1.3正方形的性质与判定同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定 一．选择题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．轴对称图形 C．对角线互相平分 D．对角线平分每一组对角 2．(2024·深圳龙岗区期中)如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE．若∠BCF＝25°，则∠AEF＝(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° 第2题图 3．如图，点G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 5．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，则点C的坐标是(　　) A．(1，3) B．(2，3) C．(1，4) D．(3，1) 4．下列说法正确的是(　　) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的菱形是正方形 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若EF＝3，则OD的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②C四边形PECF＝2AB(C表示周长)；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤∠PFE＝∠BAP；⑥AP⊥EF．其中正确结论的个数是( 　) A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题 7．如图，在正方形ABCD中，BE⊥CF．若BE＝2，则CF的长是 ． 8.为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝2，AG＝，则EB＝ ． 　 第3题图 9．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 ． 10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为 ． 11．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则展开后折叠部分是一个正方形，其数学原理是 ． 三，解答题 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证：四边形BEDF是正方形.  13．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.   (1)求证：∠CAB＝∠DAB； (2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形. 14．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，求证：DE＝AF； (2)如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长． 图1 图2 1.3正方形的性质与判定 一．选择题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　D　) A．对角线相等 B．轴对称图形 C．对角线互相平分 D．对角线平分每一组对角 2．(2024·深圳龙岗区期中)如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE．若∠BCF＝25°，则∠AEF＝(　B　) A．35° B．40° C．45° D．50° 第2题图 3．如图，点G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 5．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，则点C的坐标是(　A　) A．(1，3) B．(2，3) C．(1，4) D．(3，1) 4．下列说法正确的是(　C　) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的菱形是正方形 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若EF＝3，则OD的长是(　D　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②C四边形PECF＝2AB(C表示周长)；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤∠PFE＝∠BAP；⑥AP⊥EF．其中正确结论的个数是(　C　) A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题 7．如图，在正方形ABCD中，BE⊥CF．若BE＝2，则CF的长是 2 ． 8.为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝2，AG＝，则EB＝ ． 　 第3题图 9．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 1 ． 10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为 ． 11．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则展开后折叠部分是一个正方形，其数学原理是 邻边相等的矩形是正方形 ． 三，解答题 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证：四边形BEDF是正方形.  证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°， ∴四边形BEDF是矩形. 又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DF＝DE，∴四边形BEDF是正方形. 13．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.   (1)求证：∠CAB＝∠DAB； (2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形. 证明：(1)∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD， 又∵AB⊥CD， ∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一). (2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°， 即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°， ∴四边形AEMF是矩形. 又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD， ∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形. 14．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，求证：DE＝AF； (2)如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长． 图1 图2 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°． ∴∠DAF＋∠BAF＝90°． ∵AF⊥DE， ∴∠DAF＋∠ADE＝90°． ∴∠ADE＝∠BAF． 在△DAE和△ABF中， ∴△DAE≌△ABF(ASA)． ∴DE＝AF． (2)解：如图，分别过点A，D作AN∥GH，DM∥EF，分别交BC，AB于点N，M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°． ∴四边形DMEF是平行四边形． ∴ME＝DF＝1，DM＝EF． ∵DM∥EF，GH⊥EF， ∴DM⊥GH． 同理，四边形AGHN是平行四边形， ∴GH＝AN． ∵AN∥GH，DM⊥GH， ∴AN⊥DM． ∴∠DAN＋∠ADM＝90°． ∵∠DAN＋∠BAN＝90°， ∴∠ADM＝∠BAN． 在△ADM和△BAN中， ∴△ADM≌△BAN(ASA)． ∴DM＝AN． ∴DM＝GH． ∵E为AB的中点，AB＝4， ∴AE＝AB＝2． ∴AM＝AE－ME＝2－1＝1． 在Rt△ADM中，AM＝1，AD＝4， ∴DM＝＝＝． ∴GH＝． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$