24.3 一元二次方程根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十四章　一元二次方程 24.3　一元二次方程根与系数的关系* 1 练素养 练基础 练提升 目 录 2 练基础 知识点1　一元二次方程根与系数的关系 1.（秦皇岛抚宁期中）若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则 （　　） A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= D. x1x2=7 A 【变式】（易错题）对于一元二次方程x2-3x+4=0，该方程根的情况为 （　　） A. 两根之积是4 B. 两根之和是3 C. 没有实数根 D. 两根之和是-3 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 3 2. （新趋势 开放性问题）已知实数a，b是一个一元二次方程的两根，且a+b=-1，ab=-2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程：______________________. x2+x-2=0（答案不唯一）　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 4 3. 已知关于x的一元二次方程x2-（4-m）x+m=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2=5，则x1x2的值是_______________. -1 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 5 4. （教材P46练习T1改编）判别下列方程根的情况. 若有两个实数根，求出两个根的和与积. （1）x2+2x-5=0； （2）3x2+5x=4x+3. 解：（1）这里a=1，b=2，c=-5，且b2-4ac=22-4×1×（-5）=24>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以x1+x2=-2，x1x2=-5. 解：（2）原方程可化为3x2+x-3=0. 这里a=3，b=1，c=-3， 且b2-4ac=12-4×3×（-3）=37>0， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以x1+x2=- ，x1x2=-1. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 6 5. 已知关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则它的另一个根是 （　　） A. 1 B. 2 C. -2 D. -3 知识点2　利用根与系数的关系求另一根或字母的值 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 7 6. 若关于x的方程x2+（k+1）x-6=0的两根之和是-3，则k的值是 （　　） A. 2 B. -4 C. 3 D. 4 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 8 7.（沧州泊头期中）若α和β是关于x的方程x2+bx-1=0的两根，且αβ-2α-2β=-11，则b的值是 （　　） A. -3 B. 3 C. -5 D. 5 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 9 8. 已知x1，x2是一元二次方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则（x1+1）（x2+1）的值为 （　　） A. 2 B. 3 C. D. - 知识点3　利用根与系数的关系求代数式的值 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 9. 若x1，x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根，则x2+x1的值为 （　　） A. 9 B. -9 C. 1 D. -1 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 10. 若a，b是方程x2+2x-2 025=0的两个实数根，则a2+3a+b= （　　） A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 11.（教材P46B组T1改编）已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，求： （1）+的值； （2）+的值. 解： ∵x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-=-=-6，x1x2===3. （1）+=（x1+x2）2-2x1x2=（-6）2-2×3=30. （2）+=+===10. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 13 12. 王刚同学在解关于x的方程x2-3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x1=1，x2=-4，则原方程的解为 （　　） A. x1=-1，x2=-4 B. x1=1，x2=4 C. x1=-1，x2=4 D. x1=2，x2=3 练提升 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 13. （新趋势 多模块综合）一元二次方程x²-2x-3=0有两个实数根a，b，那么一次函数y=（ab-1）x+a+b的图像一定不经过 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 14. 已知关于x的方程x2-3x-m2=0的两个根分别为x1，x2，则下列说法不一定正确的是 （　　） A. x1+x2>0 B. x1x2<0 C. x1≠x2 D. 方程的根有可能为0 B 【解析】已知关于x的方程x2-3x-m2=0的两个根分别为x1，x2. ∵x1+x2=3>0，故A选项不符合题意；∵x1x2=-m2≤0，∴方程的根有可能为0，故B选项符合题意，D选项不符合题意；∵b2-4ac=9+4m2>0，∴x1≠x2，故C选项不符合题意. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 15.（易错题）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2+x1x2=2，则实数m的值为________. 3 【解析】∵原方程有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-m+2）>0，∴m>2. ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0的两个实数根， ∴x1+x2=-2m，x1x2=m2-m+2. ∵x1+x2+x1x2=2， ∴-2m+m2-m+2=2，解得m1=0（舍去），m2=3，∴实数m的值为3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 16. 若实数m，n分别满足m2=3m+2，n2=3n+2，则+的值为________. -或2 【解析】∵实数m，n分别满足m2=3m+2，n2=3n+2， ∴m与n为方程x2-3x-2=0的根. 当m≠n时，m+n=3，mn=-2，则原式====- ； 当m=n时，原式=1+1=2. 综上所述，+的值为-或2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 17. 已知关于x的一元二次方程x²-2（a-1）x+a²-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）若a为正整数，求a的值； 解：∵关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，∴［-2（a-1）］2-4（a2-a-2）>0， 解得a<3. （1）∵a为正整数，∴a=1或a=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 （2）若x1，x2满足+-x1x2=16，求a的值. 解：（2）∵x1+x2=2（a-1），x1x2=a2-a-2，+-x1x2=16， ∴（x1+x2）2-3x1x2=16，∴［2（a-1）］2-3（a2-a-2）=16， 解得a1=-1，a2=6. 又∵a<3，∴a=-1. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 练素养 18. 已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根α，β，且这两个实数根分别是长方形的长与宽. 若α²+β²=7，则该长方形的周长为________，面积为________. 6 1 【解析】根据题意，得α+β=1-2m，αβ=m2. ∵α2+β 2=（α+β）2-2αβ=7，∴（1-2m）2-2m2=7， 整理，得m2-2m-3=0，解得m=3或m=-1. 又解得m≤ ，∴m=-1. ∴该长方形的周长为2（α+β）=2（1-2m）=6，面积为αβ=m2=1. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 19. （新定义 新概念问题）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1-x2|=1，则此类方程称为“差根方程”. 根据“差根方程”的定义，解决下列问题. （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2-4x-5=0； 解：（1）①∵b2-4ac=16-4×（-5）=36>0， ∴方程x2-4x-5=0有两个不相等的实数根. 设x1，x2是方程x2-4x-5=0的两个实数根，∴x1+x2=4，x1x2=-5， ∴|x1-x2|====6， ∴方程x2-4x-5=0不是“差根方程”. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 ②2x2-2x+1=0； 解：②∵b2-4ac=12-4×2×1=4>0，∴方程2x2-2x+1=0有两个不相等的实数根. 设x1，x2是方程2x2-2x+1=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=， ∴|x1-x2|=== =1， ∴方程2x2-2x+1=0是“差根方程”. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 （2）已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值. 解：（2）x2+2ax=0，即x（x+2a）=0， 解得x1=0，x2=-2a. ∵关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”， ∴2a=±1，即a=± . 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 1 9 10 11 12 13 14 8 15 16 17 18 19 25 $$