精品解析：广东省揭阳市实验中学2023—2024学年八年级上学期中考试数学试卷

揭阳市实验中学2023-2024学年度下学期数学期中考试 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a＞1 C. a＜0 D. a＞0 5. 如图，在中，，点是延长线上一点，，过点作则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( ) A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式组，无实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 9. 把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________． 13. 若等腰三角形的周长是，一边长为，则这个三角形的底边长是______． 14. 某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，但要保持利润不低于，那么至多打 _____折． 15. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行． 16. 如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 __________________． 三、解答题（一）（17题3分，18题5分，19，20题每小题6分，共20分） 17. 解下列不等式 18. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 19. 如图，在中，，，D为上一点，．求的长． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为，将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点、利用网格点和直尺，完成下列各题： （1）画出平移后的； （2）连接，则这两条线段之间的关系是______； （3）求的面积． 四、解答题（二）（21题8分，22-23题每小题10分，共28分） 21. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状． 22. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，G为中点，求的长． 23. 新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元． （1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ （2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？ 五、解答题（三）（本大题2小时，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． （1）若，则t的取值范围是 ； （2）当t为何值时，； （3）是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 25. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳市实验中学2023-2024学年度下学期数学期中考试 一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合． 【详解】解：A.不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； B.不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； C.是中心对称图形，此选项符合题意； D.不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 故答案为：C． 2. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意； B．若，则，正确，不符合题意； C．若，则，正确，不符合题意； D．若，则当时，，故不正确，符合题意； 故选D． 3. 满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中设，则， ∵， ∴组成的三角形是直角三角形，故A符合要求； 同理，B中， ∵， ∴组成的三角形不是直角三角形，故B不符合要求； 同理，C中， ∵， ∴组成的三角形不是直角三角形，故C不符合要求； 同理D中， ∵， ∴组成的三角形不是直角三角形，故D不符合要求； 故选：A． 4. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a＞1 C. a＜0 D. a＞0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键． 5. 如图，在中，，点是延长线上一点，，过点作则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，等边对等角，根据，，得出，进而可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，先求得交点的坐标，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】解：将代入， ∴， 解得：， ∴ 将代入 ∴ 解得： ∴ 当时，，即与轴的交点为， 根据函数图象可得关于的不等式组的解集是， 故选：D． 7. 已知关于x的不等式组，无实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的值，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无实数解，求出a的取值范围即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无实数解， ∴， ∴； 故选C． 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解：，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 10. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，由此得到点的横坐标为，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标的规律，求和，熟练掌握规律发现求和方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 由此得到点的横坐标为， 设， 故 下式减去上式，得 故横坐标为． 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得，解不等式组可得答案． 【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限， 所以， 解得． 故答案为：． 13. 若等腰三角形的周长是，一边长为，则这个三角形的底边长是______． 【答案】6或7##7或6 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分边长为是腰或底边求解即可． 【详解】解：当底边为，三角形的腰长为， 当腰长为，三角形的底边长为， 故答案为：或7 14. 某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，但要保持利润不低于，那么至多打 _____折． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用。设设该衬衫可打x折，根据利润不低于10%，列出不等式进行求解即可。 【详解】解：设该衬衫可打x折， 根据题意，得：， 解得：， 即该衬衫至多打8折， 故答案为：8． 15. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行． 【答案】北偏东 【解析】 【分析】由题意易得海里，海里，，则有，所以，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：海里，海里，，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿北偏东方向航行； 故答案为北偏东． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 16. 如图，在中，．点在BC上且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则的面积是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据证明是解题的关键． 据旋转的性质得出，再根据证明得出，得出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（17题3分，18题5分，19，20题每小题6分，共20分） 17. 解下列不等式 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤，即可求出解集． 【详解】解：， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：． 18. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，然后再确定出公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，在中，，，D为上一点，．求的长． 【答案】的长为4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，过点作于点，利用直角三角形的特征得，再根据等腰三角形的性质得，根据即可求解，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为，将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点、利用网格点和直尺，完成下列各题： （1）画出平移后的； （2）连接，则这两条线段之间的关系是______； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所画的三角形； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平移的作图，求解网格三角形的面积，熟练掌握平移性质是解题的关键． （1）根据题意，得到平移规律为向左平移6个单位，向下平移1个单位，以此方式平移A，B两点，确定三角形即可． （2）根据平移性质可得答案． （3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 由平移的性质可得：，； 【小问3详解】 ； 四、解答题（二）（21题8分，22-23题每小题10分，共28分） 21. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解一元一次不等式组，等腰三角形的定义，勾股定理得逆定理，掌握相关知识点是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到，解不等式组，得到，进而得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为5，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 22. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为F， ， ，， ， ∵G为中点， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的长为8． 23. 新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元． （1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ （2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元 （2）有两种购车方案：方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，；方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得： 解得：， 答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，依题意得： ， 解得： ∵a为正整数， ∴a取5或6． ∴有两种购车方案： 方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，； 方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元； 五、解答题（三）（本大题2小时，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． （1）若，则t的取值范围是 ； （2）当t为何值时，； （3）是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； 【小问3详解】 解：， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 25. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 【答案】（1）等边，直角，150度 （2）6 （3）45度 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可； （2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，得到，利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：等边，直角，150度； 【小问2详解】 如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到， 则， ∵旋转角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，； 【小问3详解】 将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过旋转，构造特殊图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $