1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 part1 知识清单 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②（θ为两平面的夹角）根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； Part2 教材重点例题与习题 1.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． 求点到直线的距离 求直线到平面的距离． 【答案】解：以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 所以，，，，，， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为． 因为，所以， 所以平面，则点到平面的距离就是直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则 取，则，， 所以，是平面的一个法向量， 又因为， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 2.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，求直 线和夹角的余弦值． 【答案】解：因为为棱长为的正四面体， 所以，，， ， 所以 ， 所以直线和夹角的余弦值为， 故答案为．  3.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 根据所建立的空间直角坐标系，可知，，． 所以，设， 则 所以 所以 取，则 ，． 设平面与平面的夹角为，则 ，． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 4.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小重力加速度取，精确到． 【答案】解：如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为因为，所以在上的投影向量为所以根绳子拉力的合力 ． 又因为降落伞匀速下落，所以 ． 所以． 5.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． 求证：平面 求证：平面 求平面与平面的夹角的大小． 【答案】证明：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设， 连接，交于，连接． 依题意得，， 底面是正方形， 是此正方形的中心，故点的坐标为且， ，这表明． 而平面且平面， 平面． 证明：依题意得，． 又，故． ． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 设点的坐标为，， 则． 从而，，． 所以 ． 由条件知，，即，解得． 点的坐标为，且， 即，故平面与平面的所成角的平面角为． ，且， ， ． ，所以平面与平面的夹角的大小为． 6.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． 求点到直线的距离； 求直线到直线的距离； 求点到平面的距离； 求直线到平面的距离． 【答案】解：如图，连接，，过点作交于， 在直角三角形中， ， 在直角三角形中， ， 因为直线平面，平面， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故点到直线的距离为． 如图，连接，，，，在平面中，作，为垂足， 因为，分别为，的中点， 所以， 又，， 所以， 所以， 同理， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以，即为直线到直线的距离， 在中，由余弦定理得： ， 因为，所以是锐角， 所以， 在直角三角形中，， 故直线到直线的距离为． 如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，令得， 到平面的距离为：． 由可知，，， 因为，且不在平面内， 所以平面， 所以直线到平面的距离即点到平面的距离， 即． 所以，直线到平面的距离为．  7.如图，和所在平面垂直，且，求： 直线与直线所成角的大小； 直线与平面所成角的大小； 平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】解：如图， 作于点，连接，， 由题可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由题意，，，， 则， 所以，， 又， 则， 可得，， 以点为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，， ，， 则， 所以， 即直线与直线所成角为． 由可知，平面的法向量为， ， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角为． 平面的一个法向量为 ， 设平面的一个法向量为， ，， 由且， 所以 令，得，，则， 因为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为．  8.如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．求异面直线，所成角的余弦值． 【答案】解：连接，取的中点，连接， 则， 是异面直线，所成的角， ，，，分别是，的中点， 则， ， 又， ， ， 异面直线，所成角的余弦值为．  9.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱若，，，，求平面与平面的夹角． 【答案】解：因为线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱， 设与所成的角为，， 则为平面与平面的夹角， 由题意，， 则， 所以， 可得， 所以， 即平面与平面的夹角为．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 2.已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 3.已知平面的法向量为，点在平面内，且点到平面的距离为，则(    ) A. B. C. 或 D. 4.已知，，，，，那么点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 5.如图，正方体的棱长为，是平面的中心，则点到平面的距离是(    ) A. B. C. D. 6.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 7.已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 8.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在棱长为的正方体中，，分别为和的中点，那么直线与夹角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 10.在各棱长均相等的直三棱柱中，已知是的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为(    ) A. B. C. D. 11.四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，平面且，则与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 12.如图，在正方体中，二面角的平面角等于(    ) A. B. C. D. 13.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则下列选项正确的是(    ) A. B. 直线与平面所成角的大小为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正弦值为 二、填空题 14.设正方体的棱长为，则点到平面的距离是          ． 15.如图，在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为           ． 