第17章 因式分解课件 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第1课时　运用平方差公式 八年级数学上册（R） 1.在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 (　　) A.x2+y2 B.-x2-4 C.y2-9x2 D.x2+1 2.代数式4m2-n2因式分解为 (　　) A.(2m-n)(2m+n) B.4(m-n)(m+n) C.(4m-n)(m+n) D.(m-2n)(m+2n) 3.若a+b=2,则a2-b2+4b的值为 (　 　) A.4 B.3 C.2 D.0 C A A 八年级数学上册（R） 2 4.分解因式: (1)4m2-9=　 ; (2)25(x+y)2-4(x-y)2=　 ; (3)x4-16=　 ; (4)x2-x4=　 ; (5)-8x2+2y2=　 ; (6)a2-4-3(a+2)=　 . 5.(1)已知x+y=4,x-y=6,则x2-y2=　 　; (2)已知x2-y2=12,x+y=3,则2x2-2xy的值为　 　. (2m+3)(2m-3)　 (7x+3y)(3x+7y)　 (x2+4)(x+2)(x-2)　 x2(1+x)(1-x)　 -2(2x+y)(2x-y)　 (a+2)(a-5)　 24 28 八年级数学上册（R） 3 6.分解因式: (1)-16y2+9x2; 解:原式=(3x+4y)(3x-4y). (2)25a2-b2; 解:原式=. 八年级数学上册（R） 4 (3)9(m+n)2-(m-n)2; 解:原式=4(m+2n)(2m+n). (4)y3-4x2y; 解:原式=y(y+2x)(y-2x). (5)a3(b-2)+a(2-b); 解:原式=a(b-2)(a+1)(a-1). (6)(x-1)2+2(x-5). 解:原式=(x+3)(x-3). 八年级数学上册（R） 5 7.若a,b,c为一个三角形的三边,则代数式(a-c)2-b2的值为 (　　) A.一定为正数 B.一定为负数 C.可能为正数,也可能为负数 D.可能为零 8.(1)若+(-5)2=0,将mx2-ny2分解因式为 　 ; (2)如果(3x-2y)·M=4y2-9x2,那么M所代表的代数式为 　 . B (2x+5y)(2x-5y)　 -3x-2y　 八年级数学上册（R） 6 9.(1)若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为　 　; (2)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为　 　. 10.把下列各式分解因式: (1)3(a+b)2-27c2; 解:原式=3(a+b+3c)(a+b-3c). 12 10 八年级数学上册（R） 7 (2)16(x+y)2-25(x-y)2; 解:原式=(9x-y)(9y-x). (3)9a2(x-y)+4b2(y-x); 解:原式=(x-y)(3a+2b)(3a-2b). (4)(5m2+3n2)2-(3m2+5n2)2. 解:原式=16(m2+n2)(m+n)(m-n). 八年级数学上册（R） 8 11.已知248-1可以被在60~70之间的两个整数整除,则这两个数是 (　 　) A.61,62 B.63,64 C.63,65 D.65,67 C 八年级数学上册（R） 9 12.如果一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0,且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差,则称M为“等差数”,将M千位上的数字与十位上的数字对调,百位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的四位数M',记D(M)=.若为等差数,且D()=-27,则数为　 ;若D(M)为正数且能表示为两个连续偶数的平方差,则满足条件的最小“等差数”M是　 .  2 659　 5 612　 八年级数学上册（R） 10 13.若一个正整数可以进行这样的分解:n=p2-q2=(p+q)(p-q),其中p,q是正整数,则称n为“飘逸数”,并且在n的所有这种分解中,如果p,q两数之差的绝对值最小,我们就称p2-q2是n的最佳分解,并规定:F(n)=,例如21可以分解成52-22或112-102,因为11-10<5-2,所以112-102是21的最佳分解,所以F(21)=. (1)计算:F(5)=  　,F(12)=　　; 2 八年级数学上册（R） 11 (2)求证:对任意一个正整数m,总有F(2m+1)=; (2)证明:∵2m+1=(m+1+m)(m+1-m)=(m+1)2-m2,2m+1是奇数, ∴m+1-m=1是所有分解中的最小值. ∴F(2m+1)=. 八年级数学上册（R） 12 (3)如果一个两位“飘逸数”t为奇数,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位数所得的差为36,那么我们又称这个数t为“飞扬数”,求所有“飞扬数”中F(t)的最大值. (3)解:由题意,得10y+x-(10x+y)=36, ∴y-x=4.又∵t为奇数,1≤x≤y≤9, ∴或或∴t=15或37或59. ∴F(15)=,F(37)=,F(59)=. ∵>>,∴F(t)的最大值为. 