第三章 函数的概念与性质（知识清单+9大易错训练）高一数学人教A版2019必修第一册

第三章 函数的概念与性质 清单01 函数的概念 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点02 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点03 区间与无穷大 1、区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定： 满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为； 满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为； 满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，表示为，； 这里的实数叫做相应区间的端点. （2）几何表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、无穷大 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足，，，的实数的集合，用区间表示为，，， 定义 符号 数轴表示 清单02 函数的表示法 知识点01 函数的三种表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点02 分段函数 1、分段函数的定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点03 函数的图象 1、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 清单03 函数的单调性与最值 知识点01 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 注：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点02 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 清单04 函数的奇偶性 知识点01 函数的奇偶性 1、奇函数的定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数的定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 知识点02 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 清单05 幂函数 知识点01 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增， 在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点03 作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表． 第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象． 清单06 函数的应用（一） 1、一次函数模型 （1）一次函数： （2）求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． （3）解决实际应用问题的一般步骤 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 2、二次函数模型 （1）二次函数：形如 （2）求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. （3）解决实际应用问题的注意事项 ①函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． ②要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． ③注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 3、幂函数模型 （1）幂函数模型：y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， （2）在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 4、对勾函数模型 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 【易错01：函数的三要素考虑不周】 判断两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数．由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可． 【典例】 （25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 【针对训练】 （25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【易错02：抽象函数的定义域】 （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同. （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围. （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域. 【典例】 （2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考察函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必须，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 【针对训练】 （2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 【易错03：换元法没注意新元的范围】 利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件． 【典例】 （2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，通过换元法即可求解. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以． 故选：B． 【针对训练】 （23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 【易错04：分段函数忽略分段处大小比较】 一般地，若函数f（x）在区间[a，b）上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f（x）在[a，c]为增函数，如图： ， 由图象可知函数f（x）在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此，时不能说f（x）在[a，c]上增函数，若图象满足如图： ， 即可说函数在[a，c]上为增函数，即只需f（x）在[a，b）上的最大值不大于f（x）在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论． 【典例】 （24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 【针对训练】 （23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【易错05：复合函数忽略定义域】 求复合函数的单调性要注意 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性． （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接． （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 【典例】 （24-25高一下·江苏无锡·月考）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 【针对训练】 （24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【易错06：奇偶性概念理解错误】 若函数是奇函数，则对定义域内的每一个，有，特别当属于定义域时，有即.因此，一般地有结论：奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即 【典例】判断函数的奇偶性. 【答案】既不是奇函数也不是偶函数. 【分析】 首先求出函数的定义域为,定义域不关于原点对称，直接判断函数为非奇非偶函数. 【详解】解:由题意,得解得,即的定义域为, 因为的定义域不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数. 【针对训练】 判断函数的奇偶性． 【详解】当时，，∴，当时，，∴，但当时，，∴此函数为非奇非偶函数． 【易错07：幂函数性质应用错误】 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 【典例】 若，试求的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域，将分成：同时大于零、同时小于零、三种情况，结合幂函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】∵，∴或或解得或.故的取值范围是. 【针对训练】 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的a的取值范围． 【详解】∵函数在上单调递减， ∴，解得． ∵，∴，2． 又∵函数图象关于y轴对称， ∴偶数． 而当时，为奇数， 当时，偶数，∴． 而在，上均为减函数， ∴等价于或或． 解得或． 故a的取值范围为． 【易错08：函数的单调性、奇偶性综合应用】 1、在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2、在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 【典例】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 【针对训练】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【易错09：抽象函数的简单性质】 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解； 【典例】 （23-24高一上·浙江金华·月考）（多选题）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【答案】ABC 【分析】令，求得，可判定A正确；令，推得，可判定C正确；用代替，可判定B正确；由，因为的符号不确定，可判定D不正确. 【详解】由定义在上的函数满足， 令，可得，可得，所以A正确； 令，可得，因为，可得， 所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确； 用代替，可得，所以B正确； 任取，且，则， 则， 其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定， 所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确. 故选：ABC. 【针对训练】 （多选题）已知函数的定义域为．若对任意，都有成立，且当时，均有，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用赋值法进行求解A,B，C选项可利用奇函数的定义判断，D选项先证明单调性再利用单调性求解不等式. 【详解】因为，令可得，即，A不正确； 令可得，令可得，B正确； 令可得，因为，所以，即是奇函数，C正确； 设，则，所以，因为当时，均有，所以，即，所以为增函数；若，则，解得，D正确. 故选：BCD. 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 4．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数定义域及单调性，即可判断函数最值. 【详解】由已知， 即函数的定义域为， 且， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为， 故选：B. 5．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 7．（24-25高一上·河北张家口·月考）（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【分析】代入特殊数值，即可判断AB，令，以及奇函数的定义，即可判断C，根据减函数的定义，即可判断D. 【详解】A.令，得，即，故A正确； B.令，所以，故B错误； C.令，则，即，所以函数为奇函数，故C正确； D.设，，即， 即， 因为，所以，则，所以， 即，所以为上的减函数，故D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 10．函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 11．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 12．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知函数为上单调递增，根据奇函数性质结合函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递增，可知函数为上单调递增， 且，，则， 若，即， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海宝山·月考）若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到函数在上为严格增函数，且，进一步即可求解. 【详解】若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且， 则函数在上为严格增函数，且， 所以， 故所求为. 