第十一章 一元一次方程（复习课件）数学人教版五四制2024七年级上册

单元复习课件 第十一章 一元一次方程 人教版五四制2024·七年级上册 思维导图 考点回顾 学习笔记 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未 知数的次数都是____，等号两边都是______，这 样的方程叫做一元一次方程． 3. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解． 4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 一 1 整式 考点回顾 学习笔记 1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝ b±c. 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac ＝ ___；如果 a = b (c ≠ 0)，那么 ＝ ． ___ 二、等式的性质 bc c 考点回顾 学习笔记 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别 漏乘． (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数 项移到方程右边，移项时注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式． (5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m的形式. 三、一元一次方程的解法 考点回顾 学习笔记 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． 四、实际问题与一元一次方程 考点回顾 学习笔记 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． 考点回顾 学习笔记 (2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看作 1. 考点回顾 学习笔记 (3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ② 利润率 = ； ③ 商品售价 = 标价× ； ④ 商品售价 = 商品进价 + 商品利润 = 商品进价 + 商品进价×利润率 = 商品进价×(1 + 利润率). 重点题型 例1 若 (m－3) x|m|－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的值为_____． －3 注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为 0. 解：由题意得，|m|－2=0且m－3≠0， 故 m=－3. 重点题型 例2 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( ) A. 若 x = y，则 x－5 = y + 5 B. 若 a = b，则 ac = bc C. 若 ，则 2a = 3b D. 若 x = y，则 B 解：A.等式两边应该加上或减去同一个数； C.等式两边应该乘以同一个不为0的数； D.a可能为0. 靶向训练 练1 C 如果 x = 2 是方程 的解，那么 a 的值是( ) A. 0 B. 2 C. －2 D. －6 练1 下列说法正确的是 ( ) A. x + 1 = 2 + 2x 变形得到 1 = x B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 系数化为 1，得 D. 将方程 3x = 4x－4 变形得到 x = 4 D 重点题型 例1 将方程3x－2（5-3x）=6去括号，正确的是（ ）. A.3x－10－3x＝6 B.3x－10－6x＝6 C.3x－10＋6x＝6 D.3x＋5＋6x＝6 方程x+5=（x+3）的解是x= . －7 C 例2 重点题型 例3 若关于 x 的方程 3x + (2a + 1) = x－(3a + 2) 的解为 x = 0，则 a 的值等于 ( ) A. B. C. D. D 解：∵x = 0为3x + (2a + 1) = x－(3a + 2) 的解 ∴2a + 1=－(3a + 2) 解得a= 重点题型 例4 解方程：(1) 解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3). 去括号，得 2x－4 = 20－5x－15. 移项，得 2x＋5x = 20－15＋4. 合并同类项，得 7x = 9. 系数化为 1，得 重点题型 例4 （2）4x – 3(20 – x)= 3； 解： 去括号，得 4x – 60 + 3x = 3 移项，得 4x + 3x = 3 + 60 化简，得 7x = 63 方程两边都除以7，得 x = 9 靶向训练 练1 5(x + 8)– 5 = 0； 解： 移项，得 5(x + 8)= 0 + 5 化简，得 5(x + 8) = 5 方程两边都除以 5 ，得 x + 8 = 1 移项、化简，得 x = – 7 解方程：(1) 靶向训练 练1 （2）2(3 – x)= 9； 解： 去括号，得 6 – 2x = 9 移项，得 – 2x = 9 – 6 化简，得 – 2x = 3 方程两边都除以 – 2 ，得 x = 靶向训练 练1 （3） – 3(x + 3)= 24； 解： 去括号，得 -3x -9 = 24 移项，得 -3x = 24 + 9 化简，得 -3x = 33 方程两边都除以 -3 ，得 x =-11 靶向训练 练1 （4） – 2(x – 2)= 12. 