第二章一元二次方程课后培优训练 2025—2026学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程课后培优训练北师大版2025—2026学年九年级上册 一、选择题 1．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 2．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 4．某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（    ） A． B． C． D． 5．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 8．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 9．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 10．我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 13．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 14．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ． 三、解答题 15．解方程： (1) (2) 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 17．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 18．商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件． (1)当商品售价降价元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？ 19．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B A B D A C B 二、填空题 11．1 12．2029 13．8 14． 三、解答题 15．【解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 16．【解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵一元二次方程的两个实根是和， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 17．【解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 18．【解】（1）解：由题意可知，（件）， （元）， 即当商品售价降价元时，每天销售量可达到件，每天盈利元， 故答案为：，； （2）解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴， 答：每件商品应降价元． 19．【解】（1）证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 20.【解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$