26.1 第2课时 正弦、余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦锐角三角函数的正弦、余弦，从定义出发，通过直角三角形边比关系衔接特殊角值计算，再到综合应用与网格问题，构建由基础到提升的递进式学习支架。
其亮点在于分层设计“练基础-练提升-练素养”，融入跨模块综合（如一次函数与三角函数结合）和过程性探究（如正弦定理推导），以数学思维（运算推理）和数学眼光（几何直观）引导学生，如网格中构造直角三角形求三角函数值，助力学生能力分层提升，为教师提供多样化教学资源。
内容正文：
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦、余弦
1
练基础
练提升
目 录
练素养
2
练基础
知识点1 正弦、余弦的定义
1.（石家庄裕华阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则sin B的值为 （ ）
A. B.
C. D.
B
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2. 如图，点A为∠α其中一边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出的sin α值，不正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
C
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3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则cos A的值是________.
【变式】 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cos A=________.
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4. （教材P108T3改编）在△ABC中，已知∠C=90°，AB=12，cos A=，则BC=________.
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，且sin B= ，试分别求出AC，AB的长.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B==.
设AC=3x，则AB=5x.
又由AB2=AC2+BC2，知（5x）2=（3x）2+62，
解得x=（负值舍去）.
∴AC=3x=，AB=5x=.
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6. 2sin 30°的值等于 （ ）
A. B. 1 C. D.
知识点2 特殊角的正弦值、余弦值
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7. 若∠α的余角是30°，则cos α的值是 （ ）
A. B. C. D.
D
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8.（唐山滦南模拟）在△ABC中，若sin A=cos B=，则下列最确切的结论是 （ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
C
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9. 计算：
（1）sin 60°+cos245°-sin 30°·tan 60°； （2）cos 60°-2sin245°+ tan230°-sin 30°.
解：（1）原式= +-×
=+-=.
（2）原式=-2×+×-
=-2×+ × -
=-1+ - =-.
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10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是 （ ）
A. sin A= B. cos A=
C. tan A= D. tan B=
A
知识点3 三角函数
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11.（教材P108T2改编）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求∠A的三角函数值.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴AC===4，
∴sin A==，cos A==，tan A==.
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练提升
12. 在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，若+=0，则∠C= （ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
D
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13.（新趋势 多模块综合）如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于A，B两点，则cos ∠BAO的值是 （ ）
A. B. C. D.
【解析】把x=0代入y=x+3，解得y=3；把y=0代入y=x+3，解得x=-4，
∴直线y=x+3与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3），
∴OA=4，OB=3. 由勾股定理，得AB=5，则cos ∠BAO==.
A
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14. （石家庄栾城期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠A. 若AC=4，cos A=，则BD的长度为 （ ）
A. B.
C. D. 4
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【解析】∵∠C=90°，AC=4，cos A==，
∴AB=5，∴BC===3.
∵∠DBC=∠A，∴cos ∠DBC=cos A=，
∴BD===.
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15.（易错题）（教材P109A组T3改编）已知等腰三角形的两条边长分别是6，8，则底角的余弦值是__________.
或
【解析】有两种情况：
①如图1，当等腰三角形的底边BC=6，
腰AB=AC=8时，过点A作AH⊥BC于点H，
则BH=BC=3，∴cos B==.
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②如图2，当等腰三角形的底边BC=8，腰AB=AC=6时，过点A作AH⊥BC于点H，则BH= BC=4，∴cos B===.
综上所述，底角的余弦值为或.
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16.（浙江嘉兴校级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ ABC=30°，D是边AC的中点，则sin ∠ DBC=________.
【解析】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴可设AC=x，则AB=2x，BC==x.
又∵D是边AC的中点，∴AD=CD=x.
在Rt△DBC中，BD2=BC2+CD2=x2，∴BD=x，∴sin ∠DBC==.
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17.（新趋势 过程性学习）如图，在锐角三角形ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，AD⊥BC于点D. 【探究】在Rt△ABD中，sin B=，则AD=c⋅sin B；在Rt△ACD中，sin C=_______，则AD=_______. 所以c·sin B=b·sin C，即=，进一步得正弦定理：==.（此定理适合任意锐角三角形）
练素养
b·sin C
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【应用】利用正弦定理解答：在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2，求AB的长.
【应用】∵在△ABC中，∠C=45°，∠B=75°，
∴∠BAC=180°-45°-75°=60°，∴△ABC是锐角三角形.
根据正弦定理，可得=，
∴=，∴AB===.
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【方法指导】求以格点为顶点的三角形中锐角的三角函数值一般有以下两种情况：
（1）当三角形的三边满足勾股定理，特别是有两边在网格线上时，该三角形为直角三角形，直接用相应三角函数的定义求解；
（2）当三角形不是直角三角形时，可通过作垂线构造所求三角函数值的角所在的直角三角形求解.
微专题5 在网格中求三角函数值
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【针对训练】
1. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin ∠ABC的值为 （ ）
A. B.
C. D.
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2. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点. 若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是 （ ）
A. B.
C. D.
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