云南省昆明市2025-2026学年上学期高三数学开学模拟考试（一）模拟练习

云南省昆明市2025-2026学年上学期高三数学开学模拟考试（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知平面，直线，满足，，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 3.已知单位向量满足，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 4.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为(    ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是(    ) A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.电影哪吒之魔童闹海自年月日上映以来，票房和口碑一路走高，刷新多项我国和世界影史记录，截止年月底，该片已成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影某影院在放映哪吒之魔童闹海天后，统计售票情况得到下表： 售票数单位：张 天数 据表中数据，下列结论一定正确的是(    ) A. 天售票张数的中位数大于 B. 天售票张数的平均数大于 C. 从这天中随机抽取天，售票数不少于张的概率为 D. 从这天中随机抽取天，售票数都少于张的概率小于 10.多选题已知圆：及点，则下列说法正确的是  (    ) A. 圆心的坐标为 B. 点在圆外 C. 若点在圆上，则直线的斜率为 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为 11.对于函数，下列说法正确的是(    ) A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数为虚数单位为纯虚数，则实数          ． 13.设数列的前项和为，若，则___． 14.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为_________用数字作答 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角的对边分别为，已知． 求； 若，求面积． 16.本小题分 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，统计结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 合计 男生人数 女生人数 合计 若将一周参加体育锻炼的次数为次及次以上，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 若将一周参加体育锻炼的次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和 若将一周参加体育锻炼次或次的称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． 证明：平面； 当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； 当二面角的余弦值为时，求 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． 求椭圆的方程； 设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，设与的面积分别为，比较与的大小． 19.本小题分 已知函数 若函数有两个极值点，求的取值范围； 证明：当时，． 答案和解析 1.【答案】  【解答】 解：集合， 故答案选C． 2.【答案】  【解析】解：若“”则“”成立，即充分性成立， ，不一定平行， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：． 3.【答案】  【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为． 故选：． 4.【答案】  【解答】 解：，同理可得， 代入， 可得，又， ， ． 故选C． 5.【答案】  【解析】解：由，得， 所以， 又， 解得，， 所以． 故选：． 6.【答案】  【解答】 解平面平面，平面平面， ， 平面， 平面，  ，所以是边长为的等边三角形，由正弦定理得的外接圜的直径为  所以，该球的直径为，则， 因此，三棱锥 的外接球体枳为 故选C． 7.【答案】  【解答】 解：， ，  ，  ， 所以， 又因为是过右焦点的弦， 所以， 即，， 解得， 又， 所以双曲线离心率的取值范围是． 故选D． 8.【答案】  【解答】 解：由题意，因为为上的奇函数， 所以且， 令，所以， 即得， 所以， 又为偶函数， 所以， 令，所以， 所以， 由，得， 令，即得， 所以， 所以， 所以函数的周期， 又当时，， 下面对各选项进行分析： 对，由上易得 ，故A正确； 对，因为，所以为奇函数，故B正确； 对，因为，所以为偶函数，而时，， 此时在上单调递增，在上单调递减，所以C错误； 对，由上分析，可作出函数和的图像，如下图所示： 因为方程的实数解个数等价于函数和的图像交点个数， 易知方程仅有个实数解， 故D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于，这个数据的中位数是从小到大排列后的第和第个数的平均数， 由表格知，第和第个数都落在区间内，天售票张数的中位数大于或等于，故A错误 对于，以组中值代替， ，故B错误 对于，售票数不少于张的天数为，所以概率为，故C正确 对于，售票数少于张的天数为， 从这天中随机抽取天，售票数都少于张的概率为，故D正确． 故选CD． 10.【答案】  【解答】解：将化为，所以圆心的坐标为，故A正确； 因为，两点之间的距离为，所以点在圆外，故B正确； 因为点在圆上，所以，所以， 即，所以直线的斜率为，故C错误； 因为圆心，半径，，所以， 即，故D错误． 故选AB． 11.【答案】  【解答】 解：函数定义域为，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值，A正确； ，当时，，当时，， 因此只有一个零点，B错误； 显然，因此， 又， ，即，C正确； 令，则， 易知当时，，单增，时，，单减 在时取得极大值也是最大值， 在上恒成立，则，D正确． 故选：． 12.【答案】  【解答】 解：复数为纯虚数，   解得． 故答案为． 13.【答案】  【解答】 解：， 当时， 当时，， 是首项为，公比为的等比数列， 14.【答案】  【解答】 解：依题意，均为不超过的自然数， 最大数为的情况：，此时共有个有序数组， 最大数为的情况：，此时共有个有序数组， 最大数为的情况：，此时共有个有序数组， 当最大数为时，，不满足题意， 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是． 故答案为． 15.【答案】解：根据余弦定理，，所以． 方法一：根据正弦定理， ， ， ， 又，则，， ． 方法二：， ， ，即， ， ， ． 16.【答案】解：列联表 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生       女生       合计       零假设为性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关， 根据列联表的数据计算， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过； 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率， ， 故E，； 名“运动爱好者”有名男生，名女生，服从超几何分布， ，， ，， 故所求分布列为 ．  17.【答案】证明：因为，，，所以，所以， 同理，又，，平面，所以平面． 解：因为，，所以，则． 由可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，， 当点为棱的中点时，，，， 设平面的一个法向量， 则即令，解得，，故， 设直线与平面所成角为，则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 解：由可知，，设，则， 设平面的一个法向量，则即令，解得，，故， 设平面的一个法向量为，由得令，解得，，故， 所以， 即，整理，得，解得或舍去． 故．  18.【答案】解：由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆方程为； 联立，消去得，， 整理得，， 又，所以，， 故式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点． 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 19.【答案】解：的定义域为，， 若函数有两个极值点，则有两个不同零点，且在零点附近左右两侧异号， 等同于， 即水平直线与曲线有两个交点， 令，的定义域为， 则，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则为的极大值，也为最大值， 当时，， 当时，， 当时，且为正数， 则的图像如图所示， 则此时； 证明：令， 则只需证明当时恒成立即可， 则， 令， 则， 当时，，，，， 则， 则在时单调递增， 又， 时，， 则在时单调递增， 当时， 即当时，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$