八年级数学上册（R） 13 $$《因式分解》章末考点复习与小结 八年级数学上册（R） 八年级数学上册（R） 2 1.下列式子变形是因式分解的是 (　 　) A.x2-5x+6=(x+2)(x+3) B.x2-5x+5=x2-5(x-1) C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-6x+9=(x-3)2 2.若x2+px+q=(x-3)(x-5),则p+q的值为(　 　) A.15 B.7 C.-7 D.-8 D B 八年级数学上册（R） 3 3.下列分解因式正确的有 (　 　) ①3x2-6xy+x=x(3x-6y)=3x(x-2y); ②-5x+5xy=-5x(1-y); ③4x3-2x2y=x2(4x-2y); ④ab4-a=a(b4-1). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式,则m等于　 　.  B -6 八年级数学上册（R） 4 5.(2024·云南)分解因式:a3-9a= (　 　) A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) 6.下列分解因式:①x3+2xy+x=x(x2+2y);②x2+2x+1=(x+1)2;③2a(b-c)-3(b-c)=(2a-3)(b-c);④x3-9x=x(x2-9).其中正确的个数为(　 　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.将多项式(a-1)2-a+1因式分解,结果正确的是(　 　) A.a-1 B.(a-1)(a-2) C.(a-1)2 D.(a+1)(a-1) A B B 八年级数学上册（R） 5 8.因式分解: (1)(2024·自贡)x2-3x=　 ;  (2)x2-9y2=　 ;  (3)(2024·绥化)2mx2-8my2=　 ;  (4)3x2+6x+3=　 ;  (5)+ax+a=　 　;  (6)(2024·广元)(a+1)2-4a=　 ;  (7)3(x-2)-2(2-x)=　 .  x(x-3)　 (x+3y)(x-3y)　 2m(x+2y)(x-2y)　 3(x+1)2　 a (a-1)2　 5(x-2)　 八年级数学上册（R） 6 9.因式分解: (1)x2+5x-6; 解:原式=(x-1)(x+6). (3)9(x+2y)2-4(x-y)2; 解:原式=[3(x+2y)+2(x-y)][3(x+2y)-2(x-y)] =(3x+6y+2x-2y)(3x+6y-2x+2y) =(5x+4y)(x+8y). (2)x3-4xy2; 解:原式=x(x2-4y2) =x(x-2y)(x+2y). (4)a2+4ab-1+4b2. 解:原式=(a2+4ab+4b2)-1 =(a+2b)2-1 =(a+2b+1)(a+2b-1). 八年级数学上册（R） 7 10.通过学习,我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法,与此同时,某些多项式只用上述一种方法无法因式分解,下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程: 甲:x2+xy-2x-2y =(x2+xy)-(2x+2y)(先分成两组) =x(x+y)-2(x+y)=(x+y)(x-2). 乙:a2-b2+2b-1 =a2-(b2-2b+1)(先分成两组) =a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1). 两位同学分解因式的方法叫作分组分解法. 八年级数学上册（R） 8 (1)试用上述方法分解因式:m2+2mn+ma+n2+na; 解:(1)原式=(m2+2mn+n2)+(ma+na) =(m+n)2+a(m+n) =(m+n)(m+n+a). (2)已知x+y=4,且x3+x2y-xy2-y3=-32,求x-y. (2)x3+x2y-xy2-y3=(x3-xy2)+(x2y-y3) =x(x2-y2)+y(x2-y2)=(x+y)(x+y)(x-y) =(x+y)2(x-y). ∵x+y=4且x3+x2y-xy2-y3=-32,∴(x+y)2(x-y)=-32,∴x-y=-2. 八年级数学上册（R） 9 11.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　 　) A.0 B.1 C.4 D.9 12.已知x2+y2+10=6x-2y,则x-y的值为(　　) A.-1 B.3 C.1 D.4 D D 八年级数学上册（R） 10 13.如图1,将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形,并沿图中的虚线剪开,拼接后得到图2,根据图形的面积,甲同学写出了一个等式a2-b2=(a+b)(a-b),乙同学也写出了一个等式(a-b)2=a2-2ab+b2,则 (　 　) A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.甲正确,乙不正确 D.甲不正确,乙正确 C 八年级数学上册（R） 11 14.如图,两个正方形的边长分别为m,n,若m+n=11,m-n=1,则图中阴影部分的面积为　 　.  