2.6应用一元二次方程第1课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级上册“应用一元二次方程”第1课时，核心内容为用一元二次方程解决几何（行程）问题。课堂从“梯子下滑”情境导入，结合勾股定理引导学生找等量关系，知识回顾环节复习方程形式、解法及韦达定理，为新知探究搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境驱动与问题链设计落实核心素养，通过梯子滑动、《九章算术》古算题等情境，引导学生用数学眼光观察几何关系，借助“审设列解验答”步骤和几何图形分析，培养推理意识与模型意识。例题涵盖面积、动点问题，小结梳理应用类型，助力学生构建知识体系，教师可直接用于高效备课，学生通过分层练习提升建模能力。

北师大版·九年级上册 2.6 应用一元二次方程 第1课时 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1.掌握建立数学模型解决几何（行程）问题;(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点） 知识回顾 2.一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、 、 . 公式法 1.一元二次方程的一般形式为 (a,b,c为常数, a≠0). ax2 + bx + c = 0 3.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，那么 ， .(又叫韦达定理) 满足上述关系的前提条件是 . b2-4ac≥0 因式分解法 问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 在这个问题中(如图)，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 情境引入 ① 梯子底端滑动的距离 = 梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能找到哪些等量关系？ 你能列方程解决上面的问题吗？ 新知探究 探究：应用一元二次方程解决几何问题 解：设梯子顶端下滑 x m时，梯子底端滑动的 距离和它相等， 根据题意，得 ( 8 – x )2 + ( 6 + x )2 = 102， 整理，得 2x2-4x=0 解得 x1 = 0(不合题意，舍去)，x2 = 2. ∴梯子顶端下滑 2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等. x m x m 因式分解法解方程. 新知探究 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等， 根据题意，得 ( 12 – x )2 + ( 5 + x )2 = 132， 整理，得 2x2-14x=0 解得 x1 = 0(不合题意，舍去)，x2 = 7. ∴梯子顶端下滑 7 m时，梯子底端滑动的距离和它相等. 12m 13m 探究：如果梯子的长度是 13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ x m x m 新知探究 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 知识归纳 (1)“审”，审清题意，找出等量关系； (2)“设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)“列”，列一元二次方程； (4)“解”，解一元二次方程； (5)“验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)“答”，作答. 例:如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile 处有一目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1n mile)？ 东 北 A B C D F E 新知探究 解：连结DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF=AB. ∵AB⊥BC, AB = BC =200 n mile, ∴DF⊥BC, DF =100 n mile，BF=100 n mile. 新知探究 东 北 A B C D F E 设相遇时补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AB+ BE = 2x n mile, EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理，得 3x2 - 1200x + 100 000 = 0 , 解得(不合题意，舍去) ∴相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 新知探究 应用一元二次方程解决几何图形问题的方法： 知识归纳 有关平面几何图形问题，常常由图形面积、线段的长度、勾股定理等列一元二次方程求解. 新知探究 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（　A　）小时，甲、乙两人相距6千米. A. B. C. 1.5 D. A 典例分析 《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何?” 大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远? 例1 解:设甲、乙相遇时所用时间为x. 根据题意,得 (7x - 10)2 = (3x) 2 +10 2. 整理,得 2x2 - 7x = 0. 解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去). ∴3x=3×3.5 =10.5 , 7x = 7×3.5 = 24.5. 答:甲走了24.5步,乙走了10.5步. 甲: 10 A B C 7x-10 乙:3x 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半? 例2 A B C P Q 8m 6m 典例分析 解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半. 根据题意，得 . 整理，得 x2-14x+24=0. 解这个方程，得 x1=2,x2=12(不合题意，舍去) 答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半. 巩固练习 基础巩固题 1.如图,小区物业规划在一个长60m,宽22m的矩形场地ABCD上,修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽xm的道路,中间是宽2xm的道路.如果阴影部分的总面积是600m²,那么x满足的方程是( ) A. x²﹣41x+180=0 B. x²﹣41x+225=0 C. x²﹣41x+30=0 D. x²﹣41x﹣270=0 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8 m，AD＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动.请问当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了（　B　）秒. 巩固练习 基础巩固题 B A. 4 B. 或4 C. 或8 D. 3.如图，，，，一只蝉从点沿的方向以 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由点沿方向以 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行后，它们分别到达，的位置，此时 的面积恰好为 ，由题意可列方程( ) A.2x·x=24 B.(10−2x)(8−x)=24 C.(10−x)(8−2x)=24 D.(10−2x)(8−x)=48 巩固练习 基础巩固题 D 5.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少十二步）.问阔及长各几步？若设阔（宽）为步，则 . 4. 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程是 ⁠. 巩固练习 基础巩固题 （30－2x）（40－2x）＝600 24 6.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm. (1)AB= m(用含x的代数式表示); A B C D 1m 1m 巩固练习 基础巩固题 51﹣3x (2)若矩形围栏ABCD面积为210m²，求栅栏BC的长； (2)依题意，得：(51﹣3x)x=210， 整理，得：x²﹣17x+70=0， 解得：x1=7，x₂=10. 当x=7时，AB=51﹣3x=30>25，不合题意，舍去； 当x=10时，AB=51﹣3x=21，符合题意， 答：栅栏BC的长为10m. 巩固练习 基础巩固题 (3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240m²?若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由. (3)不可能，理由如下： 依题意，得：(51﹣3x)x=240， 整理得：x²﹣17x+80=0. ∵b2-4ac=(﹣17)2﹣4×1×80=﹣31<0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240m². A B C D 1m 1m 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝16 cm，点Q从点B出发以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动，点P从点A出发以3 cm/s的速度沿AB边向点B移动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动. （1）如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动几秒时，△PBQ的面积等于9 cm2？ 巩固练习 基础巩固题 解：由题意得AP＝3t cm，BQ＝2t cm，PB＝（12－3t）cm， ∴S△PBQ＝ BP·BQ＝ （12－3t）·2t＝12t－3t2. ∵△PBQ的面积为9 cm2，则12t－3t2＝9， 整理，得－3t2＋12t－9＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动1秒或3秒时，△PBQ的面积等于9 cm2. 巩固练习 基础巩固题 （2）如果P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于14 cm2？说明理由. 解：如果P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2，理由： 若△PBQ的面积为14 cm2，则12t－3t2＝14， 整理，得－3t2＋12t－14＝0， 由b2－4ac＝122－4×（－3）×（－14）＝－24＜0，可知这个方程无解. 答：P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2. 课堂小结 应用一元二次方程1 列一元二次方程解应用题的步骤 审→设→列→解→验→答 几何问题 行程问题 应用类型 面积问题 动点问题 作业布置 1.必做题：习题2.9第1-3题。 2.探究性作业：习题2.9第4题。 感谢聆听! $$