27.2 相似三角形同步练习　 2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.1 相似三角形的判定 一、单选题 1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 3．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中相似的是（    ） A． B． C． D． 5．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 6．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 11．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 12．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 13．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 14．如图，在中，，则 ． 三、解答题 15．如图，．求证：． 16．如图，相交于点O，，求证：． 17．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 18．如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 19．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可 【详解】解：选①②： ∵，， ∴， ∴； 选①③，无法得到； 选①④，无法得到； 选②③，无法得到； 选②④： ∵，， ∴； 选③④： ∵，， ∴． ∴能判断的共有3组． 故选：B 3．D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分别利用网格求出三角形的三边长，根据三边对应成比例的两三角形相似解答即可． 【详解】解：由题可知，，， ∴三边的比值为， A.三边长分别为，，，比值为，不相似； B.三边长分别为，，，比值为，相似； C.三边长分别为，，，比值为，不相似； D.三边长分别为，，，比值为，不相似； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确； D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 9．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 10．．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 11．③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 12．①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 13．6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 15．见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 16．见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2.3相似三角形的应用举例 一、单选题 1．如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛点与标杆顶端点、旗杆顶端点在同一条直线上，点也在同一条直线上．已知该测量人员眼睛到地面的距离1.6m，标杆高，且，则旗杆的高度为（    ） A．9m B．10.5m C．11.2m D．14m 2．如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译为：有一棵树与人（处）相距不知多远，立四根标杆，，，，前后左右的距离各为1丈（即四边形是正方形，且寸），使左两标杆，与所观察的树三点成一直线．又从后右方的标杆观察树，测得其“入前右表”3寸（即寸），问树与人所在的处的距离有多远？设树与人所在的处距离为寸，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　） A． B． C． D． 6．小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 7．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是 ． 10．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 11．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 12．西周数学家商高用“矩”（如图1）测量物高的方法为把矩的两边放置成如图2所示的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出的长，即可算得物高．已知，测得，则 ． 13．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 14．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 三、解答题 15．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 16．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 17．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 18．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 【分析】本题考查相似三角形的应用；通过构造相似三角形，相似三角形对应边成比例是解决问题的关键. 【详解】如图，作于点，交于点． 易知四边形和四边形均为矩形， ，即，解得 故选：C. 2．D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，先结合四边形是正方形，则，故证明，，再代入数值到，，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 【详解】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 5．D 【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点， ∴AB=DC=2BE，AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴==， ∴DF=2BF，=()2=， ∴=， ∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF， ∴==， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键． 6．C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 7．D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9．24 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 10．7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 11．/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 12．6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据得出 ，得出，代入数据求出的长即可推出结果． 【详解】解：， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 13． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 14． 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 15．（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 16．12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 17．（1）①（）；②米/秒；（2）图见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，画函数图象，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 （1）①根据题意利用相似三角形的判定和性质即可求解； ②设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； （2）结合题意，大致画出相应的函数图象即可 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴． ∴． ①∴． ∴，． 同理，．      ∵ ∴ ∴ ∵当接近时，影长接近0； 当接近时，影长接近5 ∴； ②如图，设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴米/秒 （2）如图3所示即为所求． 18． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2 相似三角形的性质 同步练习 一、单选题 1．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为20 C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 D．若，则 4．如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 5．如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 6．下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 8．如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．已知为等腰直角三角形，，，点为边的中点，点为上一点，若，，则 ． 10．如图，，，那么与的相似比为 ．    11．如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 12．如果，且面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 13．如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 15．如图，在中，，D是边上一点，，垂足分别是E、F，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 16．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 17．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 【定理应用】 (1)如图，点、、分别是三边中点，若的周长为，则的周长是_____； (2)如图，、是的中线，，点、分别是和的中点，若，那么的长为_____； (3)如图，在矩形中，将线段绕点旋转一定的角度，得到线段'，连结，点，分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似比对应高的比，面积比相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的3倍， ∴所得三角形与原三角形相似， ∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ∴这个三角形的面积扩大为原来的倍． 故选：C． 3．A 【分析】由全等三角形的性质得，无法证明，可判断A错误；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出的最小值为20，可判断B正确；根据可判断C正确；由相似三角形的性质得出，，即可证明、、三点共线，利用等积法得出，可证明D正确． 【详解】解：A．如图， ， ，． 但是无法证明，故选项错误； B．连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴的最小值为20，故正确； C．∵，的面积等于的面积， ∴的面积等于的面积，故正确； D．如图， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴、、三点共线，， ∴，即， 解得：，故正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，相似三角形的性质，难度一般，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选∶D． 5．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 7．A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 8．B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 9．或． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据题意画出图形，过点作，可证，因为点为边的中点，可知，又因为为等腰直角三角形，根据勾股定理可以求出，从而可知，利用勾股定理求出，然后再分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， 又， ， ， 点为边的中点， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 当点在点上方时， ， 当点在点下方时， ， 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 10．/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵，且面积之比为， ∴它们的相似比是， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，因为，可得：，从而求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据证明，再由证明即可； （2）根据三线合一得到，而，故，则为等腰直角三角形，，那么，可证明四边形是矩形，再由，即可证明为正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 17．(1)； (2)； (3)． 【分析】点、、分别是三边中点，所以、、是的三条中位线，根据中位线定理即可求出的周长为； 连接，并延长交于点，根据勾股定理可以求出，点、分别是、的中点，是的中位线，所以可证，根据相似三角形的性质可证点是的中点，从而可证点是的中点，从而可证是的中位线，利用三角形中位线定理即可求出的长度； 根据三角形的中位线定理可证，所以当的面积最大时，的面积最大，在的旋转过种中当时，的面积最大，所以可求的最大面积是，所以的最大面积是． 【详解】（1）解：点、、分别是三边中点， 、、是的三条中位线， ，，， 的周长为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； （2）解：在中，，， ， 如下图所示，连接，并延长交于点， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 又点是的中点， ， ， 点是的中点， ， 点、、分别是、、的中点， ，， 点是的中点， ， ， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， ， 当的面积最大时，的面积最大， 当时，的面积最大， 此时， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$