25.6 第2课时 相似三角形与四边形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十五章　图形的相似 25.6　相似三角形的应用 第2课时　相似三角形与四边形 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　测量河宽 1.（教材P91“做一做”改编）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B两地间的距离：先在AB外选一点C，在AC，BC上分别找点M，N，使得AM=2CM，BN=2CN，测量出MN的长为12 m，由此可知A，B两地间的距离为 （　　） A. 18 m B. 24 m C. 48 m D. 36 m D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 3 2.（邯郸永年期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上. 若测得BE=20 m，CE=10 m， CD=20 m，则河的宽度为 （　　） A. 20 m B. 30 m C. 40 m D. 60 m C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 4 3. 为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，然后在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R. 已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，则河宽PQ=________ m. 90 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 5 4.（新情境 数学文化）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的. 书中记载了这样一个问题：“今 有勾五步，股十二步，问勾中容方几何.”其大意是： 如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则 它的内接正方形CDEF的边长为 （　　） A. B. C. D. B 知识点2　三角形内接四边形中的相似问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 6 5.（新趋势 动点探究题）如图，有一块三角形余料ABC，BC=120 mm，高线AD=90 mm. 现要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM∶PQ=2∶1，则PQ的 长为 （　　） A. 36 mm B. 40 mm C. 50 mm D. 120 mm A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 7 6.（新趋势·动点探究题）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=8，BC=6. P是AB边上的一个动点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N. 设AP=x. （1）在△ABC中，AB=________； （2）当x为何值时，矩形PMCN的周长为14？ 10 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 8 ∴△AMP∽△ACB，∴==. ∵AP=x，∴PM=0.6x，AM=0.8x. ∵矩形PMCN的周长为14， ∴2（8-0.8x+0.6x）=14，解得x=5. ∴当x=5时，矩形PMCN的周长为14. 解：∵PM⊥AC，∠C=90°，∴MP⫽BC， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 9 7. 如图，小红要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC=6 m，再选一点D，连接AD，CD，作BE⫽AD，交CD于点E，测得CD=10 m，DE=5 m，则AB= （　　） A. 3 m B. 4 m C. 5 m D. 6 m D 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 10 8. 如图是一张三角形纸片ABC，边AB的长为20 cm，AB边上的高为25 cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸条. 若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是 （　　） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 11 9.（邢台信都期中）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A=90°，AB=6 cm，AC=8 cm，要把它加工成一个形 状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D， E两点分别在边AB，AC上. 若点D是边AB的 中点，则▱DEFG的面积为________cm2. 12 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 【解析】如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，交DE于点N. ∵∠A=90°，AB=6 cm，AC=8 cm，∴BC=[62+82]=10（cm）. ∵AB·AC=BC·AM，∴AM===4.8（cm）. ∵四边形DEFG是平行四边形，点D是边AB的中点， ∴DE⫽BC，DE=BC=5 cm. ∴△ADE∽△ABC，AN⊥DE，∴==， ∴AN=MN=2.4 cm，∴▱DEFG的面积为5×2.4=12（cm2）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 13 10. 如图为一块锐角三角形的余料，它的边BC=60 mm，AB=40 mm，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF的一边BG在BC上，其余两个顶点F，M分别在边AB，AC上，加工成的零件的高ED=21 mm，求△ABC的高AD的长. 解：∵四边形BGMF是菱形，∴MF⫽BC，MF=BF， ∴△AFM∽△ABC，∴=，即=， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 14 ∴MF=AF，∴BF=MF=AF，∴AF=AB. ∵ED，AD分别是菱形BGMF的高和△ABC的高， ∴AD⊥BC，ED⊥BC，∴A，D，E三点共线. 同理可证△AEF∽△ADB，∴==，∴=， ∴AD=35 mm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 15 11.（新趋势 探究性问题）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地. 如图，这两条小道m，n之间的距离为9 m，△ABC表示这块空地，BC=36 m. 现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边GH在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上. （1）如果矩形花坛的边DG∶DE=1∶2， 求出这时矩形花坛的面积； （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 16 解：（1）如图，过点A作AM⊥DE，垂足为点M，延长AM交BC于点N，则AN⊥GH. 由题意得AN=9 m，DG=MN. ∵四边形DGHE是矩形，∴DE⫽BC. ∵DG∶DE=1∶2，∴DE=2DG. ∵DE⫽BC，∴△ADE∽△ABC， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 17 ∴=，∴=，解得DG=6 m， ∴DE=2DG=12 m，12×6=72（m2）. ∴这时矩形花坛的面积为72 m2. （2）矩形花坛的面积不能占空地面积的. 理由如下： 设DG=x m，由（1）可得△ADE∽△ABC， ∴=，∴=， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 18 ∴DE=36-4DG=（36-4x）m， ∴矩形花坛的面积S=x（36-4x）=（36x-4x2）m2. 由题意得36x-4x2=××36×9，整理得2x2-18x+45=0. ∵b2-4ac=（-18）2-4×2×45=-36<0，∴此方程没有实数根， ∴矩形花坛的面积不能占空地面积的. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 19 20 $$