专题1.3 证明（知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.3 证明 （知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：证明的定义 1 知识点梳理02：三角形的外角 1 知识点梳理03：三角形的内角和定理的推论 （重点） 2 知识点梳理04：证明几何命题的一般格式 （难点） 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：三角形内角和定理的证明 3 考点2：三角形外角的定义及性质 7 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 23 知识点梳理01：证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点梳理02：三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点梳理03：三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点梳理04：证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 考点1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【规范解答】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【规范解答】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式训练2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式训练3】（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠F=29.5°． 【思路引导】（1）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决； （2）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图1所示，在△ABC中， ∵DE∥AB， ∴∠B=∠1，∠A=∠2（内错角相等）． ∵∠1+∠BCA+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°． 即三角形的内角和为180°； （2）∵∠AGF+∠FGE=180°， 由（2）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°， ∴∠AGF=∠AEF+∠F； （3）∵AB∥CD，∠CDE=119°， ∴∠DEB=119°，∠AED=61°， ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=59.5°， ∴∠AEF=120.5°， ∵∠AGF=150°， ∵∠AGF=∠AEF+∠F， ∴∠F=150°-120.5°=29.5°． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 考点2：三角形外角的定义及性质 【典例精讲】（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）如图， 【答案】/180度 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，，由对顶角相等，得，再由三角形内角和为180度即可求解． 【规范解答】解：如图，标记点M，N 则，， ， ， 故答案为：． 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知 (1)如图①，在中，，的三等分线交于点，连接，则的度数为__________. (2)如图②，在中，的三等分线分别与的平分线交于点．若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）根据的三等分线交于点，得到由平分平分,得到平分,进而一步步得到答案. （2）由三角形外角的性质得到度数，由三等分角得到度数，由三角形内角和定理得到度数，由角平分线得到度数，最后根据三角形内角和定理得到度数. 【规范解答】（1）解：的三等分线交于点 平分，平分 平分, 故答案为： （2）是的外角， ． ， ． 由题意可知，是的三等分线， ． 是的平分线， . ． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【思路引导】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的内角和即可解答． 【规范解答】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【变式训练3】（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 【答案】 （）见解析； （），证明见解析； （） 【思路引导】（）利用平行线的性质即可得出结论； （）先判断出，进而得出，最后用三角形的内角和即可得出结论； （）先由（）知，，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可得出结论． 【规范解答】 解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （），证明如下： 由（）知，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， 即； （），证明如下： 由（）知，， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，来证明和猜想角度之间的关系．通过作辅助线和利用已知条件，逐步推导出所需的结论． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 3．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 4．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【规范解答】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 5．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形的外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 基础夯实 1．（21-22八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，是的外角的平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质的应用，能根据三角形的外角性质得出是解题的关键．由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，是的外角的平分线， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：C． 2．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 证法1：如图， ∵（三角形内角和定理）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． ∴（等式性质）． 证法2：如图， ∵，，且（量角器测量所得）， 又∵（计算所得）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论． 【规范解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； ∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确， ∴B的说法正确，符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意； 综上，B的说法正确． 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查三角形外角的性质，直接利用三角形的外角和定理可求解． 【规范解答】解：∵， ∴ 故选：B． 5．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，分别平分，，且分别与，相交于点G，H．已知，，则的大小为 ． 【答案】/45度 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和性质，三角形的外角和性质，熟练掌握三角形内角和外角的性质是解决本题的关键． 利用外角和内角的关系，用、、、表示、与，再利用等式的性质可得结论． 【规范解答】解：∵，分别平分，， ∴，， ∵，， ∴①． 同理②． ，得． ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【规范解答】解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 7．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【规范解答】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义可知，然后由求解即可． 【规范解答】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【规范解答】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 培优拔高 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【规范解答】解：∵，即， ∴， 平分，平分， ，， ， ， ，①正确； ，， ，， ， ，②正确； ， ， ，③正确； ， ，④错误； 综上，正确的结论是①②③． 故选：B． 12．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由平行得，再由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 13．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理外角和定理等知识的综合．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意，可证，可判定结论②，由此可得，再根据三角形的外角可得，可证结论①，过点O作于点G，于点H，可证，根据角平分线的性质可证结论③错误，结论④正确，由此即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形的外角性质得：， ∴，故①正确； 如图，过点作于点，于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【思路引导】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【规范解答】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质．利用三角形的外角性质，可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出，，结合角平分线的定义，可得出，，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【规范解答】是的外角， ． ∵， ，． 平分，平分， ，， ． 又是的外角， ， 即， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【规范解答】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 17．（24-25八年级上·全国·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意理清各角之间的关系是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质求解； （2），根据角平分线的定义和三角形知识可得，进而可得结论； （3）①当点在左侧时，②当点在右侧时，根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：如图，过P作，则， 又， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2： 平分， ， 平分， ，， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ． （3）解：①当点在左侧时，如图3： ， ，， 平分，平分， ，， ， 由外角的性质得，， ， ． ②当点在右侧时，如图4： ， ， 由外角的性质得， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上可知，或． 18．（24-25八年级上·全国·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在上，连接，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连接，且，设．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或，见解析 【思路引导】（1）证明，即可解答； （2）先求出，过F作，可得，，从而得到，即可解答； （3）分两种情况：当H在线段上，当H在线段的延长线上时，即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ， ∴； （2）解：∵， ， ∵与的平分线交于点F， ∴， 如图，过F作， ∵， ， ∴， ； （3）解：如图，当H在线段上， 设，则， 由（2）得：， ∵的平分线交于点Q， ∴， ∴， 整理可得：； 如图，当H在线段的延长线上时， 设，则， ∵的平分线交于点Q， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理可得：； 综上所述，或． 【考点剖析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，与点O不重合的两点A、B分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点C． (1)当点A、B分别在射线、上，且时，求的度数； (2)当点A、B分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围． 【答案】(1) (2)不变， 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地得到角的关系． （1）由题意，先求出，由角平分线的定义，求出，，由三角形外角的性质，即可求出答案； （2）由三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵，即，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． (1)【理解】（1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． (2)【应用】（3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【思路引导】（1）根据“开心三角形”的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案. （2）根据“开心三角形”的概念分两种情况求解即可. （3）分与互为“开心角”和与互为“开心角”两种情况讨论求解即可. 【规范解答】（1）解：（1）解：设最小的角为，为“开心三角形”， 故答案为： （2）当是“开心角”，则最小的角是， 当不是“开心角”，设最小的角为，， 故答案为： （2）（3）分两种情况讨论：①当与互为“开心角”时，或． 平分，平分， ． ， ，即或， 解得（第一个方程无解，即不成立）； ②当与互为“开心角”时，或， 即或， 同①可得，或， 解得或． 综上所述，的值为或或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 证明 （知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：证明的定义 1 知识点梳理02：三角形的外角 1 知识点梳理03：三角形的内角和定理的推论 （重点） 2 知识点梳理04：证明几何命题的一般格式 （难点） 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：三角形内角和定理的证明 3 考点2：三角形外角的定义及性质 4 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 12 知识点梳理01：证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点梳理02：三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点梳理03：三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点梳理04：证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 考点1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式训练2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 考点2：三角形外角的定义及性质 【典例精讲】（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）如图， 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知 (1)如图①，在中，，的三等分线交于点，连接，则的度数为__________. (2)如图②，在中，的三等分线分别与的平分线交于点．若，，求的度数． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练3】（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·山东东营·中考真题）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（        ）    A． B． C． D． 基础夯实 1．（21-22八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，是的外角的平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 证法1：如图， ∵（三角形内角和定理）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． ∴（等式性质）． 证法2：如图， ∵，，且（量角器测量所得）， 又∵（计算所得）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，分别平分，，且分别与，相交于点G，H．已知，，则的大小为 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 7．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 培优拔高 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 12．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（ ） A． B． C． D． 13．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 17．（24-25八年级上·全国·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 18．（24-25八年级上·全国·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在上，连接，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连接，且，设．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系． 19．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，与点O不重合的两点A、B分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点C． (1)当点A、B分别在射线、上，且时，求的度数； (2)当点A、B分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． (1)【理解】（1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． (2)【应用】（3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$