16.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中若平面的一个法向量为，点到平面的距离为          ． 17.已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为，为的中点，连接，则与平面所成角的大小是           18.在正三棱柱中，已知，在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为          ，平面与平面所成二面角的余弦值为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.在长方体中，，，，，分别为，的中点，求异面直线与的距离． 20.如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点． 求证：平面； 若平面平面，求点到平面的距离． 21.如图，正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，求平面与平面的距离． 22.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． 求； 求直线与所成角的余弦值； 求二面角的余弦值． 23. 已知分别是正方体的棱和的中点，求： 与所成角的大小；    与平面所成角的余弦值 Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】解：，平面的一个法向量为， 故点到平面的距离为， 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：由题在上的投影长度为， 所以点到直线的距离为， 故选D． 3.【答案】  【解答】 解：由已知得，平面的法向量为， 故点到平面的距离 ． 解得或． 故选C． 4.【答案】  【解答】 解：因为，，， 所以， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，， 所以， 所以点到平面的距离为 ． 故选：． 5.【答案】  【解答】 解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，， ，，． 因为为的中点， 所以， 即，，  设平面的法向量为，  则有，即 取，则． 所以点到平面的距离． 故选C． 6.【答案】  【解答】 解：以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，，，， ， ，，， 设平面的法向量， ， ， 到平面的距离 ． 故选A． 7.【答案】  【解答】 解：正方体的棱长为，、分别为棱、的中点， 为棱上的一点，且， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， ， ，， ， 设平面的法向量， 则， 取，得， 点到平面的距离：． 故选：． 8.【答案】  【解答】 解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以， 设和的公垂线的方向向量为， 则有，即， 所以， 又， 所以异面直线与之间的距离． 故选：． 9.【答案】  【解答】 解： 设直线与所成的角为， 在正方体中，， 则 ， 所以． 故选D． 10.【答案】  【解答】 解：各棱长均相等的直三棱柱中， 设棱长为， 以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， ， ． 异面直线与所成角的正切值为． 故选C． 11.【答案】  【解答】 解：依题意，以为坐标原点，分别以，， 为，，轴建立空间直角坐标系，，，，则， ，，， 从而，，， 设平面的法向量为， 即 不妨取，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值 ，， 故选B． 12.【答案】  【解答】 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为， 则，，， ，， 设平面的法向量 则， 取，得， 平面的法向量， 设二面角的平面角为 则， ， 二面角的平面角等于． 故选B． 13.【答案】  【解答】 解：如图所示，连接，并延长交于点， 根据题意，可知：点为的中点， 底面， ， ， 解得，故A错误； 延长到，使得，连接，则， 分别以，，为，，轴建立空间坐标系，如图， 则，，，， ，，． ，，，． 为正三角形，为底面的中心， ， 侧棱与底面垂直，底面， ， 又，B、平面， 平面，故为平面的一个法向量， 故直线与平面所成角的正弦值为； 故直线与平面所成角为，故B错误； 异面直线与所成角的余弦为，故C错误； 设平面的法向量为， ， 令，得， 设平面的法向量为， ， 令，得， 则 ， 则二面角的正弦值为，故D正确． 故选D． 14.【答案】  【解答】 解：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ，， 设平面的一个法向量， 令，则， 点到平面的距离． 故答案为． 15.【答案】  【解答】 解：在长方体中，，， 点为的中点， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ， ，， ， 设平面的法向量， 则 取，得， 点到平面的距离： ． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间点面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题． 由已知求得，可得平面的法向量，再求出，然后利用向量求距离公式求解． 【解答】 解：，，， 而为平面的一个法向量， ，即． 平面的一个法向量为， 又，， 点到平面的距离为． 故答案为：． 17.【答案】  【解答】 解：设底面正方形的边长为，由已知可得正四棱锥的高为，建立如图所示空间直角坐标系， 则平面的法向量为，，， ，，， 所以，， 与平面所成角的正弦值为． 所以与平面所成角为． 故答案为． 18.【答案】  【解答】 解：取的中点，为轴，的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 在正三棱柱中，，在棱上，且， 则，，， 正三棱柱中，为中点， 故BE，且由正三棱柱的性质可得， 而，且，平面， 故BE平面， 故平面的法向量可以为：， 又， 则与平面所成的角的正弦值为： ． 连接，因为，，且，，平面， 所以平面． 又平面，所以． 所以是平面与所成二面角的平面角，且为锐角． 在中，，，所以． 所以． 故答案为：；． 19.【答案】解：以为原点，，，所在的直线为坐标轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，． 设，的公垂线的方向向量为，    则即 令，则，， 即，， 又， 在上的射影长为    则异面直线与的距离是．  20.【答案】证明：取中点，连接，． 因为且，且， 所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系， ，，， 可得，，， 设平面的法向量 ，不妨取， 则平面的法向量， 则到平面的距离．  21.【答案】解：如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ， ， ，， 又，， 平面平面， 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 ．  22.【答案】解：在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，， 直线与所成角的余弦值为． 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， ，令，则，， 则 由图知二面角为锐二面角，其余弦值为．  23.【答案】解：以分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 所以， 设与所成角的大小为， 则 ， 因为 所以 所以与所成角的大小等于． 设平面的法向量为，与平面所成角为， 因为， 所以， 所以 令得：，， 又因为 所以 ， 所以，即与平面所成角的余弦值为．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$