26.4 第2课时 坡度、坡角问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十六章　解直角三角形 26.4　解直角三角形的应用 第2课时　坡角、坡度问题 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　与坡角、坡度有关的问题 1.（唐山乐亭期中）如图，一辆小车沿着坡度为i=1∶的斜坡向上行驶了100 m，则此时该小车上升的高度为________m. 50 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 3 2.（原创题 科技发展）有一种速度，叫中国速度！有一种制造，叫中国制造！有一种高铁，叫中国高铁！中国高速铁路运营里程稳居世界第一. 如图是某在建高铁的路基横断面（梯形ABCD），DC⫽AB，BC的长为8 m，坡角α为30°，坡角β为45°，则AD的长为________m（结果保留根号）. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 4 3.（衡水故城期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库进行了改进. 如图，该小区原地下车库的入口处的斜坡AC长为13 m，它的坡度为1∶2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC=13°（此时点B，C，D在同一直线上）. （1）求这个车库的高度AB； （2）求斜坡改进后的起点D与原起点C之间的距离. （结果精确到0.1 m.参考数据：sin 13°≈0.225，cos 13°≈0.974，tan 13°≈0.231） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 5 解：（1）由题意，知∠ABC=90° ，斜坡AC的坡度为1:2.4， :. AB:BC=1:2.4=5:12.设AB=5x,则BC= 12x. 在Rt△ABC中,AC=13 m,由勾股定理，得AB2+BC2=AC2 ,即(5x)2+( 12x)2=132, 解得x=1(负值舍去)，∴AB=5m.即这个车库的高度AB为5 m. (2)由(1),得BC=12 m. ∵在Rt△ABD中，tan∠ADC=,∠ADC=13°，AB=5 m，DB ∴DB= DC=DB-BC≈21.6-12=9.6(m), 即斜坡改进后的起点D与原起点C之间的距离约为9.6 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 6 知识点2　坡度与仰角、俯角的综合题 4. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150 m的C处有一山坡，斜坡CD的坡度为，坡顶D到BC的垂直距离DE=50 m（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角 为50°，则建筑物AB的高度约为________m. （结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19） 85.7 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 7 5. 如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为1∶的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°. 已知DC=6 m，DE=4 m. （1）点E到地面DC的距离； （2）求旗子的宽度AB. （结果保留根号） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 8 解：（1）如图，过点E作EF⊥CD，交CD的延长线于点F. ∵斜坡DE的坡度为i=1∶. ∴==. 在Rt△EFD中，tan ∠EDF==， ∴∠EDF=30°. ∵DE=4 m，∴EF=DE=2 m， ∴点E到地面DC的距离为2 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 9 （2）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为点G，则EF=GC=2 m，EG=CF. ∵=，∴DF=EF=2 m. ∵DC=6 m，∴EG=FC=DF+DC=（2+6）m. 在Rt△AEG中，∠AEG=45°，∴AG=EG=（2+6）m. 在Rt△BDC中，∠BDC=60°，∴BC=CD·tan 60°=6 m. ∴AB=AG+GC-BC=2+6+2-6=（8-4）m， ∴旗子的宽度AB为（8-4）m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 10 6.（新情境 生产生活）自开展全民健身运动以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段坡路进行改造. 如图，改造前的斜坡AB=200 m，坡角为30°. 将斜坡AB的高度AE降低20 m后，斜坡AB改造为斜坡CD， 其坡度为1∶4，则斜坡CD的长 为________m.（结果保留根号） 80 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 7.（石家庄桥西期末）有有一处斜坡如图所示，在点O处分为两段，其中MO=NO=8 m，且MO段的坡度为1∶1，NO段的坡度为1∶，则∠MON=________. 若将两段斜坡建造成台阶，且每级台阶的高度不超过15 cm，则这一处斜坡最少可以建造台阶________级.（参考数据：≈1.41， ≈1.73） 165° 65 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 【解析】如图，过点O作OA⊥MP，作OB⊥NP，垂足分别为A，B. ∵MO段的坡度为1∶1， ∴∠AMO=45°，∴∠MOA=45°. ∵NO段的坡度为1∶，∴∠NOB=30°， ∴∠MON=45°+90°+30°=165°. 