2.3用公式法求解一元二次方程（第1课时 ）（导学案）数学北师大版九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程 导学案 第1课时用公式法求解一元二次方程 1．经历求根公式的推导过程； 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3．理解并会计算一元二次方程根的判别式； 4．会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 学习重点：求根公式的推导和公式法的应用． 学习难点：一元二次方程求根公式法的推导． 第一环节 自主学习 温故知新： 思考：用配方法解一元二次方程的步骤： ①化:二次项系数化为 ; ②移项:将常数项移到 ,含未知数的项移到 ; ③配方:左、右两边同时加上一次项系数一半的 使原方程变为 的形式; ④开方:若方程右边为负数,则方程没有 ,若方程右边为 ,就可以左右两边开平方得 ; ⑤求解:解两个 ,得方程的解为 新知自研：自研课本第41--43页的内容． 【学法指导】 情景引入 问题:你能用配方法解方程 吗? 【解答】 思考：有没有其他更简单的方法? 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ,得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多. 自研课本P41-42页的内容，思考： ●探究一：一元二次方程求根公式的推导 ◆1.你能用配方法解方程 吗?请试一试,并与同伴交流． 【分析】一元二次方程 ,因为二次项系数 ,所以方程两边同 ,得 ． 【解答】移项,得 配方,得 即 接下来能用直接开平方解吗? 因为 a≠0,所以 4a2＞0 当 时, 是一个 ,此时,两边开平方,得 即 ∴ ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程 ,当 ≥0时,它的根是: ，上面这个式子称为一元二次方程的 . （2）用求根公式解一元二次方程的方法称为 . （3）由上可知,一元二次方程 的根由方程的系数a, b, c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 时,将a, b, c代入式子: ,就得到方程的根. 练一练 1. 一元二次方程 的两个根是( ) A. B. C. D. ●探究二：公式法解一元二次方程- 例：解方程: (1) ; （2） . 【解答】 ◆2.知识归纳 用公式法解一元二次方程的步骤: （1）化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式 （2）定:确定a, b, c的值; （3）算:计算 的值; （4）求:若,则利用求根公式求出;若,则方程 . 练一练 2. 用公式法解一元二次方程 时,首先要确定a, b, c的值,下列叙述正确的是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , ●探究三：一元二次方程根的判别式 ◆1.议一议 （1）你能解一元二次方程吗?你是怎么想的? 【解答】 （2）对于一元二次方程 ,当 时,它的根的情况是怎样的?与同伴交流. . ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式b2﹣4ac有如下关系： 对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）, ①当b2﹣4ac＞0时，方程有两个 的实数根；x1 ， . ②当b2﹣4ac＝0时，方程有两个 的实数根；即 . ③当b2﹣4ac＜0时，方程 ． 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况可由 b2﹣4ac 来判定.我们把 b2﹣4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0） ,通常用希腊字母"Δ"来表示.即 Δ＝b2﹣4ac. （2） 方程有实数根的条件是 . 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 ：解方程: (1) ; (2) . 【分析】（1）直接利用公式法求解即可解答; （2）先把方程化为一般式，然后再利用公式法解一元二次方程的步骤解答即可. 【解答】 例2： 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 【分析】因为方程有两个不相等的实数根可得 ，又因为是一元二次方程可得 解不等式即可解答. 【解析】由题意知方程 有两个不相等的实数根, 解得： . 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用公式法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 用公式法解一元二次方程 时,化方程为一般式当中的a, b, c依次为( ) A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1 2. 关于x的一元二次方程 有两个实数根,则实数m的取值范围是( ) A. m ≥0 B. m＞0 C. m ≥0且 m≠1 D. m＞0且 m≠1 3. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是( ) 4. 下列一元二次方程中有两个不相等实数根的是( ) A. B. C. D. 5. 等腰三角形的底和腰长是方程 的两根,则它的周长是 . 6. 已知关于x的方程 的一个根是 ,此方程的另一个根 . 7. 若 ,且一元二次方程 有实数根,则k的取值范围是 . 8. 用公式法解下列方程: (1) ; (2) . 【解答】 9. 已知关于x的方程 (1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 【解答】 题型一：利用根的判定式判断根的情况 1．一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．不能判定 2．下列方程没有实数根的是（　　） A．3x2﹣1＝0 B． C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣x+2＝0 3．一元二次方程（a﹣2）x2+ax+1＝0（a≠2）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 题型二 利用根的判别式求字母的值 4．关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．﹣6或2 5．若关于x的方程x2+ax+4＝0有两个相等的实数根，则a的值可以是 （　　） A．0 B．4 C．2 D．﹣2 6．若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是 ． 题型三 利用根的判别式确定字母的取值范围 7．若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 ． 8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求一元二次方程的解． 题型四 利用根的判别式证明方程根的必然情况 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程的一个根为1，求k的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 12．已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值． 题型五 利用公式法解一元二次方程 13．用公式法解方程： （1）x2+3x﹣2＝0； （2）2x+1＝4x2． 14．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 15．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 1.一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程 ,当 ≥0时,它的根是: ，上面这个式子称为一元二次方程的 . 2.用求根公式解一元二次方程的方法称为 3.用公式法解一元二次方程的步骤: （1）化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式 （2）定:确定a, b, c的值; （3）算:计算 的值; （4）求:若,则利用求根公式求出;若,则方程 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3用公式法求解一元二次方程 导学案 第1课时用公式法求解一元二次方程 1．