28.2 解直角三角形及其应用举例同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形 一、单选题 1．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 3．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 5．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 6．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 7．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 8．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 二、填空题 9．如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，在中，，则的长为 ． 10．如图，内接于，半径为6，于点D，，则的长为 11．如图，在中，，则的长为 ． 12．已知在中，，a，b，c分别为所对的边． （1）已知，则 ． （2）已知，则 三、解答题 13．在中，，求的长． 14．如图，在中，，求和的长． 15．如图，在中，已知，，，求的面积． 16．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 【分析】本题重点考查学生对锐角三角函数的定义的理解，利用“设未知数法”表示出三角形的三边求解更加简便．作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解． 【详解】解：， ∴设，， ∴由勾股定理得： ， ∴． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 4．D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 5．B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 6．A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 8．D 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 9． 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．连接、、，根据圆周角定理求得，进而求得，，根据垂径定理得到，，，即可求得是等边三角形，从而求得，解直角三角形求得，即可求得． 【详解】解：连接、、， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 则中，， ， 故答案为：； 10． 【分析】本题考查了圆周角定理、三角函数的定义、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 作直径，连接，作于点，求得的长，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作直径，连接，作于点， ∵，， 又∵， ∴， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 11．/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键。 【小题1】， ， ． 故答案为：． 【小题2】 ， ， . 故答案为：. 13． 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 14．， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 15． 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年8月28日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 3．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 4．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 5．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 6．如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（   ） A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡 8．如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 10．哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 11．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 12．如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地 米． 13．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 14．如图，防洪大堤（横断面为梯形）长150米，高7米，背水坡的坡角为．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比为，则完成这项工程需要 立方米土石．（结果保留根号） 三、解答题 15．“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 16．如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且、、在同一条直线上，山坡坡度，求此人所在位置点的铅直高度．（结果精确到米，取，取）    17．如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点处水平前进到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得树顶的仰角为，于点，已知斜坡的坡角为，且点，，，，在同一平面内，求大树的高度．(参考数据：，，) 18．山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 19．如图，是长为，倾斜角为的自动扶梯，平台与大楼垂直，且与扶梯的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为，求大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年8月28日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B C A D B 1．C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 2．D 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接利用坡度的定义求出坡角，进而比较得出答案． 【详解】解：∵乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角， ∴设乙梯子与地面的夹角为， ∴， ∴， ∵丙的坡度为， ∴设丙梯子与地面夹角为， ∴， ∴， 又甲与地面的夹角为， ∴这三个梯子的倾斜程度相同， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 10．336米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，设，分别解，求出的长，根据线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 11．28 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用中的仰角和俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点，在中求出，在中表示出，利用，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图，延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点， 在中，，，米， 米， 设米， 则米， 在中，，， 米， 米， ， ， 米， 即米， 楼的高度是28米． 故答案为： 12．200 【分析】本题考查了勾股定理的应用、方向角等知识，解题的关键是理解题意，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意，是直角三角形，， （米） 故答案为：200． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 14． 【分析】本题主要考查了利用特殊角的三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 过点作于点，过点作于点，利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则米，米． 在中， ， 为等腰直角三角形， 米． 在中，，解得， 米， 梯形的面积为（平方米）， 完成这项工程需要立方米土石． 15．星火相传雕塑的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 16．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意设，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而表示出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，   ， 四边形是矩形， ，， 山坡坡度， ， 设，， 在中，，米， （米）， 米，米， 在中，， ， ， 经检验，是原方程的根， （米）， 此人所在位置点的铅直高度为米． 17．大树的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，连接，证明四边形是矩形，然后利用特殊角三角函数即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：，，， 如图：过点作，垂足为，连接， 斜坡的坡角为， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 大树的高度为． 18．应县木塔的高度为米 【分析】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 19．大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先在中，利用正弦函数可求出的长，再在中，利用正切函数可求出的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：如图，作于点F，则， 由题意得：，，，， 在中，， 则， 在中，， 则， 则， 答：大楼的高度约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$