15.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2=　 　.  16.【新教材改编】已知a,b,c是△ABC的三边长,且c2-b2+ac-ab=0,则△ABC一定是　 　.  5.5 6 等腰三角形 八年级数学上册（R） 12 17.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等. ①分组分解法: 例如:x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2). ②拆项法: 例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3). (1)仿照以上方法,按照要求分解因式: ①(分组分解法)4x2+4x-y2+1; 解:(1)①原式=(4x2+4x+1)-y2=(2x+1)2-y2=(2x+y+1)(2x-y+1). ②(拆项法)x2-6x+8; ②原式=x2-6x+9-1=(x-3)2-1=(x-3-1)(x-3+1)=(x-4)(x-2). 八年级数学上册（R） 13 (2)已知a,b,c为△ABC的三边长,a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求△ABC的周长. (2)∵a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0, ∴(a2-4a+4)+(b2-4b+4)+(c2-6c+9)=0, ∴(a-2)2+(b-2)2+(c-3)2=0. ∵(a-2)2≥0,(b-2)2≥0,(c-3)2≥0,∴a-2=0,b-2=0,c-3=0, ∴a=2,b=2,c=3,∴a+b+c=2+2+3=7. 故△ABC的周长为7. 八年级数学上册（R） 14 18.【方法呈现】 (1)我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式的最小(或最大)值问题. 例如:x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2. ∵(x+1)2≥0, ∴(x+1)2+2≥2, 则代数式x2+2x+3的最小值是　 　,相应的x的值是　 　;  2 -1 八年级数学上册（R） 15 【尝试应用】 (2)求代数式-x2+14x+10的最小(或最大)值,并写出相应的x的值; 解:(2)-x2+14x+10=-(x2-14x-10)=-[(x-7)2-59]=-(x-7)2+59. ∵-(x-7)2≤0, ∴-(x-7)2+59≤59, ∴代数式-x2+14x+10有最大值59,相应的x的值为7. 八年级数学上册（R） 16 【拓展提高】 (3)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b-41,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围. (3)∵a2+b2=10a+8b-41,∴a2+b2-10a-8b=-41, ∴(a-5)2+(b-4)2-25-16=-41,即(a-5)2+(b-4)2=0, ∴a=5,b=4. ∵a,b,c是△ABC的三边长, ∴a-b<c<a+b,即1<c<9. 又∵c是△ABC中最长的边,∴5≤c<9 八年级数学上册（R） 17 $$补充课题：十字相乘法 八年级数学上册（R） 1.把二次三项式x2-5x-14分解因式,下列结果正确的是 (　 　) A.(x+2)(x+7) B.(x-2)(x-7) C.(x-2)(x+7) D.(x+2)(x-7) 2.下列因式分解正确的是 (　　) A.x2-x=x(x+1) B.a2-3a-4=(a+4)(a-1) C.a2+2ab-b2=(a-b)2 D.x2-y2=(x+y)(x-y) D D 八年级数学上册（R） 2 3.若x2+kx-36=(x-12)(x+3),则k= (　　) A.-9 B.15 C.-15 D.9 4.分解因式: (1)x2-8x-9=　 ; (2)x2+3x-10=　 ; (3)10x2-3x-27=　 . 5.已知长方形一边长是x+5,面积为x2+12x+35,则另一边长是　 　. A (x+1)(x-9)　 (x+5)(x-2)　 (5x-9)(2x+3)　 x+7 八年级数学上册（R） 3 6.分解因式: (1)x2-7x+12; 解:原式=(x-3)(x-4). (2)x2-10x-11; 解:原式=(x+1)(x-11). (3)m2-7m-60; 解:原式=(m-12)(m+5). (4)2x2+13x+15; 解:原式=(2x+3)(x+5). (5)12x2 -29x+15; 解:原式=(3x-5)(4x-3). (6)3x2-15x-18. 解:原式=3(x+1)(x-6). 八年级数学上册（R） 4 7.多项式39x2+5x-14可因式分解成(3x+a)·(bx+c),其中a,b,c均为整数,则a+2c的值为 (　　) A.-12 B.-3 C.3 D.12 8.若x2+px-8可分解为两个一次因式的乘积,则整数p的所有可能值是　 　. A 7或-7或2或-2 八年级数学上册（R） 5 9.用分组分解法分解因式: (1)a2-3a-b2+3b; 解:原式=(a-b)(a+b)+3(b-a) =(a-b)(a+b-3). (2)1-m2-n2+2mn; 解:原式=(1+m-n)(1-m+n). 八年级数学上册（R） 6 (3)x2-2x-4xy+4y2+4y; 解:原式=(x-2y)2-2(x-2y) =(x-2y)(x-2y-2). (4)x3+3x2-4x-12. 解:原式=x2(x+3)-4(x+3) =(x+3)(x2-4) =(x+3)(x-2)(x+2). 八年级数学上册（R） 7 10.题目:“分解因式:x2-120x+3 456.” 分析:由于常数项数值较大,用十字相乘法分解较难拆分,故常采用将x2-120x变形为差的平方的形式进行分解,这样简便易行. 解:原式=x2-2·60x+602-602+3 456 =(x-60)2-144 =(x-60)2-122 =(x-60+12)(x-60-12) =(x-48)(x-72). 八年级数学上册（R） 8 通过阅读上述题目,请你按照上面的方法分解因式:x2-140x+4 875. 解:原式=x2-2·70x+702-702+4 875 =(x-70)2-25 =(x-70)2-52 =(x-70+5)(x-70-5) =(x-65)(x-75). 八年级数学上册（R） 9 11.如果x3+3x2-3x+m有一个因式为(x+3),那么m的值是 (　　) A.-9　　　 B.9　　　 C.-1　　　 D.1 12.分解因式:b4-b2-12=　 . A (b2+3)(b+2)·(b-2)　 八年级数学上册（R） 10 13.下面是小明同学对多项式(x2-5x+2)(x2-5x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-5x=y, 则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2. 把x2-5x=y代入上式,得原式=(x2-5x+4)2. 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”,请据此回答下列问题: (1)小明同学因式分解的结果　 (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果:　 ;  不彻底　 (x-1)2(x-4)2　 八年级数学上册（R） 11 (2)请你仿照上面的方法,对多项式(a2-3a)(a2-3a+4)+4进行因式分解. 解:(2)设a2-3a=x, 则原式=x(x+4)+4=x2+4x+4=(x+2)2. 把a2-3a=x代入上式,得 原式=(a2-3a+2)2=(a-1)2(a-2)2. 八年级数学上册（R） 12 $$17.1　用提公因式法分解因式 八年级数学上册（R） 1.(2025·重庆八中)下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是 (　 　) A.ax-ay=a(x-y) B.2xy2=2x·y2 C.x2-4x+3=x(x-4)+3 D.a2+1=a 2.(2025·成都七中)把多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,则n的值可能为 (　 　) A.6 B.4 C.3 D.2 A A 八年级数学上册（R） 2 3.把式子2x(a-2)-y(2-a)分解因式,正确的结果是 (　　) A.(a-2)(2x+y) B.(2-a)(2x+y) C.(a-2)(2x-y) D.(2-a)(2x-y) 4.分解因式: (1)a2+ab=　 　; (2)3m2-6m=　 ; (3)(a-b)2-(b-a)=　 ; (4)x(x-2)-x+2=　 ; (5)a2b+ab2-a-b=　 . A a(a+b) 3m(m-2)　 (b-a)(b-a-1)　 (x-2)(x-1)　 (a+b)(ab-1)　 八年级数学上册（R） 3 5.利用因式分解计算: (1)2 0252-2 025×2 024=　 ;  (2)21.93×1.6+18.4×21.93-20×21.93=　 　;  (3)3.14×17.7-31.4×0.35-3.14×4.2=　 　.  6.将下列各式分解因式: (1)8ab2-16a3b3; 解:原式=8ab2(1-2a2b). 2 025　 0 31.4 八年级数学上册（R） 4 (2)-10x2y-5xy2+15xy; 解:原式=-5xy(2x+y-3). (3)(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b); 解:原式=3(2a+b)(a-b). (4)6(x+y)2-2(x+y)(x-y); 解:原式=4(x+y)(x+2y). (5)4q(1-p)3+2(p-1)2; 解:原式=2(1-p)2(2q-2pq+1). (6)(a-2b)(2a-3b)-5a(2b-a)(3b-2a). 解:原式=(a-2b)(2a-3b)(1-5a). 八年级数学上册（R） 5 7.边长为a,b的长方形,若它的周长为20,面积为24,则a2b+ab2的值为 (　 ) A.480 B.240 C.120 D.100 B 8.计算(-2)2 025+22 024的结果是 (　 　) A.-2 025 B.-2 C.-22 024 D.22 024 9.(1)若m-2=n,mn=3,则mn2-m2n=　 　; (2)已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为　　. -6 -6 C 八年级数学上册（R） 6 10.先阅读下面的解法,然后解答问题. 例:已知多项式3x3-x2+m分解因式的结果中有一个因式是(3x+1),求实数m的值. 解:设3x3-x2+m=(3x+1)·K(K为整式). 令3x+1=0,则x=-,∴3×-+m=0,∴m=. 这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题. (1)若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为(x-2),则实数 m=　 　;  解:(1)设x2+mx-8=(x-2)·K(K为整式), 令x-2=0,则x=2,把x=2代入x2+mx-8=0,得m=2.故答案为2. 2 八年级数学上册（R） 7 (2)若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为(x+1),求实数n的值; (2)设x3+3x2+5x+n=(x+1)·A(A为整式), 令x+1=0,则x=-1. ∴(-1)3+3×(-1)2+5×(-1)+n=0, 解得n=3. 八年级数学上册（R） 8 (3)若多项式x4+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式(x+1)和(x-2),求实数m,n的值. (3)设x4+mx3+nx-14=(x+1)(x-2)·B(B为整式). 若x4+mx3+nx-14=(x+1)(x-2)·B=0,则x+1=0或x-2=0或B=0. 当x+1=0时,即x=-1,∴(-1)4+m·(-1)3+n·(-1)-14=0,即m+n=-13,① 当x-2=0时,即x=2,∴24+m·23+n·2-14=0,即4m+n=-1,② 联立①②,解得 八年级数学上册（R） 9 11.如果x-3是多项式2x2-5x+m的一个因式,则m等于 (　 　) A.6 B.-6 C.3 D.-3 12.(1)已知2m-5n=-1,则4m2-10mn+5n的值是　 　;  (2)若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2 025=　 .  D 1 2 027　 八年级数学上册（R） 10 13.先分解因式①、②、③,再解答后面的问题: ①1+a+a(1+a)=　 　; ②1+a+a(1+a)+a(1+a)2=　 　; ③1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3=　 　. (1)先探索上述分解因式的规律,然后写出: 1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2 025分解因式的结果是　 ; (1+a)2 (1+a)3 (1+a)4 (1+a)2 026　 八年级数学上册（R） 11 (2)请按上述方法分解因式: 1-a-a(1-a)-a(1-a)2-a(1-a)3-…-a(1-a)n(n为正整数). (2)解:原式=(1-a)[1-a-a(1-a)-…-a(1-a)n-1] =(1-a)(1-a)[1-a-a(1-a)-…-a(1-a)n-2] … =(1-a)n-1(1-a)(1-a) =(1-a)n+1. 八年级数学上册（R） 12 $$第2课时　运用完全平方公式 八年级数学上册（R） 1.(2024·福建)对多项式x2-2xy+y2进行因式分解,正确的是 (　 　) A.x2-2xy+y2=x(x-2y)+y2 B.x2-2xy+y2=(x+y)2 C.x2-2xy+y2=(x-2y)2 D.x2-2xy+y2=(x-y)2 2.下列各选项中因式分解正确的是(　 　) A.x2-1=(x-1)2 B.a3-2a2+a=a2(a-2) C.-2y2+4y=-2y(y+2) D.m2n-2mn+n=n(m-1)2 D D 八年级数学上册（R） 2 3.若a=b+3,则代数式a2-2ab+b2的值等于 (　 　) A.3 B.9 C.12 D.81 4.分解因式: (1)a(a-2)+1=　 ;  (2)2x2-4x+2=　 ;  (3)a3-6a2+9a=　 ;  (4)a3b+2a2b2+ab3=　 　.  5.【新教材改编】(1)若x2+6x+m为完全平方式,则m=　 　;  (2)已知x2+(a+3)x+25是一个完全平方式,则a的值为　 .  B (a-1)2　 2(x-1)2　 a(a-3)2　 ab(a+b)2 9 7或-13　 八年级数学上册（R） 3 6.把下列各式分解因式. (1)x2+8x+16; 解:原式=(x+4)2. (2)-4x2+12xy-9y2; 解:原式=-(2x-3y)2. (3)m2+mn+n2; 解:原式=. (4)x3-2x2y+xy2; 解:原式=x(x-y)2. 八年级数学上册（R） 4 (5)ax2y2+2axy+2a; 解:原式=a(xy+2)2. (6)4(a+b)2+4(a+b)+1; 解:原式=(2a+2b+1)2. (7)a(m-1)2+6a(1-m)+9a; 解:原式=a[(m-1)2-6(m-1)+9] =a(m-4)2. (8)y4-8y2+16; 解:原式=(y+2)2(y-2)2. (9)(x4+y4)2-(2x2y2)2. 