解： 去括号，得 -2x + 4 = 12 移项，得 -2x = 12 – 4 化简，得 -2x = 8 方程两边都除以 -2 ，得 x = -4 靶向训练 练2 小明爸爸现在的年龄是小明年龄的3倍，8年后，小明爸爸的年龄比小明年龄的2倍还多4岁，那么小明现在的年龄是多少岁？ 解：设小明现在的年龄是x岁，则小明爸爸现在的年龄是3x岁. 根据题意，得3x+8＝2(x+8)+4 解这个方程，得x＝12 答：小明现在的年龄是12岁. 靶向训练 练3 一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将这两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数. 解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为2x 根据题意，得10×2x+x-(10x+2x)=36 解这个方程，得x＝4 答：原来的两位数为84. 靶向训练 练4 当 x 为何值时，式子 2(x2－1)－x2 的值比式子 x2＋3x－2 的值大 6. 解：依题意得 2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6， 去括号，得 2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6. 移项、合并同类项，得－3x＝6. 系数化为 1，得 x＝－2. 重点题型 例1 若关于x的一元一次方程 的解是x=-1,则k的值是( ) A. B.1 C. D.0 B 解：依题意得 k＝1. 重点题型 例2 如果规定符号“*”的运算规则为a*b= (其中a,b为有理数),那么方程3*x= 的解是x=________. 若式子 与 的值相等,则x=________. 5 解：依题意得 解得x＝5. 例3 解：依题意得 解得x＝. 重点题型 例4 解方程：（1） 解： 去分母，得 3(10x-6)+12x=4(x+10) 去括号，得 30x-18+12x=4x+40 移项、合并同类项，得 38x=58 方程两边都除以 38，得 x = 重点题型 例4 解： 去分母，得 2(7x-5)=3 去括号，得 14x-10=3 移项、合并同类项，得 14x=13 方程两边都除以 14，得 x = （2） 重点题型 例4 解： 去分母，得 4(2x-1)=3(5x+1) 去括号，得 8x-4=15x+3 移项、合并同类项，得 -7x=7 方程两边都除以 -7，得 x =-1 （3） 重点题型 例4 解： 去分母，得 3x-42=9x-2 移项、合并同类项，得 -6x=40 方程两边都除以 -6，得 x =- （4） 重点题型 例5 小川今年6岁，他的祖父72岁. 几年后小川的年龄是他祖父年龄的. 解：设x年后小川的年龄是他祖父的 （72+x）=6+x 答：16年后小川的年龄是他祖父年龄的 去分母，得 72+x=24+4x 移项、合并同类项，得 -3x=-48 方程两边都除以-3，得 x =16 靶向训练 练1 20 对于方程 ，变形第一步较好的 办法是（　　） A.移项 B．去括号 C．去分母 D．合并同类项 C 练2 练3 靶向训练 练4 解： 去分母，得 2x-5(3-2x)=10 去括号，得 2x-15+10x=10 移项、合并同类项，得 12x=25 方程两边都除以 12，得 x = 解方程：（1） 靶向训练 练4 解： 去分母，得 2(2x+1)-(5x-1)=6 去括号，得 4x+2-5x+1=6 移项、合并同类项，得 -x=3 方程两边都除以-1，得 x =-3 （2） 靶向训练 练4 解： 去分母，得 2x+14=28-14x 移项、合并同类项，得 16x=14 方程两边都除以 16，得 x = （3） 靶向训练 练5 火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度． 解：设火车的长度为x米，根据题意，列方程，得 　　解得 x =160. 答：火车的长度为160米． 重点题型 例1 某家具厂生产一种方桌，1 m3 的木材可做 50 个桌面或 300 条桌腿，现有 10 m3 的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套？共可生产多少张方桌 (1 张方桌有 1 个桌面,4 条桌腿)? 解：设用 x m3 的木材做桌面，则用 (10－x) m3 的木材 做桌腿. 根据题意，得 4×50x = 300(10－x)， 解得 x = 6. 所以 10－x = 4，50×6 = 300. 答：用 6 m3 的木材做桌面，4 m3 的木材做桌腿， 可做 300 张方桌. 重点题型 例2 一个道路工程，甲队单独施工 9 天完成，乙队单独做 24 天完成．现在甲乙两队共同施工 3 天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？ 解：设乙队还需 x 天才能完成，由题意得 解得 x = 13. 答：乙队还需 13 天才能完成. 重点题型 例3 某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同. 其中，每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价. 解：设小书包的进价为x元. 根据题意，得 30%x=20%(x+10) 解方程，得 3x=2(x+10) 3x=2x+20 x=20 x+10=30 答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元. 重点题型 例4 七年级举行篮球赛，比赛场次和各班积分情况如下表： 班次 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 七(1) 6 3 2 1 14 七(2) 6 1 4 1 12 七(3) 6 5 0 1 16 七(4) 6 5 1 0 17 (1)从___________两个班可以知道平一场比负一场多得______分.  