24.2 第2课时 公式法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

24.2　解一元二次方程 第2课时　公式法 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　一元二次方程根的判别式 1. 求一元二次方程x2+x=2的根的判别式时，首先确定a，b，c的值分别是（　　） A. a=1，b=1，c=2 B. a=1，b=-1，c=-2 C. a=1，b=1，c=-2 D. a=1，b=-1，c=2 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 2. 已知一元二次方程x2-4x-5=0，其根的判别式的值为（　　） A. -4 B. 21 C. 36 D. 1 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. （石家庄长安期中）关于t的一元二次方程-t2+4t=8的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【变式】（山东烟台中考）已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）   A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5     4. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2-6x+□=0. 若“□”表示一个数字，且方程x2-6x+□=0有实数根，则“□”的最大值为________，此时方程的解为________. 9 x1=x2=3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 5. （教材P41例3改编）不解方程，判别下列方程根的情况： （1）5x2+4x-1=0； （2）2x（2-x）=3. 解：这里a=5，b=4，c=-1.  ∵b2-4ac=42-4×5×（-1）=36>0，  ∴原方程有两个不相等的实数根.  解：原方程化为一般形式为2x2-4x+3=0，  这里a=2，b=-4，c=3.  ∵b2-4ac=（-4）2-4×2×3=-8<0，  ∴原方程没有实数根.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 知识点2　用公式法解一元二次方程  6. 方程x2-6x+1=0的解是（　　） A. x=−3± B. x=3± C. x=−3±2 D. x=3±2 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 7. （易错题）以x=为根的一元二次方程可能是（　　） A. x2-4x-c=0 B. x2+4x-c=0 C. x2-4x+c=0 D. x2+4x+c=0 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8. 用公式法解下列方程： （1）3x2-1=6x； （2）2x2-x+=0. 解：（1）移项，得3x2-6x-1=0.  这里a=3，b=-6，c=-1.  ∵b2-4ac=（-6）2-4×3×（-1）=48>0，  ∴x==， 即x1=，x2=. 解：这里a=2，b=−，c=.  ∵b2-4ac=（−）2-4×2×=0，  ∴x=-=，即x1=x2=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 9. （教材P42A组T2改编）已知代数式2x2-3x比x2-7x-2的值大1，求x的值. 解：根据题意，得2x2-3x-（x2-7x-2）=1，  整理，得x2+4x+1=0. 这里a=1，b=4，c=1.  ∵b2-4ac=42-4×1×1=12>0， ∴x==-2±，即x1=-2+，x2=-2-. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 练提升 10. （易错题）若关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. m< B. m>且m≠1 C. m≥且m≠1 D. m> B 【解析】这里a=m-1，b=2，c=-5.  根据题意，得b2-4ac=22-4（m-1）×（-5）>0且m-1≠0， 解得m> 且m≠1.   易因忽略一元二次方程中二次项系数不为0这个条件而出错.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 11. 小刚在解关于x的方程2ax2-bx+2=0（a≠0）时，将其抄成了2ax2+bx+2=0，得到一个解是x=-2，则原方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个根是x=-2 D. 不确定 B 【解析】把x=-2代入2ax2+bx+2=0，得8a-2b+2=0， ∴b=4a+1.  把b=4a+1代入方程2ax2-bx+2=0，得2ax2-（4a+1）x+2=0.  ∵（4a+1）2-4×2a×2=（4a-1）2≥0，  ∴方程2ax2-bx+2=0（a≠0）有两个实数根.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 12. （原创题  新考法）已知实数x满足（x2-6x+9）2+3（x2-6x+9）-4=0，那么x2-6x+9的值为________. 1 【解析】设x2-6x+9=t.  ∵（x2-6x+9）2+3（x2-6x+9）-4=0，∴t2+3t-4=0.  ∵b2-4ac=32-4×1×（-4）=25，∴t=，即t=-4或t=1.  ∵x2-6x+9=（x-3）2≥0，∴x2-6x+9=1.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 13. （新趋势  多模块综合）如图，将图1所示的正方形纸片剪成四块，恰好能拼成图2所示的矩形. 若x=1，则y=________. 【解析】依题意，得（x+y）2=x（x+y+x），  整理，得y2+x2+2xy=2x2+xy，则y2-x2+xy=0.  ∵x=1，∴y2-1+y=0.  解得y1=，y2=（舍去）.  ∴y=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 14. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则下列说法正确的是________.（填序号） ①若a-b+c=0，则方程没有实数根; ②当b=0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数; ③若ac<0，则方程必有两个不相等的实数根; ④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实数根. ②③④ 【解析】将x=-1代入原方程，得a-b+c=0，∴x=-1是原方程的根，故①错误；当b=0且方程存在实数根时， x=±，故②正确；若ac<0，则b2-4ac>0，∴方程必有两个不相等的实数根，故③正确；若b=2a+c，则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2>0，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. （新趋势  跨学科融合）竖直上抛物体的高度h（m）和时间t（s）符合关系式h=v0t-0.5gt2，其中重力加速度g以10 m/s2计算，爆竹点燃后以初速度v0=20 m/s竖直上抛，则经过多长时间爆竹离地面15 m？  解：根据题意，得15=20t-0.5×10t2，即t2-4t+3=0.   ∵b2-4ac=（-4）2-4×1×3=4， ∴t=，即t=1或t=3. 答：经过1 s或3 s爆竹离地面15 m.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. （邯郸馆陶期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长. （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：（1）△ABC是等腰三角形. 理由如下： 把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0，则a=b， 所以△ABC是等腰三角形.  （2）△ABC是直角三角形. 理由如下： 根据题意，得（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形.  （3）∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c， ∴方程可化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 练素养 17. （新定义  新概念问题）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0，那么我们称这个方程为“星辰方程”. （1）一元二次方程3x2+7x+4=0________“星辰方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知4x2-mx+n=0是关于x的“星辰方程”，若m是此“星辰方程”的一个根，求m的值. 是  解：∵4x2-mx+n=0是关于x的“星辰方程”，a=4，b=-m，c=n， ∴a-b+c=4+m+n=0，即n=-（m+4）.  ∵m是此“星辰方程”的一个根， ∴4m2-m2+n=0，即n=-3m2，  ∴-3m2=-（m+4），整理，得3m2-m-4=0，  解得m1=，m2=-1， ∴m的值为或-1.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 $$