28.1锐角三角函数步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 第一课时 一、单选题 1．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 7．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 10．在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 11．在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 12．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 三、解答题 13．如图，在中，，，．求的值． 14．如图，在中，，于点D，，，求的值． 15．如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 16．如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 【分析】本题考查求一个角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．构造，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】，，， ． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了三角形的中线，勾股定理，正弦函数，由勾股定理得，再由正弦函数定义即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的意义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 9． 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．/ 【分析】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、求正弦值等知识点，掌握正弦的定义成为解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵在中，，是斜边上的中线，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 12． 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 13． 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理先求出，再根据正弦的定义解答即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 14．的值为． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.1锐角三角函数 第二课时 一、单选题 1．在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．在中，，，的值为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．在正方形网格中，如图放置，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．如图，是的直径，、、为的弦，，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，，，则的长为 ．    10．如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 11．在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 12．在中，满足：，则的形状为 ． 三、解答题 13．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 14．（1）计算：． （2）如图，在中，，求的长． 15．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 16．如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理求出的长，根据余弦的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 2．C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，熟记余弦的定义是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴ ∴． 故选A． 4．D 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据斜边中线定理可得，得到，，再利用勾股定理求出的长，在中利用余弦的定义求出的值，等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵，， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键．由直径可知，结合勾股定理可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再求正切值即可． 【详解】解：如图，连接， ，是的直径， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 7．C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【详解】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 9． 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 10． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．或 【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可． 【详解】解：当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数的计算，分类思想，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 12．等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 13．(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 14．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）先代入特殊角三角函数值，再根据二次根式混合运算法则计算即可； （2）根据余弦的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵在中，， ∴， ∴． 15．(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】(1)设，的半径为r，则， 利用勾股定理解答即可． (2) 连接，根据直径于点E，得到，，根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且， ∴，. 设，的半径为r， 则， 连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如上图，连接， ∵直径于点E，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$