3：求异面直线所成角 15 考法4：求直线与平面所成角 20 考法5：求平面与平面所成角 31 1. 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 点P到直线l的距离． 两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. 2. 点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则是直线l的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解. (1) 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. (2) 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 3. 异面直线所成的角 若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则. 4. 直线与平面所成的角 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为 ，则. 5. 两个平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面与平面的夹角。 若分别为平面的法向量，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则. 考法1：求点到直线的距离 方法提炼 用向量法求点到直线的距离的两种思路 1. 将求点到直线的距离问题转化为求向量的模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法。 2. 直接套用点到直线的距离公式求解,其步骤为: (1) 求直线的单位方向向量; (2) 求直线上一点到所求点的向量: (3) 代入公式. 【例1.1.】 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为 ， 又为直线外一点，且直线过点， ， ， 点到直线的距离为. 故选：B. 【例1.2.】 已知，，，，则点到平面的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求出平面的一个法向量，然后由点到平面距离的向量求法求解. 【详解】， 设为平面的一个法向量， 则由得，令，则，， 则点到平面的距离为. 故选：B. 【例1.3.】 如图，ABCD－EFGH是棱长为4的正方体，若P在正方体内部且满足P（3，1，2），则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由点到直线的向量公式代入即可得出答案. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 在上的投影向量的长度为， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：C. 【例1.4.】 如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可. 【详解】设为中点，因为底面是边长为4的菱形，且，所以,而 ,所以 ； 以为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，. 设是平面的法向量，因为，， 则，令，得. 设点到平面的距离为，.因为， 所以，得. 故选：D. 考法2：求点到平面的距离 【例2.1.】 已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求向量的坐标，再求在法向量上的投影向量的模即可. 【详解】由已知， 又在上的投影向量的模为，， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 【例2.2.】 在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】设平面的法向量为，根据向量的坐标运算求出，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】设平面的法向量为，则所以， 令，则，，所以以是平面的一个法向量． 点到平面的距离，故该三棱柱的高为． 故选：B 【例2.3.】 如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 【例2.4.】 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据垂直关系以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量，则即 不妨设，可得， 因为，所以. 则点到平面的距离为. 故答案为： 【例2.5.】 如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，由平面，所以棱与平面的距离即为到平面的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可. 【详解】 ，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离， 如图：建立空间直角坐标系，，，设， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故，则，令，， 故，， 所以到平面的距离为：， 故答案为： 【例2.6.】 正方体的棱长为，则平面与平面的距离为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为， 所以，且， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 又因为，所以. 故答案为：. 【例2.7.】 如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）利用空间向量方法证明即可； （2）利用空间法向量求解点面距离即可. 【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 因为，分别是，的中点，所以，， 所以， 平面的一个法向量为， 因为， 又因为平面， 所以平面； （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为， 故点到平面的距离为 【例2.8.】 如图在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点. (1)求点B到直线的距离； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用空间向量求点到直线距离的方法运算即可得解. （2）利用空间向量求点到平面距离的方法运算即可得解. 【详解】（1）解： 如上图，以点为坐标原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 取，， 则，， ∴点B到直线的距离为. （2）解：由（1）知，，， 则，， 设平面的法向量为，则 ∴，即，取，则，， ∴， 又∵， ∴点B到平面的距离为. 考法3：求异面直线所成角 方法提炼 在两条异面直线与上分别取和，则与可分别作为的方向向量，设两条异面直线的夹角为，则. 【例3.1.】 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，利用数量积求夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是,， 所以, ，, 因为两条异面直线所成的角为， 所以. 故答案为： 【例3.2.】 在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果. 【详解】分别取的中点，连接， 由正三柱性质可知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，可得， 所以， 又，且； 所以. 故答案为： 【例3.3.】 