经历求根公式的推导过程； 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3．理解并会计算一元二次方程根的判别式； 4．会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 学习重点：求根公式的推导和公式法的应用． 学习难点：一元二次方程求根公式法的推导． 第一环节 自主学习 温故知新： 思考：用配方法解一元二次方程的步骤： ①化:二次项系数化为1; ②移项:将常数项移到右边,含未知数的项移到左边; ③配方:左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,使原方程变为 的形式; ④开方:若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得 ; ⑤求解:解两个一元一次方程,得方程的解为 新知自研：自研课本第41--43页的内容． 【学法指导】 情景引入 问题:你能用配方法解方程 吗? 【解答】解:两边同除以2,得 移项,得 配方,得 即 两边开平方,得 即 或 所以, 思考：有没有其他更简单的方法? 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ,得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多. 自研课本P41-42页的内容，思考： ●探究一：一元二次方程求根公式的推导 ◆1.你能用配方法解方程 吗?请试一试,并与同伴交流． 【分析】一元二次方程 ,因为二次项系数 ,所以方程两边同除以a,得 ． 【解答】移项,得 配方,得 即 接下来能用直接开平方解吗? 因为 a≠0,所以 4a2＞0 当 时, 是一个非负数,此时,两边开平方,得 即 ∴ ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程 ,当 ≥0时,它的根是: ，上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. （2）用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. （3）由上可知,一元二次方程 的根由方程的系数a, b, c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 时,将a, b, c代入式子: ,就得到方程的根. 练一练 1. 一元二次方程 的两个根是( A ) A. B. C. D. ●探究二：公式法解一元二次方程- 例：解方程: (1) ; （2） . 【解答】解:(1)这里, , 即, (2)将原方程化为一般形式,得 这里 , , 即 ◆2.知识归纳 用公式法解一元二次方程的步骤: （1）化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式; （2）定:确定a, b, c的值; （3）算:计算 的值; （4）求:若,则利用求根公式求出;若,则方程没有实数根. 练一练 2. 用公式法解一元二次方程 时,首先要确定a, b, c的值,下列叙述正确的是( D ) A. , , B. , , C. , , D. , , ●探究三：一元二次方程根的判别式 ◆1.议一议 （1）你能解一元二次方程吗?你是怎么想的? 【解答】对于方程,其中, , b 2−4ac=(−2)2−4×1×3=4−12=−8<0， 所以该方程没有实数根. （2）对于一元二次方程 ,当 时,它的根的情况是怎样的?与同伴交流. 当 时,方程没有实数根. ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式b2﹣4ac有如下关系： 对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）, ①当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；x1 ，x2. ②当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1x2. ③当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根． 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况可由 b2﹣4ac 来判定.我们把 b2﹣4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式,通常用希腊字母"Δ"来表示.即 Δ＝b2﹣4ac. （2） 方程有实数根的条件是 b2﹣4ac≥0 . 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 ：解方程: (1) ; (2) . 【分析】（1）直接利用公式法求解即可解答; （2）先把方程化为一般式，然后再利用公式法解一元二次方程的步骤解答即可. 【解答】解:(1)这里, , , ∴ 即, (2)将原方程化为一般式,得3x2﹣7x+8=0 , ∵, , ∴原方程没有实数根. 例2： 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( B ) A. B. 且 C. 且 D. 【分析】因为方程有两个不相等的实数根可得b2﹣4ac＞0，又因为是一元二次方程可得k﹣1≠0，解不等式即可解答. 【解析】由题意知方程 有两个不相等的实数根, 解得： 且 . 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用公式法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 用公式法解一元二次方程 时,化方程为一般式当中的a, b, c依次为( B ) A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1 2. 关于x的一元二次方程 有两个实数根,则实数m的取值范围是( C ) A. m ≥0 B. m＞0 C. m ≥0且 m≠1 D. m＞0且 m≠1 3. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是( B ) 4. 下列一元二次方程中有两个不相等实数根的是( D ) A. B. C. D. 5. 等腰三角形的底和腰长是方程 的两根,则它的周长是 . 6. 已知关于x的方程 的一个根是 ,此方程的另一个根 . 7. 若 ,且一元二次方程 有实数根,则k的取值范围是k≤4且k≠0. 8. 用公式法解下列方程: (1) ; (2) . 【解答】解:(1)移项,得 , , , (2)原方程可化为 , , , 9. 已知关于x的方程 (1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 【解答】解：(1)∵1为原方程的一个根, ∴1+a+a﹣2=0 ∴ 将 代入方程,得 解得, ∴a的值为 ,方程的另一个根为 (2)证明:∵在 中, Δ＝a2 －4a＋8＝(a－2)2 ＋4>0 ∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 题型一：利用根的判定式判断根的情况 1．一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．不能判定 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 2．下列方程没有实数根的是（　　） A．3x2﹣1＝0 B． C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣x+2＝0 【分析】分别计算4个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【解答】解：A．Δ＝02﹣4×3×（﹣1）＝12＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项不符合题意； C．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．