在Rt△MOA中，∵∠MOA=45°，MO=8 m， ∴MA=OA=MO=4 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 13 在Rt△ONB中，∵∠NOB=30°，ON=8 m， ∴BN=ON=4 m，∴OA+BN=4+4≈9.64（m）. ∵9.64 m=964 cm，964÷15=64， ∴这一斜坡最少可以建造台阶65级. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 14 8.（辽宁本溪中考）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山. 需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处. 已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）. （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为 60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少 分钟（结果精确到0.1 min. 参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 15 解：（1）如图，过点B作BM⊥ AF于点M. 由题意，可知∠A=30°，∠DBE=53°， DF=600 m，AB=300 m. 在Rt△ABM中，∠A=30°，AB=300 m， ∴BM=AB=150 m=EF， ∴DE=DF-EF=600-150=450（m），∴登山缆车上升的高度DE为450 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 16 （2）在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=450 m， ∴BD=≈=562.5（m）， ∴需要的时间t=t步行+t缆车≈ + ≈19.4（min）， ∴从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 17 9. 如图，某建筑物CD前有一段坡度为1∶2的斜坡BE，小明站在斜坡上的B点处，用测角仪测得建筑物顶部C的仰角为37°，接着小明向下走了4 m，到达坡底E处，这时测得建筑物顶部C的仰角为45°，A，B，C，D， E，F在同一平面内. 若测角仪的高度AB=EF=1.5 m，则 建筑物CD的高度约为________m. （结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 41.5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 18 【解析】如图，延长AB交DE的延长线于点H，则BH⊥EH；过点A作AM⊥CD于点M，过点F作FN⊥CD于点N. 在Rt△BHE中，∵BE=4 m，BH∶EH=1∶2， ∴可设BH=x，则EH=2x. 由勾股定理，得BH2+EH2=BE2，即x2+（2x）2=（4）2. 解得x=4（负值舍去）. ∴BH=4 m，EH=8 m. 设DE=y m. ∵四边形AHDM、四边形FEDN均是矩形， ∴AM=DH=EH+DE=（8+y）m，AH=DM=AB+BH=5.5 m，FN=DE=y m， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 19 FE=DN=1.5 m. 在Rt△CFN中，∵∠CFN=45°， ∴CN=FN=y m，∴CD=CN+DN=（y+1.5）m. 在Rt△ACM中，tan ∠CAM=，∠CAM=37°， ∴CM=AM·tan 37°≈0.75（8+y）m， ∴CD=CM+DM≈0.75（8+y）+5.5=（11.5+0.75y）m. ∴y+1.5=11.5+0.75y，解得y=40. ∴CD=y+1.5=40+1.5=41.5（m）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 20 10.（新趋势 数学建模题）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图. 已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°，长为1.8 m的真空管AB的坡度为3∶4，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.4 m. （1）求真空管上端B到水平线AD的距离； （2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长 度.（结果精确到0.01 m. 参考数据：sin 22°≈ 0.375，cos 22°≈0.927，tan 22°≈0.404） 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 21 解：（1）如图，过点B作BF⊥AD，垂足为点F. 在Rt△ABF中，BF∶AF=3∶4，AB=1.8 m， 设BF=3x m，则AF=4x m， ∴（3x）2+（4x）2=1.82，解得x=0.36（舍去负值）， ∴BF=3×0.36=1.08（m）. ∴真空管上端B到水平线AD的距离为1.08 m. （2）由（1）可知，AF=4x=4×0.36=1.44（m）. ∵BF⊥ AD，CD⊥AD，BC⫽FD， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 22 ∴四边形BFDC是矩形，∴BF=CD，BC=FD. ∵CE=0.4 m，∴DE=CD-CE=1.08-0.4=0.68（m）. 在Rt△EAD中，tan ∠EAD=， 则AD=≈≈1.683（m）， ∴BC=DF=AD-AF≈1.683-1.44≈0.24（m）. ∴安装热水器的铁架水平衡管BC的长度约为0.24 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 23 24 $$