在正三棱台中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角. 【详解】取中点，取中点，连接，O在上，且， 因为在正三棱台中，所以，， 又，， 在梯形中，过点作，垂足为R，过点作，垂足为S， 过点作，垂足为T，所以，则， 设，在和中， ，即， 解得，， 因为与相似，所以， 即，     如图，分别以所在直线为轴，轴，过且垂直于平面的直线为轴 建立空间直角坐标系， ， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 故选：B. 【例3.4.】 （多选）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．点F到直线的距离为1 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 且E，F，G分别为棱，，的中点，可知， 可得， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点F到直线的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 且，平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：因为平面的法向量可以为， 点到平面的距离为，故D错误； 故选：BC. 考法4：求直线与平面所成角 方法提炼 用向量法求角的解题步骤 第一步:识图:分析几何体,根据所学知识,理清图形中的数量关系; 第二步:建系设点:寻找题目中是否有三条直线两两垂直的条件，建立空间直角坐标系,从而确定点的坐标; 第三步:求向量的坐标; 第四步:求平面的法向量; 第五步:运用相应的公式计算; 第六步:下结论。 【例4.1.】 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故， 因为轴平面，则可取平面的一个法向量为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C. 【例4.2.】 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可. 【详解】依题意可得，，. 设是平面BCD的法向量， 则，即，令，则得. 所以点A到平面BCD的距离， 当时，d取得最小值，此时， 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为. 故选：C 【例4.3.】 （多选）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， ， 所以，又平面，所以平面，故A正确； 因为，所以， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C错误； 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离，即为点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为，即D正确； 故选：ABD 【例4.4.】 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出与平面的线面角，进而求出PD，结合四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 又为矩形，则，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由， 得， 则， 设平面的法向量为， 则，令， 得，，所以， 又，与平面的线面角的正弦值为， 所以， 解得，则，又， 所以. 故选：B. 【例4.5.】 在四棱锥中， (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）解法1：由平面几何知识可知，利用平面平面的性质可求点B到面的距离，从而可求点到面的距离，再根据直线与平面所成角的定义即可求解； 解法2：根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）在平面四边形中， ∵， ∴四边形是等腰梯形 过点作于,因为四边形ABCD是等腰梯形， 所以,, ， 所以，所以， 又，BC，平面， 所以平面，又平面， 所以，平面平面. （2）解法1：连接交于，因为且，，平面， 所以平面，又平面ABCD，所以， 由平面几何知识可知，，故， 同理可知， 由（1）知，平面平面，过点作交于点， 由面面垂直性质知面，且， 因为，且BD与平面相交于点O， 所以到平面的距离与B到平面的距离之比也是， 所以点到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为． （2）解法2：以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 则 因为平面，可设，则， 设平面的法向量为， 则，取，则. 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成的角的正弦值为． 【例4.6.】 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题干，先证明平面，从而得到，又因为，再得到平面，进而得到； （2）在点建立空间直角坐标系，求出直线与平面中各点的坐标，再利用线面夹角公式代入求解即可得到. 【详解】（1）证明：如图，连接. 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以. （2）如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则得 取，得，则. 因为为的中点，所以. 又.所以. 则. 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【例4.7.】 在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F. (1)证明：平面平面； (2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先证明平面，由此即可得到本题答案； （2）以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，然后代入公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为， 所以都是等腰三角形， 因为于F，所以F为DE的中点， 则，， 又因为是平面内两条相交直线， 所以平面， 又平面， 所以平面平面 ； （2）因为，，所以，，， 所以， ， 由（1）知为二面角的平面角 所以， 以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易得，，知， 因为，， 可得， 所以 设平面的法向量，， 所以，令，则， 所以 ， 又， 设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考法5：求平面与平面所成角 方法提炼 (1) 二面角的范围是,两个平面夹角的范围是. (2) 确定二面角的平面角的大小的方法:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负。②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解。③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内,则所求二面角为锐二面角;若垂足在另一个半平面的反向延长面上,则所求二面角为钝二面角。 (3) 利用向量法计算二面角大小的常用方法: 1　 法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小。 2　 方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小。 【例5.1.】 