解:原式=(x2+y2)2(x+y)2(x-y)2. 八年级数学上册（R） 5 7.已知a2-ab=12,b2-ab=4,则a-b的值为 (　 　) A.2 B.±2 C.4 D.±4 8.若一个正方形的面积为a2+a+,则此正方形的周长为　 　. 9.(1)若x,y满足x2+y2+=2x+y,则+的值为　 　; D 4a+2 3 (2)【新教材改编】(2025·重庆八中)设a,b,c是一个三角形的三边长,则a2-b2-c2-2bc　 　0(填“<”“>”或“=”).  < 八年级数学上册（R） 6 10.有一系列等式: 1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2; 2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2; 3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2; 4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2; … (1)根据你观察、归纳、发现的规律,可得8×9×10×11+1= 　 　=　 ; 892 (82+3×8+1)2　 八年级数学上册（R） 7 (2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明. 解:猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2, 证明如下: n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2. ∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2. 八年级数学上册（R） 8 11.已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大小关系是 (　　) A.x=y B.x>y C.x<y D.x≥y 12.已知a2b2+a2+b2=10ab-16,则(a+b)2的值为________. D 16 八年级数学上册（R） 9 13.阅读下列材料:分解因式的常用方法有提公因式法、公式法,但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解,如m2-2mn+n2-16,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下:m2-2mn+n2-16=(m-n)2-16=(m-n+4)(m-n-4),这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题: (1)用“分组分解法”分解因式:a2-2ab+b2+a-b; 解:(1)原式=(a-b)2+a-b=(a-b)(a-b+1). 八年级数学上册（R） 10 (2)①已知a,b,c为△ABC的三边,且b2-2ac=c2-2ab,试判断△ABC的形状; (2)①∵b2-2ac=c2-2ab, ∴b2-c2+2ab-2ac=0, ∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0, ∴(b-c)(2a+b+c)=0. ∵2a+b+c≠0,∴b-c=0,即b=c, ∴△ABC是等腰三角形. 八年级数学上册（R） 11 ②已知四个实数a,b,c,d满足a≠b,c≠d,并且a2+ac=5k,b2+bc=5k,c2+ac=10k, d2+ad=10k(k≠0)同时成立,用含有a的代数式分别表示b,c,d. ②∵a2+ac=5k,即a(a+c)=5k,c2+ac=10k,即c(a+c)=10k,k≠0,∴c=2a. ∵a2+ac=5k=b2+bc,∴a2-b2+ac-bc=0, ∴(a-b)(a+b+c)=0. ∵a≠b,∴a+b+c=0,∴b=-3a. 同理由c2+ac=10k=d2+ad,得a+c+d=0, ∴d=-3a. 综上所述,b=-3a,c=2a,d=-3a. 八年级数学上册（R） 12 $$专题十三　[易错]《因式分解》 中的常见错误 八年级数学上册（R） 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 (　 　) A.x2+2x+3=(x+1)2+2 B.2x2-x-1=x(2x-1)-1 C.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 D.2x-2y=2(x-y) 2.分解因式: (x+y)2+(x+y)+. 解:原式= (x+y)2+2×(x+y)+=. D 八年级数学上册（R） 2 3.分解因式:ab2-2ab+a=　 .  4.分解因式:4a2b-6ab2+2ab. a(b-1)2　 解:原式=2ab(2a-3b+1). 八年级数学上册（R） 3 5.分解因式:3q(p-1)2-2(1-p)3. 解:原式=3q(1-p)2-2(1-p)3 =(1-p)2(3q+2p-2). 八年级数学上册（R） 4 6.