浙江省杭州学军中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025年8月杭州学军中学高三开学考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知方程x2+3ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（ ）. A. 或 B. 或 C. D. 6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A. 2280 B. 2120 C. 1440 D. 720 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ） A. 圆O与直线l相离 B. 存在最小值 C. 存在最大值 D. 存在点P使得为直角三角形 10. 已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（ ） A. B. C. 为极大值点 D. 11. 已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 存在最大项 D. 存在最小项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为______．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则) 13. 在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 14. 如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为． （1）求的最小正周期及的值； （2）若点R的坐标为，，求A的值． 16. 已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. （1）求甲的康复时间不少于14天的概率； （2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 17. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）设． ①直线与平面所成的角为，求线段的长； ②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由． 18. 已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率． （1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积． 19. 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距． （1）用和表示； （2）求对所有都有成立的的最小值； （3）当时，比较与的大小，并说明理由． 2025年8月杭州学军中学高三开学考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】1587 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）最小正周期，； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【17题答案】 【答案】（1）平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2）①； ②不存在，解法一：如图所示，假设线段上存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 设，则，，． 因此由，得，即， 又由，得， 联立两式，消去并化简，得，由 ∵方程没有实数根， ∴在线段上不存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 解法二：假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等， 由，得， 从而，即， 所以， 设，则，， 在中， ， 这与矛盾， 所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等， 从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等． 【18题答案】 【答案】（1）双曲线方程：，渐近线方程； （2）2. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）a的最小值是； （3），证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $