14.3 《角的平分线》同步练习-2025－2026学年人教版数学八年级上册

14.3 《角的平分线》 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝32°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若OM＝ON，则∠OBC的度数为（　　） A．32° B．29° C．18° D．16° 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，如果BC＝6，DE＝2，那么BE的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．5 4．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，且S3＝8，则S1+S2的值可能为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE，交AE的延长线于点G，FG与AC的延长线交于点M，与AD的延长线交于点N，连接BN．给出下列结论：①∠DEA＝∠F；②∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠BNF＝∠BAE+∠ACB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是 　 　 ． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则BD＝ 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，△ABD的面积为，则线段AB的长为 　 ． 14．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 ． 三、解答题 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 17．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小． （2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若∠A＝38°，求∠ADB的度数； ②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 20．已知直线m⊥n于点O，点A在直线m上，点B在直线n上． （1）如图1，射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．问点A、B运动过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求∠ACB的大小． （2）如图2，延长AB至E，AF是∠BAO内的一条射线，与直线n相交于点D，若∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，过点G作GH⊥AE于H，设∠BGH＝α，∠AGD＝β，试探究α和β满足的数量关系，并证明． （3）如图3，延长AB至E，已知∠ABO、∠OBE的角平分线与∠BOQ的角平分线所在直线分别相交于M、N．在△BMN的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数． 参考答案 一、单选题 1．D 【解答】解：∵ON⊥BC，OM⊥AB，OM＝ON， ∴点O到BC、AB的距离相等， ∴OB是∠ABC的角平分线， ∵∠ABC＝32°， ∴∠OBC∠ABC32°＝16°． 故选：D． 2．D 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示： ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4， ∴DF＝DE＝3， ∴S△ADC． 故选：D． 3．A 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，DE＝2， ∴EC＝DE＝2． ∵BC＝6， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣2＝4， 故选：A． 4．A 【解答】解：如图： ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF， ∴M在∠A的角平分线上， 故选：A． 5．C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 6．D 【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等， 设点O到AB的距离为a， 则S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝5：6：7， 故选：D． 7．B 【解答】解：过A作AE′⊥BC于E′，则AE′的长为AE的最小值， ∵CA平分∠BCD，AE′⊥BC，∠D＝90°，AD＝2， ∴AE′＝AD＝2， 即AE的最小值为2， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．C 【解答】解：由题意知：AD平分∠BAC， ∵∠ABC＝90°， ∴DB⊥AB， ∵DE⊥AC， ∴DE＝DB， ∵AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AB＝3， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+BD+CE＝BC+CE＝4+2＝6． 故选：C． 9．D 【解答】解：由题意可得：△ABI、△ACI和△BCI的边AB，AC，BC上的高相等， 设这个相等的高长为h， ∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3， ∴，， ∴，，， ∵AB+AC＞BC， ∴， ∴S1+S2＞S3， 又∵S3＝8， ∴S1+S2可能的值10， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 10．A 【解答】解：①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴△FDN和△ANG都是直角三角形， ∴∠F+∠ANG＝90°，∠DAE+∠ANG＝90°， ∴∠F＝∠DAE 假设∠DEA＝∠F， ∴∠DEA＝∠DAE， 在△ADE中，当DA＝DE时，∠DEA＝∠DAE＝45°， 但是，根据已知条件无法判定DA＝DE， 故结论①不正确； ②在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠ABD+∠ACE）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝90°（∠ABD+∠ACE）， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°（∠ABD+∠ACE）﹣（90°﹣∠ABD）（∠ABD﹣∠ACE）， 故结论②不正确； ③过点E作EK⊥AB于点K，ET⊥AC于点T，如图所示： ∵AE平分∠BAC， ∴EK＝ET， ∵S△AEBAB•EK，S△AECAC•ET， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC， 故结论③正确； ④∵∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠CAB+∠ACB， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAB， ∴∠AEB＝∠BAE+∠ACB， ∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠NDE＝∠NGE＝90°， ∴∠NDE+∠NGE＝180°， 在四边形DEGN中，∠DNG+∠DEG+∠NDE+∠NGE＝360°， ∴∠DNG+∠DEG＝180°， 又∵∠AEB+∠DEG＝180°， ∴∠DNG＝∠AEB， ∵∠BNF＝∠BND+∠DNG， ∴∠BNF＝∠BND+∠AEB， ∴∠BNF＞∠AEB， 即∠BNF＞∠BAE+∠ACB， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论有③，共1个． 