专题5 相似三角形性质与判定的综合应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十五章　图形的相似 专题5　相似三角形性质与判定的综合应用 1 类型1　利用相似三角形求线段长 典例1 （四川攀枝花中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6， AD=4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G， 过点E作EH⫽CD，交BF于点H，则线段GH的长度是 （　　） 　A. B. 1 C. D. A 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 2 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°. ∵点E，F分别为BC，CD的中点，∴DF=CF=DC=3，CE=BE=BC=2. ∵EH⫽CD，BE=CE，∴FH=BH，∴EH=CF=. 由勾股定理，得BF=+=]5，∴BH=FH= BF=. ∵EH⫽CD，∴△EHG∽△DFG，∴=，∴=，解得GH=. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 3 1.（安徽中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于 点G. 若EF=EG，则CD的长为 （　　） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 B 变式训练 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 4 典例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD2=BD·CD，则∠BAC的度数为________. 90° 类型2　利用相似三角形求角的度数 【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠CDA=90°， ∴∠C+∠CAD=90°. ∵AD2=BD·CD，∴ = ，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD=∠C，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 5 2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB·CE. （1）求证：△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 变式训练 （1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE. ∵AB2=DB·CE，∴=. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 6 ∵AB=AC，∴=，∴△ADB∽△EAC. （2）解：∵∠BAC=40°，AB=AC，∴∠ABC= =70°， ∴∠D+∠BAD=∠ABC=70°. ∵△ADB∽△EAC，∴∠D=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠BAD+∠D+∠BAC=70°+40°=110°. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 7 典例3　如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE. 求证： （1）△ADE∽△ABC； （2）DF·BF=EF·CF. 类型3　利用相似三角形证明等积式或比例式 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 8 【规范解答】证明：（1）∵BD=2AD，CE=2AE， ∴AB=3AD，AC=3AE，∴==. 又∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC. （2）∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE⫽BC， ∴△DEF∽△CBF，∴=，∴DF·BF=EF·CF. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 9 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，已知 ∠F=∠B，DF交AC于点E. 求证：=. 变式训练 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵∠F=∠B，∴∠F=∠C. 又∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴=. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 10 4.（四川凉山州中考）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM⫽CD交AD于点M，连接CM交DB于点N. （1）求证：BD2=AD·CD； （2）若CD=6，AD=8，求MN的长. （1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB. 又∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD， ∴=，∴BD2=AD·CD. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 11 （2）解：∵BM⫽CD，∴∠MBD=∠BDC， ∴∠ADB=∠MBD，∴BM=MD. 又∠MAB+∠MDB=90°，∠MBD+∠MBA=90°， ∴∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=AD=4. 由（1）得BD2=AD·CD=8×6=48，∴BC2=BD2-CD2=12， ∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=2. ∵BM⫽CD，∴△MNB∽△CND， ∴=，即=，解得MN=. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 12 典例4 （四川巴中中考） 如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE∶AD=1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶ S△CFG =（　　） A. 2∶3 B. 3∶2 C. 9∶4 D. 4∶9 D 类型4　利用相似三角形求图形面积比 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 13 【解析】设DE=x，则AD=3x. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD⫽BC，BC=AD=3x. ∵点F是BC的中点，∴CF=x，∴==. ∵AD⫽BC，∴△DEG∽△CFG. ∴==. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 14 5. 如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的 延长线交AB于点N，求S△DMN∶S△CEM的值. 变式训练 解：如图，过点N作NF⊥DE，垂足为F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE⫽BC，DE=BC， 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 15 ∴△NDM∽△NBC. ∵M是DE的中点，∴DM=ME=BC， ∴==，∴=. ∵∠NFM=∠CGM=90°，∠NMF=∠CMG， ∴△NMF∽△CMG，∴==. ∵DM=ME，∴S△DMN∶S△CEM=NF∶CG=. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 16 典例5 如图，在直角坐标系xOy中，A（-4，0），B（0，2），连接AB并延长到点C，连接CO. 若△COB∽△CAO，则点C的坐标为 （　　） A. B. C. （，2） D. （，2） 类型5　利用相似三角形求点的坐标 B 【解析】∵A（-4，0），B（0，2），∴OA=4，OB=2. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 17 ∵△COB∽△CAO，∴====， ∴CO=2CB，AC=2CO，∴AC=4CB，∴=. 如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为点D， 则AO⫽CD，∴△AOB∽△CDB， ∴===， ∴CD=AO=，BD=OB=，∴OD=OB+BD=2+=， ∴点C的坐标为. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 18 6. 如图，在△ABO中，点O是坐标原点，A（2，2），B（4，2），点C在x轴正半轴上. 若O，B，C三点所构成的三角形与△ABO相似，则点C的坐标是____________________. （2，0）或（10，0） 变式训练 【解析】∵A（2，2），B（4，2），∴AB⫽x轴，AB=2，OB==2. 如图，当BC⫽OA时，∵∠AOB=∠CBO，∠ABO=∠BOC， 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 19 ∴△BOC∽△OBA. ∵AB⫽OC，BC⫽OA，∴四边形OABC是平行四边形， ∴OC=AB=2，∴C（2，0）. 当△BOC′∽△ABO时，=，∴=， ∴OC′=10，∴C′（10，0）. 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 20 21 $$