专题8 与旋转有关的探究题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(人教版)河北专版

第二十三章　旋　转 专题8　与旋转有关的探究题 1 【方法指导】结论探究型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探究发现与之相应的结论的题目. 解结论探究型题的方法是由因导果. 类型1 结论探究型 2 3 4 5 1 6 2 针对训练 1.（天津中考）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是 （　　） A. ∠CAE=∠BED B. AB=AE C. ∠ACE=∠ADE D. CE=BD A 2 3 4 5 1 6 3 2.已知线段AB，将AB绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）得到AC，连接BC，在线段BC上取一点D，BD>CD. 连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到AE，连接CE. （1）如图1，当α=50°时，连接DE， 求∠ADE的度数； （2）如图2，当∠B=30°时，试探究 线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由. 2 3 4 5 1 6 4 解：（1）由旋转的性质，得AD=AE，∠DAE=α=25°， ∴∠ADE=∠AED=（180°−∠DAE）=77.5°. （2）AD=CE. 理由如下： 如图，过点A作AM⊥BC，过点E作EN⊥AC，垂足分别为M，N. ∵将AB绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）得到AC， ∴AB=AC. 又∠B=30°，∴∠ACB=∠B=30°， 2 3 4 5 1 6 5 ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，即α=120°. ∵AM⊥BC，∴∠CAM=∠BAC=60°. ∵线段AD绕点A逆时针旋转α得到AE， ∴AD=AE，∠DAE=α=60°， ∴∠DAE=∠CAM，即∠DAN+∠NAE=∠DAN+∠MAD， ∴∠MAD=∠NAE. ∵AM⊥BC，EN⊥AC，∴∠AMD=∠ANE=90°， ∴△AMD≌△ANE（AAS）. ∴AM=AN. ∵∠ACB=30°，AM⊥BC，∴AC=2AM，∴AC=2AN， ∴AE=CE，∴AD=CE. 2 3 4 5 1 6 6 3.【新趋势·探究性问题】如图1，Rt△DEF与Rt△ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=36°，∠ABC=40°，CD平分∠ACB. 将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°<α<180°），在旋转过程中： （1）如图2，当α=________时，DE⫽BC； 当α=________时，DE⊥BC. （2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF，DE分别交BC，AC的延长线于点M，N. 4° 94° 2 3 4 5 1 6 ①此时α的范围是____________. ②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数的和；若变化，请说明理由. 49°<α<85° 2 3 4 5 1 6 提示：当DE⫽BC时，如图a. ∵DE⫽BC，∴∠EDA=∠B=40°，∵∠EDF=36°， ∴α=∠EDA-∠EDF=40°-36°=4°，∴当α=4°时，DE⫽BC. 当DE⊥BC时，如图b. ∵DE⊥BC，∴∠BGD=90°， ∵∠B=40°，∠GDA是△GDB的一个外角， ∴∠GDA=∠B+∠BGD=40°+90°=130°， ∵∠EDF=36°， ∴α=∠GDA-∠EDF= 130°-36°=94°， ∴当α=94°时， DE⊥BC. 2 3 4 5 1 6 （2）提示：∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD=45°， ∵∠ABC=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BCD=40°+45°=85°. 当ED经过点C时，α=∠ADC-∠EDF=85°-36°=49°； 当FD经过点C时，α=∠ADC=85°.∴顶点C在△DEF内部时，49°<α<85°. ②∠1与∠2度数的和不发生变化. 如图c，延长DC至点H， ∵∠NCH，∠MCH分别是△NCD和△MCD的外角， ∴∠NCH=∠2+∠NDC，∠MCH=∠1+∠MDC， ∴∠NCH+∠MCH=∠2+∠1+∠NDC+∠MDC， ∴∠NCM=∠1+∠2+∠NDM. ∵∠NCM=∠ACB=90°，∠NDM=∠EDF=36°， ∴90°=∠1+∠2+36°，∴∠1+∠2=54°. 2 3 4 5 1 6 【方法指导】条件探究型的特征是给出了结论，要求探究使该结论成立所具备的条件. 解题时，一般需要从结论出发，运用逆向思维解决（即执果索因）. 类型2 条件探究型 2 3 4 5 1 6 针对训练 4.（廊坊霸州期末）如图，点E是等边三角形ABC的边AC的中点，D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF. 若运动过程中AF的最小值为+1，则AB的值为 （　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 D 2 3 4 5 1 6 12 解析：如图，连接BE，延长AC至N，使EN=BE，连接FN. ∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点， ∴∠CBE=∠ABE=30°，BE⊥AC，∴∠BEC=90°. ∵∠DEF=90°，∴∠BED+∠DEC=∠NEF+∠DEC， ∴∠BED=∠NEF. 又BE=NE，ED=EF， ∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N=∠CBE=30°. 当AF⊥FN时，AF有最小值，如图，过点A作 AF'⊥NF，交NF的延长线于点F'，则AF'=+1. ∵∠N=30°，∴AF'= AN. 易得BE=AE，∴+1=（AE+AE）， 解得AE=2，∴AC=4，故AB=4. 2 3 4 5 1 6 5.（石家庄赵县期中）如图，把一副三角尺的一对顶点重合于点C，边CE与射线CB重合，若△ACB固定不动，将△DCE绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°<α<180°），使△DCE中有 一条边所在的直线与AB垂直，则α的度数 为_________________. 15°或60°或105° 2 3 4 5 1 6 14 解析：①CD⊥AB时，如图1. ∵∠CFB=90°，∠B=30°， ∴∠FCB=60°， ∴α=∠FCB-∠DCE=60°-45°=15°. ②CE⊥AB时，如图2. α=90°-∠B=90°-30°=60°. ③DE⊥AB时，如图3. ∵∠EKT=90°，∠E=45°，∴∠CTB=∠KTE=45°， ∴α=180°-∠CTB-∠B=180°-45°-30°=105°. 综上所述，α的度数为15°或60°或105°. 2 3 4 5 1 6 【方法指导】　存在性探究题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题.解法一般是先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件、数学公式、定理等进行演算、推理，得到某一结论. 类型3 存在性探究型 2 3 4 5 1 6 针对训练 6.（沧州模拟）把两个全等的等腰直角三角尺ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如下页图1），且使三角尺EFG的直角顶点G与三角尺ABC的斜边中点O重合. 现将三角尺EFG绕点O顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°<α<90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角尺的重叠部分（如下页图2）． （1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论. 2 3 4 5 1 6 （2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. （3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由． 2 3 4 5 1 6 解：（1）BH=CK，四边形CHGK的面积不变. 证明如下： 如图，连接CG，KH. ∵△ABC为等腰直角三角形， O（G）为其斜边中点， ∴CG=BG，CG⊥AB， ∴∠ACG=∠B=45°. ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK. 在△BGH与△CGK中， ∴△BGH≌△CGK（ASA）. ∴BH=CK，S△BGH=S△CGK． 2 3 4 5 1 6 ∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH= S△ABC= ××4×4=4. 故四边形CHGK的面积为4，在旋转过程中没有变化. （2）∵AC=BC=4，BH=x，∴CH=4-x，CK=x． 由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，得y=4− x（4-x）， ∴y= x2-2x+4．由0°<α<90°，得BH<BC=4，∴0<x<4. （3）存在． 根据题意，得x2-2x+4= ×8， 解这个方程，得x1=1，x2=3， 即当x=1或x=3时，△GHK的面积等于△ABC的面积的． 2 3 4 5 1 6 21 $$