第3章 勾股定理 同步训练 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

第3章 勾股定理 一、单选题 1．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 4．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 5．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（    ） A．1 B．12 C． D． 8．如图，在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 10．如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是 ． 11．直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为 ． 12．如图，在中，平分，则 ． 13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 三、解答题 14．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 15．如图，在等腰中，，点是上一点，． (1)试说明：； (2)求的长． 16．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 17．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 18．如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 3．B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 4．C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：当a最大时，； 当8最大时，，不是正整数，不符合题意； 所以a的值为10． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解，再利用线段和差计算． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得， ∴ 故选：B． 7．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 8．D 【分析】本题可通过构造全等三角形，将所求线段BD转化到直角三角形中，利用勾股定理求解．作辅助线构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再结合勾股定理计算BD的长度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS）和勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 作 ，使 ，连接 ，． ∵ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ，． 又∵ ， ∴ ，即 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在 中，，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：D． 9．3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 10．5 【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质得到，，继而求出 ，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵和关于点C成中心对称， ∴， ∴， 则． 故答案为：5． 11． 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形的面积求高，解题关键是求出斜边长． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用利用三角形的面积求出斜边上的高． 【详解】解：设它斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长分别为5和， ∴它斜边长为， 这个直角三角形的面积为， 解得：， 故答案为：． 12．8 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∴． 故答案为： 13．合格 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 14．(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （1）根据得出是直角三角形，且，即可得证； （2）过点作于点，设，根据等腰三角形的性质可得，在，中，得出，解方程，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形，且 ∴； （2）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 16． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 17．(1) (2)当为等腰三角形时，或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）依题意，，分三种情况讨论，当时，当时，当时，结合图形分别求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵在中，，，， ∴， 在中， 即， ， 当时， ∴的面积为： （2）依题意得， 当时，， 当时，， ， ∴ ∴ ∴ 解得：； 当时，过点作，垂足为，则 在中，， ∴ ∴ ∴， 当或或时，为等腰三角形． 18．(1) (2) (3)点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据题意，，，点P在线段上，则，结合是等腰三角形，得，此时；解答即可． （3）根据等腰三角形性质和判定，分三种情况，解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 当秒时，，， 此时，， 又， 故． （2）解：根据题意，，， 点P在线段上，则， 由是等腰三角形， 得， 此时； 解得． （3）解：∵， ∴， ∵动点Q的速度为，设运动时间为， ∴点Q运动路程， ∵点Q在上， ∴所以运动时间大于，， ∵是等腰三角形， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时， 则， 过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， 此时，； 当时，此时， 此时，， 综上所述，点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$