七(3)、七(4) 1 重点题型 例4 (2)若胜一场3分，求平一场、负一场各得几分? 解方程，得 解：设负一场积x分，则平一场积 分. 检验， 符合题意，平一场积2分，负一场积1分. 班次 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 七(1) 6 3 2 1 14 七(2) 6 1 4 1 12 七(3) 6 5 0 1 16 七(4) 6 5 1 0 17 重点题型 例4 (3)某班胜场是平场的2倍，积16分，求这个班胜几场. 解方程，得 解：设某班平x场，则胜2x场. 检验， 符合题意，这个班平2场，胜4场. 班次 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 七(1) 6 3 2 1 14 七(2) 6 1 4 1 12 七(3) 6 5 0 1 16 七(4) 6 5 1 0 17 重点题型 例4 (4)某班平场是负场的2倍，积15分，可能吗? 解方程，得 解：设某班负x场，则平2x场. 检验， 不符合题意，即不可能. 班次 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 七(1) 6 3 2 1 14 七(2) 6 1 4 1 12 七(3) 6 5 0 1 16 七(4) 6 5 1 0 17 重点题型 例5 小明可以到甲或乙商店购买练习本. 已知两商店的标价都是每本 1 元，甲商店的优惠方法是：购买 10 本以上时，从第 11 本开始按标价的 70% 出售；乙商店的优惠方法是：都按标价的 80% 出售. 求： (1) 小明要买 20 本时，到哪家商店购买省钱； (2) 买多少本时，到两个商店花的钱一样多； (3) 小明现有 24 元钱，最多可买多少本练习本. 答案：(1) 小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱； (2) 买 30 本时，到两个商店花的钱一样多； (3) 小明现有 24 元钱，最多可买 30 本练习本. 靶向训练 练1 某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，则所列方程正确的是(　　) A．12x＝18(28－x) B．18x＝12(28－x) C．2×12x＝18(28－x) D．2×18x＝12(28－x) C 练2 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，4 h可把空水池灌满，单独开乙水龙头，6 h可把 满池水放完，如果要灌满水池的 ，且同时打开甲、乙两水龙头，则需要的时间是(　　) A．4 h B. h C．8 h D. h C 靶向训练 练3 一项工作，甲独做需 18 天，乙独做需 24 天，如果两人合做 8 天后，余下的工作再由甲独做 x 天完成，那么所列方程为 . 靶向训练 练4 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？ 解：设剩下的部分需要 x 小时完成，根据题意得： 解得 x = 6. 答：剩下的部分需要 6 小时完成. 靶向训练 练5 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 解：设先安排 x 人做 4 h，根据题意得等量关系： 可列方程 解方程，得 x＝2. 答：应先安排 2 人做 4 小时. 靶向训练 练6 今年双11狂欢节，小区超市的部分商品也搞了促销活动，一袋标价130元的大米，按照九折销售仍可获利13元，设这袋大米的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． A 靶向训练 练7 某电商平台将一件商品按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利78元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价为x元，那么所列方程为（     ） A． B． C． D． A 某商店老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的利润才能出售，但为了获得更多的利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，商店老板让价的最大限度为___________． 120元 练8 靶向训练 练9 两件商品都卖120元，其中一件赢利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（　　） A．盈利16元 B．亏本16元 C．赢利6元 D．亏本6元 某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（　　） A．500元 B．400元 C．300元 D．200元 D C 练10 靶向训练 练11 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44 A 练12 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月 的用水量为_______m3. 20 靶向训练 练13 某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗? 解：由 C 队的得分可知，胜场积分 + 负场积分 = 27÷9 = 3. 设胜一场积 x 分，则负一场积 (3 - x) 分. 根据 A 队得分，可列方程为 14x + 4(3 - x ) = 32， 解得 x = 2，则 3 - x = 1. 答：胜一场积 2 分，则负一场积 1 分. 将方程 两边乘6，得 . 将方程 两边乘 ， 得到 $$