故选：A． 二、填空题 11．2 【解答】解：如图，作PM⊥OA，垂足为M， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PM⊥OA， ∴PD＝PM， ∵PD＝2， ∴PM＝2， 故答案为：2． 12．5． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝3， ∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 13．5 【解答】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图， 由作法得AD平分∠BAC， 而DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵△ABD的面积为， ∴AB， 解得AB＝5， 即线段AB的长为5． 故答案为：5． 14．6． 【解答】解：连接OA，OB， ∵O为△ABC三个内角平分线的交点， ∴OA平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAC， 由平移的性质得到：OF∥AC， ∴∠AOD＝∠∠OAC， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴AD＝OD， 同理：BE＝OE， ∴阴影部分的周长＝OD+DE+OE＝AD+DE+BE＝AB＝6． 故答案为：6． 15．4：3 【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 三、解答题 16．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 17．解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝46°，∠BAD＝25°， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝46°﹣25°＝21°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×21°＝42°； （2）∵AD为中线，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵AF⊥BC， ∴△ABC的面积BC•AF＝30， ∴AF＝6． 18．解：（1）∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示： （2）①∵∠C＝90°，∠A＝38°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣38°＝52°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝26°， ∴∠ABD＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣38°﹣26°＝116°； ②过点D作DH⊥AB于点H， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DH＝CD＝2， ∴△ABD的面积AB•DH5×2＝5． 19．（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 20．解：（1）不发生变化，理由如下： ∵m⊥n， ∴∠AOB＝90°， 在△ABO中，∠BAO+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝90°， ∵射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴，， ∴， 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ACB大小不发生变化，为135°； （2）∴α＝β，理由： ∵∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，设∠EBG＝∠GBD＝x，∠FDG＝∠GDB＝y，∠BAD＝2z． ∴∠EBD＝∠BAD+∠ADB，∠BDF＝∠BAD+∠ABD， ∴∠EBD+BDF＝∠BAD+∠ADB+∠BAD+∠ABD＝180°+∠BAD，即2x+2y＝180°+2zx+y＝90°+z， ∴∠AGD＝∠GDF﹣∠GAD＝y﹣z，∠AGB＝∠GBE﹣∠GAB＝x﹣z，∠BGD＝180°﹣（x+y）， ∵GH⊥AE， ∴∠BGH＝α＝90°﹣x， ∴∠AGD＝β＝∠BGD﹣∠AGB＝180°﹣（x+y）﹣（x﹣z）＝180°﹣（90°+z）﹣（x﹣z）＝90°﹣x， ∴α＝β； （3）∵BM平分∠ABO，BN平分∠OBE， ∴∠MBN（∠ABO+∠OBE）＝90°， ∵OM平分∠BOQ， ∵∠BOQ＝90°， ∴∠BOM＝45°． 分情况讨论情况一：若∠BMN＝3∠BNM，∠BMN+∠BNM＝90°， 则∠BNM＝22.5°，∠BMN＝67.5°， ∵∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°． ∴∠OBN＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠BAO＝90°﹣∠ABO＝90°﹣2×22.5°＝45°； 情况二：若∠BNM＝3∠BMN，∠BMN+∠BNM＝90°，则∠BMN＝22.5°，∠BNM＝67.5°， 而∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°＜75°，不合题意，舍去； 情况三：若∠MBN＝3∠BMN，则∠BMN＝30°． ∴∠BNM＝60°而∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°＜60°，不合题意，舍去； 情况四：若∠MBN＝3∠BNM，∠BNM＝30°， ∵∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°， ∴∠OBN＝45°﹣30°＝15°，∠BAO＝90°﹣∠ABO＝90°﹣2×15°＝60°， 综上所述，∠BAO为45°或60°． 学科网（北京）股份有限公司 $$