1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质 第1课时 正方形的性质 第1课时 正方形的性质 情 境 导 入 生活中特殊的四边形 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 生活中特殊的四边形 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你能总结出正方形的定义吗？ 正方形定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 生活中特殊的四边形 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 正方形的性质 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 正方形 菱形 矩形 探究正方形的性质 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. A B C D 新 课 探 究 第1课时 正方形的性质 探究正方形的性质 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有4条对称轴. 探究正方形的性质 例1.如图在正方形 ABCD 中，E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BC = DC,∠BCE = 90° （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF, ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 探究正方形的性质 A B D C F E 例1.如图在正方形 ABCD 中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 探究正方形的性质 A B D C F E 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 探究正方形的性质 平行四边形 矩形 菱形 正方形 1. 如图正方形的边长为 , 点 ,分别是对角线上的两点 , , , , , 垂足分别为 , , , , 则图中阴影部分的面积等于____. 1 巩固练习 巩固练习 2.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？ 解：图中共有 8 个等腰三角形. △OAB,△OBC,△OCD,△ODA,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB A B C D O 3. 如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线AC上一点,连接BF, DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 巩固练习 A B C D F 3. 如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线AC上一点,连接BF, DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 巩固练习 A B C D F 选择△FAD ≌△FAB 证明 过程如下：∵正方形ABCD, ∴AD = AB,∠DAF =∠BAF. 又∵AF = AF， ∴△FAD ≌△FAB. 正方形中的十字模型，存在相等和垂直的关系. 巩固练习 4. 如图, 四边形</m> 是一个正方形花园，<m><m></m>是它的两个门，且 <m></m> . 要修建两条路<m</m>和<m></m>，，， ，， 这两条路等长吗? 它们有什么位置关系? 为什么? 拓展延伸 5.如图，正方形<m></m>的对角线<m></m>，<m></m>相交于点<m></m>，<m></m>又是正方形 <m></m>的一个顶点，<m></m>交<m</m>于点<m></m>，<m></m>交<m></m>于点<m></m>. 证明： 四方形<m></m>是正方形 <m></m> ， <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> , <m></m>. 在 <m></m> 和 <m></m> 中 <m> <m></m> . （1） 求证： <m></m> 拓展延伸 5.如图，正方形<m></m>的对角线<m></m>，<m></m>相交于点<m></m>，<m></m>又是正方形 <m></m>的一个顶点，<m></m>交<m</m>于点<m></m>，<m></m>交<m></m>于点<m></m>. （2） 如果两个正方形的边长都为，那么这两个正方形重叠部分的面积为_ _____. <m></m> 小结：注意此题中重叠部分的面积是一个定值. 课 堂 小 结 1、这节课你都学会了什么？ 2、将你的所学形成网络框架. 第1课时 正方形的性质 正方形既是矩形，又是菱形，又是平行四边形，具有它们的所有性质. 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 1.(北师9上P20、人教8下P58)如图，正方形ABCD的对称轴分别为　 　，　 　，　 　， 　 　.  　直线FH 　 　直线EG　 　直线BD　 　直线AC　 课后练习 证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形， ∴AD＝CD，GD＝ED，∠ADC＝∠GDE＝90°. ∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE. 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG. 2.(2024东莞一模)如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG.求证：AE＝CG. 3.(北师9上P21、人教8下P58)(1)正方形的两条对角线把这个正方形分成　 　个全等的等腰直角三角形；    (2)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有　 　个等腰三角形. 　8　 　 4　 4.(北师9上P22、人教8下P68)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且DE＝CF.求证：BE＝AF且BE⊥AF.  证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°， ∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠BAF＋∠DAF＝90°， ∴∠BAF＋∠ABE＝90°，即BE⊥AF. 小结：正方形中的十字模型，存在相等和垂直的关系. 5.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，CG>BE，BF>AH，连接EG，FH.如果EG⊥FH，求证：EG＝FH. 证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，HN与EG交于点O，则∠HNF＝∠EMG＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB， ∵EM⊥CD，∴四边形BCME是矩形， ∴EM＝BC.同理HN＝AB，∴EM＝HN， 由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN， ∴∠FHN＋∠HOG＝∠MEG＋∠EON＝90°， ∵∠HOG＝∠EON，∴∠FHN＝∠MEG， ∴△HFN≌△EGM，∴EG＝FH. 6. (北师9上P25、人教8下P63)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.   (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)若两个正方形的边长都为a，则这两个正方形重叠部分的面积为  　.  a2 (1)证明：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF. 小结：注意此题中重叠部分的面积是一个定值. 小结：正方形中一线三直角全等模型. 7.如图，过正方形ABCD的顶点C作直线l，分别过点B，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F.已知BE＝6 cm，DF＝4 cm，则正方形ABCD的面积为　 　.  　52 cm2 　 8.(创新题)将五个边长都为1的正方形按如图所示摆放，其中点A，B，C，D分别是正方形对角线的交点，则阴影部分面积的总和是( )   A.1　 B C　 D A ★9. 0.55 (创新题)(2024漳州模拟)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(2，3)，则点C的坐标为　 　.  　(－3，2) 　 THANK YOU $$