分解因式: (1)(2x+y)2-(x-2y)2; 解:原式=(2x+y+x-2y)(2x+y-x+2y) =(3x-y)(x+3y). (3)4(x+y)2-20(x+y)+25; 解:原式=[2(x+y)-5]2 =(2x+2y-5)2. (2)(a+b+c)2-(a-b-c)2; 解:原式=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c) =4a(b+c). (4)9(a+b)2-4(a-b)2. 解:原式=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(5a+b)(a+5b). 八年级数学上册（R） 5 7.将a3b-ab进行因式分解,正确的是 (　 　) A.a(a2b-b) B.ab(a-1)2 C.ab(a+1)(a-1) D.ab(a2-1) 8.分解因式: (1)m2n+2mn2+n3=　 　;  (2)3a4-3b4=　 .  C n(m+n)2 3(a2+b2)(a+b)(a-b)　 八年级数学上册（R） 6 9.分解因式: (1)m3n-10m2n+25mn; 解:原式=mn(m2-10m+25) =mn(m-5)2. (3)(x2+4)2-16x2; 解:原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)2. (2)a2(a-b)+9(b-a); 解:原式=a2(a-b)-9(a-b) =(a-b)(a+3)(a-3). (4)x5-2x3-8x. 解:原式=x(x4-2x2-8) =x(x2-4)(x2+2) =x(x+2)(x-2)(x2+2). 八年级数学上册（R） 7 $$专题十二　[巩固]分解因式 八年级数学上册（R） 1.分解因式: (1)-24m2x-16n2x; 解:原式=-8x(3m2+2n2). (4)x4y-16y; 解:原式=y(x4-16) =y(x2+4)(x2-4) =y(x2+4)(x+2)(x-2). (3)(a+2)2-8a; 解:原式=a2-4a+4 =(a-2)2. (2)2a(x-y)-6b(y-x); 解:原式=2(x-y)(a+3b). 八年级数学上册（R） 2 (5)(a2-2a+1)-b(a-1); 解:原式=(a-1)2-b(a-1) =(a-1)(a-1-b). (6)a2-4-3(a+2); 解:原式=(a+2)(a-2)-3(a+2) =(a+2)(a-5). (7)-2a4+4a2-2; 解:原式=-2(a4-2a2+1) =-2(a2-1)2 =-2(a+1)2(a-1)2. (8)2a4-7a2-4; 解:原式=(2a2+1)(a2-4) =(2a2+1)(a-2)(a+2). 八年级数学上册（R） 3 (9)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16; 解:原式=(x2+4x+4)2 =(x+2)4. (10)(m2+n2)2-4m2n2. 解:原式=(m2+n2-2mn)(m2+n2+2mn) =(m-n)2(m+n)2. 八年级数学上册（R） 4 2.计算: (1)-101×190+1012+952; 解:原式=1012-2×101×95+952 = =36. (2)9 999×10 001-10 0002; 解:原式=×-10 0002 =10 0002-12-10 0002 =-1. 八年级数学上册（R） 5 (3)×××…××. 解:原式=××××××…×××× =××××××…×××× =× =. 八年级数学上册（R） 6 3.用分组分解法分解因式: (1)a2-7a-b2+7b; 解:原式=(a-b)(a+b)+7(b-a) =(a-b)(a+b-7). (2)x2-3x+10xy+25y2-15y; 解:原式=(x+5y)2-3(x+5y) =(x+5y)(x+5y-3). (3)x5-x3+x2-x. 解:原式=x3(x2-1)+x(x-1) =x3(x+1)(x-1)+x(x-1) =x(x-1)(x3+x2+1). 八年级数学上册（R） 7 4.生活中我们经常用到密码,例如支付宝支付时,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是将一个多项式分解因式,如多项式x3+2x2-x-2可以因式分解为,当x=29时,x-1=28,x+1=30,x+2=31,此时可以得到数字密码283031. (1)根据上述方法,当x=15,y=5时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码? 解:(1)x3-xy2=x(x2-y2)=x(x-y)(x+y). 当x=15,y=5时,x-y=10,x+y=20, 此时可以得到数字密码151020; 也可以得到152010,101520,102015,201510,201015. 八年级数学上册（R） 8 (2)已知一个直角三角形的周长是24,面积是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码. (2)由题意,得x+y=24-10=14,xy=2×24=48, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=100. ∵x3y+xy3=xy(x2+y2), ∴可以得到数字密码48100或10048. 八年级数学上册（R） 9 $$