故答案为：. 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的区间单调性及定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： 17．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题可得，在上单调递增，然后由 或，可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 18．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 【答案】或 【分析】由幂函数在上单调递减，可得且，可得m的值为1或2，再结合图象关于轴对称确定函数解析式，最后结合幂函数的单调性解出不等式求出a的取值范围即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以，当时，，当时，， 因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，解得； 则为， 由幂函数性质得在上均为减函数， 故等价于或或， 解得或，得到的取值范围为或. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 21．（24-25高一下·广东·月考）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 22．（24-25高一上·河南·月考）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）由条件，通过赋值依次证明，由此证明为偶函数，再证明时不成立，证明不是奇函数； （2）任意取，且，结合条件证明，可得结论； （3）要证明原命题只需证明成立.，再证明，由此可得，最后证明即可. 【详解】（1）因为对任意实数u，v，都有， 所以，所以， 在中，令得，， 所以，所以是奇函数， 因为当时，，所以，所以不是偶函数 （2）证明：任意取，且，则，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数”是真命题.理由如下： 因为是一个正有理数，所以， 所以原命题等价于成立. ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数成立， 所以原命题是一个真命题. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质 清单01 函数的概念 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点02 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点03 区间与无穷大 1、区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定： 满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为； 满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为； 满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，表示为，； 这里的实数叫做相应区间的端点. （2）几何表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、无穷大 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足，，，的实数的集合，用区间表示为，，， 定义 符号 数轴表示 清单02 函数的表示法 知识点01 函数的三种表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点02 分段函数 1、分段函数的定义 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点03 函数的图象 1、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 清单03 函数的单调性与最值 知识点01 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 注：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点02 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 清单04 函数的奇偶性 知识点01 函数的奇偶性 1、奇函数的定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数的定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 知识点02 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 清单05 幂函数 知识点01 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增， 在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点03 作幂函数图象的步骤 第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象： （1）当时，以为代表，； （2）当时，以为代表； （3）当时，以为代表． 第二步：求幂函数的定义域。幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域． 第三步：若幂函数在轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出轴左侧的图象． 清单06 函数的应用（一） 1、一次函数模型 （1）一次函数： （2）求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． （3）解决实际应用问题的一般步骤 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 2、二次函数模型 （1）二次函数：形如 （2）求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. （3）解决实际应用问题的注意事项 ①函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． ②要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． ③注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 3、幂函数模型 （1）幂函数模型：y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， （2）在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 4、对勾函数模型 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 【易错01：函数的三要素考虑不周】 判断两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看其定义域、对应法则、值域是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数．由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定，因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可． 【典例】 （25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 （25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【易错02：抽象函数的定义域】 （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同. （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围. （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域. 【典例】 （2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【针对训练】 （2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【易错03：换元法没注意新元的范围】 利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件． 【典例】 （2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 （23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【易错04：分段函数忽略分段处大小比较】 一般地，若函数f（x）在区间[a，b）上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f（x）在[a，c]为增函数，如图： ， 由图象可知函数f（x）在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此，时不能说f（x）在[a，c]上增函数，若图象满足如图： ， 即可说函数在[a，c]上为增函数，即只需f（x）在[a，b）上的最大值不大于f（x）在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论． 【典例】 （24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 （23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【易错05：复合函数忽略定义域】 求复合函数的单调性要注意 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性． （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接． （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 【典例】 （24-25高一下·江苏无锡·月考）函数的单调减区间是 ． 【针对训练】 （24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【易错06：奇偶性概念理解错误】 若函数是奇函数，则对定义域内的每一个，有，特别当属于定义域时，有即.因此，一般地有结论：奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即 【典例】判断函数的奇偶性. 【针对训练】 判断函数的奇偶性． 【易错07：幂函数性质应用错误】 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 【典例】 若，试求的取值范围. 【针对训练】 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的a的取值范围． 【易错08：函数的单调性、奇偶性综合应用】 1、在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2、在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 【典例】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【针对训练】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【易错09：抽象函数的简单性质】 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解； 【典例】 （23-24高一上·浙江金华·月考）（多选题）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【针对训练】 （多选题）已知函数的定义域为．若对任意，都有成立，且当时，均有，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北张家口·月考）（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 8．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 9．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 10．函数的单调递增区间为 ． 11．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 12．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 13．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·上海宝山·月考）若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为 ． 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 17．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 18．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 19．（2025高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 21．（24-25高一下·广东·月考）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 22．（24-25高一上·河南·月考）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$