一元二次方程（a﹣2）x2+ax+1＝0（a≠2）的实数根的情况是（　　） A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】先计算出Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4，判断出Δ的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4≥4， ∴方程有两个不同实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，正确记忆当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键． 题型二 利用根的判别式求字母的值 4．关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．﹣6或2 【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即Δ＝（﹣k）2﹣4（k+3）＝0， 解得k＝6或﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键． 5．若关于x的方程x2+ax+4＝0有两个相等的实数根，则a的值可以是 （　　） A．0 B．4 C．2 D．﹣2 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝a2﹣4×4＝0，然后解a的一元二次方程，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得Δ＝a2﹣4×4＝0， 解得a1＝4，a2＝﹣4， 即a的值为4或﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是 ． 【分析】先根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4×16＝0，然后解关于b的方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4×16＝0， 解得b1＝8，b2＝﹣8， 所以正数b的值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 题型三 利用根的判别式确定字母的取值范围 7．若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 ． 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0， 解得k． 故答案为：k． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0， 解得m≥0且m≠1， 即m的取值范围为m≥0且m≠1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为正整数，求一元二次方程的解． 【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围； （2）由（1）可求得a的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a﹣1）＞0， 解得a， ∴a的取值范围为a； （2）∵a，且a为正整数， ∴a＝1． 此时，方程为x2﹣3x+1＝0， 解得：x1，x2， ∴方程的根为x1，x2． 【点评】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次的解法—公式法． 题型四 利用根的判别式证明方程根的必然情况 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程的一个根为1，求k的值． 【分析】（1）通过计算根的判别式进行推理证明； （2）将x＝1代入该方程，通过求解关于k的一元二次方程进行求解． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1） ＝4k2﹣4k2+4 ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0， 整理，得k2﹣2k＝0， 解得k1＝0，k2＝2， ∴k的值为0或2． 【点评】此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2， ∴22﹣4m+2m﹣1＝0， ∴； （2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 12．已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值． 【分析】（1）证明Δ≥0即可； （2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4） ＝b2﹣8b+16 ＝（b﹣4）2． ∵（b﹣4）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0， 可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0， 解得x1＝2，x2＝b﹣2， 若方程有一个根为负数，则b﹣2＜0， 故b＜2， ∵b为正整数， ∴b＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 题型五 利用公式法解一元二次方程 13．用公式法解方程： （1）x2+3x﹣2＝0； （2）2x+1＝4x2． 【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可． 【解答】解：（1）x2+3x﹣2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0， ∴x， 解得：x1，x2； （2）2x+1＝4x2， 整理得：4x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0， ∴x， 解得：x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确运用公式解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 14．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2， ∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2． （2）∵x2﹣2x+3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0， ∴x， ∴x1＝x2． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤，属于中考常考题型． 15．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 【分析】首先确定a，b，c的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△≥0，即可代入公式计算即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴x2±， ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）∵a，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（﹣2）＝25＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2； （3）原方程整理成一般式可得：2x2+8x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝8，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72， ∴x； （4）原方程整理成一般式得：3x2﹣11x+9＝0， ∵a＝3，b＝﹣11，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 1.一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程 ,当 ≥0时,它的根是: ，上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 3.用公式法解一元二次方程的步骤: （1）化:若方程不是一般形式,先把一元二次方程化为一般形式; （2）定:确定a, b, c的值; （3）算:计算 的值; （4）求:若,则利用求根公式求出;若,则方程没有实数根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$