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为平面，且为正方形， 如图建立空间直角坐标系，则、、， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以. 故选：A    【例5.2.】 如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，得到时， 四点共面，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，即为的中点时，四点共面， 可得，且， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面与平面所成的二面角为， 则， 所以平面与平面所成的二面角的余弦值. 故选：D.    【例5.3.】 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.若直线与平面所成的角为，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由线面角的大小求值、面面角的向量求法、求线面角 【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，找出要求的所有点的坐标，利用法向量解决即可. 【详解】连接，交于点，取中点，连接， 因为分别为的中点， 所以在中，， 因为底面，所以底面 又底面，底面， 所以， 在菱形中，， 所以两两互相垂直， 所以以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    又底面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 在菱形中，， 所以为等边三角形， 又，且， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 由， 令， 同理设平面的一个法向量为， 由， 令， 设二面角的大小为，由图可知为钝角， 所以， 即二面角的余弦值为：， 故选：B. 【例5.4.】 如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值. 【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，    平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面， 四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面，平面； 同理可得：平面； 平面的法向量为，平面的法向量为， ，， ，，即与的夹角为， 所求锐二面角的大小的余弦值是. 故选：C． 【例5.5.】 在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】    如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 【例5.6.】 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值； （3）利用点到平面的向量距离公式求解即可. 【详解】（1）如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； （2）设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）由，平面的法向量， 则点A到平面PBC的距离， 所以点到平面的距离为． 【例5.7.】 如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面． (1)求的长； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直性质得，结合垂直平分线性质和三角形全等得到，结合即可得到的长； （2）以点为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量的二面角求法即可. 【详解】（1）∵面，又面，∴， 又∵F为的中点，∴， 又在、中，， 易证得， 故． ，， 又，， 故． （2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知， 则， 不妨设是平面的一个法向量， 那么，即， 令，则． 又面， 故是平面的一个法向量． 设为二面角所成平面角， 则， 即二面角的余弦值为． 【例5.8.】 如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点. (1)证明：平面DAC； (2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）连接BO并延长交AC于点E，由题可得，进而可得，然后根据线面平行的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【详解】（1）连接BO并延长交AC于点E，连接OA，DE， 因为是在平面ABC上的投影， 所以平面，，平面ABC，所以，， 又，所以，即，所以， 又，即， 所以，， 所以，所以， 即，所以为BE的中点， 又为DB的中点，所以， 又平面，平面DAC， 所以平面DAC； （2）过点A作，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 又点正好落在的角平分线上， 所以，所以， 所以，，则， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面AMB的一个法向量为， 则，令则， 所以. 设平面AMC的一个法向量为， 则， 令，则，，所以. 所以. 设二面角的大小为，则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【例5.9.】 如图，在四棱锥中，已知底面，平面平面. (1)求三棱锥体积的最大值； (2)若四边形为直角梯形，，，求二面角的正弦值. 【答案】(1). (2). 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而证得平面，可得出在以为直径的圆上，可求得，进而得出结果； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，依据向量夹角公式求两法向量夹角余弦值，再利用同角三角函数的平方关系即可求得结果. 【详解】（1）如图，作于于， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为底面平面，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以，所以在以为直径的圆上， 所以，即三棱锥体积的最大值为. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得， 所以， . 设是平面的法向量，是平面的法向量， 由得 取； 由得 取， 所以. 记二面角为，所以， 所以二面角的正弦值为. 【例5.10.】 如图所示，在四棱锥中，，，且. (1)求证：平面平面； (2)已知点是线段上的两点，且是线段上一点，若二面角与二面角的平面角相等，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法表示二面角与二面角的平面角相等，进而求得的值. 【详解】（1）连接BD，由， 可得，又，则 又由，可得， 又，平面， 则平面，又平面， 则平面平面； （2）过点D作平面，又 以为D原点，分别以所在直线为x、y、z轴空间直角坐标系， 则，，，，， 令，则， 则，，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，则 设是平面的一个法向量， 则，令，则，则， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 由二面角与二面角的平面角相等， 可得，即， 又，，则， 则， 解之得，或（舍去） 则的值为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$