5.5 用二次函数解决问题（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 5.5 用二次函数 解决问题 第五章 二次函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 会用二次函数解决最值问题，如几何面积问题、利润问题等 会用二次函数解决抛物线形问题，如涵洞、拱桥问题，隧道问题，抛球问题等 新知探究 思 考 如图，小明想用长16米的栅栏 ( 虚线部分 )，借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是__________平方米。 解：设AB = x米，矩形的面积为S平方米， 则BC = ( 16 - 2x )米； 一、审题 二、设自变量、因变量 矩形ABCD的面积：S = x( 16 - 2x ) = -2x2 + 16x = -2 ( x - 4 )2 + 32， ∵x > 0且16 - 2x > 0，∴0 < x < 8； 三、列式 B C D A 新知探究 思 考 如图，小明想用长16米的栅栏 ( 虚线部分 )，借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是__________平方米。 四、解决问题 B C D A ∵-2 < 0， ∴当x = 4时，S取最大值32； 五、检验 答：矩形ABCD的最大面积是32平方米。 六、答 32 新知探究 知识要点 用二次函数解决问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确变量常量，找出等量关系 与图形有关问题要结合图形具体分析 （二）设 设自变量、因变量 （三）列 用二次函数表示出变量与常量之间的等量关系 标记自变量的取值范围 （四）解 借助二次函数的表达式、图像与性质等解决实际问题 （五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义， 要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 典例分析 典例1 老李计划用24米长的栅栏围成一个如图所示的矩形花园ABCD， 设AB的长为x米，求矩形花园ABCD的面积的最大值。 解：设矩形花园ABCD的面积为S平方米， ∵AB = x 米，∴BC = ( )米， 由题意可得：S = x· = -2x2 + 12x = -2 ( x - 3 )2 + 18， ∵x > 0且24 - 4x > 0，∴0 < x < 6， ∵-2 < 0， ∴当x = 3时，S取最大值18， 答：矩形花园ABCD的面积的最大值是18平方米。 B C D A 题型探究 【例1】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 ( 两边足够长 )，用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD ( 篱笆只围AB、BC两边 )，设AB = x米。 ( 1 ) 求花园的面积S与x的函数关系式； 最值问题——几何面积问题 题型一 D A B C 解：( 1 ) ∵AB = x m， ∴BC = ( 30 - x )m， 由题意可得：S = x( 30 - x ) = - x2 + 30x ( 0 < x < 30 )； 题型探究 【例1】( 2 ) 在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内：( 含边界，不考虑树的粗细 ) ① 若花园的面积为216m2，求x的值； 最值问题——几何面积问题 题型一 D A P B C ( 2 ) ① 当S = 216m2时，- x2 + 30x = 216， 解得：x1 = 12，x2 = 18， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m， ∴x ≥ 6且30 - x ≥ 16，∴6 ≤ x ≤ 14， ∴x = 12， 答：若花园的面积为216m2，x的值为12m； 题型探究 【例1】( 2 ) 在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内：( 含边界，不考虑树的粗细 ) ② 求花园面积S的最大值。 最值问题——几何面积问题 题型一 D A P B C ② S = - x2 + 30x = - ( x - 15 )2 + 225 ( 6 ≤ x ≤ 14 )， ∴当x=14时，S取最大值：- ( 14 - 15 )2 + 225 = 224， 答：花园面积S的最大值为224平方米。 题型探究 【例2】某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时， 每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。那么该文具定价为__________元时每天的最大销售利润最大。 最值问题——利润问题 题型二 解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元， 由题意可得：y = ( x - 20 )[ 250 - 10 ( x - 25 )] = -10x2 + 700x - 10000 = -10 ( x - 35 )2 + 2250， ∵-10 < 0， ∴当x = 35时，y取最大值2250， 答：文具定价为2250元时每天的最大销售利润最大。 2250 题型探究 【例3】某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%。在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y ( 件 )与销售单价x ( 元 )满足函数关系y = -10x + 700。 ( 1 ) 求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w ( 元 )与x ( 元 )之间的函数关系式； 最值问题——利润问题 题型二 解：( 1 ) ∵x ≤ 30 × ( 1 + 60% ) = 48， ∴x ≤ 48， 由题意可得：w = ( -10x + 700 )( x - 30 ) = -10x2 + 1000x - 21000 ( x ≤ 48 )； 题型探究 【例3】( 2 ) 当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 最值问题——利润问题 题型二 ( 2 ) w = -10x2 + 1000x - 21000 = -10 ( x - 50 )2 + 4000， ∵a = -10 < 0，对称轴x = 50， ∴当x = 48时，w取最大值：-10 × ( 48 - 50 )2 + 4000 = 3960， 答：当销售单价为48元时，最大利润是3960元。 新知探究 思 考 一座拱桥的轮廓是抛物线形 ( 如图所示 )，桥高为8米，拱高6米，跨度20米。相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__________米。 解：以O为原点，AB所在直线为横轴x，OC所在直线为纵轴y， 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题目条件可得：A ( -10，0 )、B ( 10，0 )、C ( 0，6 )； 一、审题 二、建系 分析：拱桥的轮廓是抛物线形， 要求抛物线形的表达式，需自行建立直角坐标系。 M N 8m 20m 6m A B C O x y 新知探究 思 考 一座拱桥的轮廓是抛物线形 ( 如图所示 )，桥高为8米，拱高6米，跨度20米。相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__________米。 设拱桥所在抛物线的表达式为y = ax2 + c ( a ≠ 0 )， 将B ( 10，0 )、C ( 0，6 )代入y = ax2 + c， 得：，解得：a = -，c = 6， ∴抛物线的表达式为y = -x2 + 6 ( -10 ≤ x ≤ 10 )； 三、求表达式 M N 8m 20m 6m A B C O x y 新知探究 思 考 一座拱桥的轮廓是抛物线形 ( 如图所示 )，桥高为8米，拱高6米，跨度20米。相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__________米。 令x = 5，得y = - × 52 + 6 = 4.5， ∴N的坐标是( 5，4.5 )， ∴支柱MN的高度为8 - 4.5 = 3.5 ( 米 )。 M N 8m 20m 6m A B C O x y 3.5 新知探究 知识要点 处理抛物线形问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确抛物线形上的关键点 （二）建 建立合适的直角坐标系， 写出关键点的坐标 （三）求 根据关键点的坐标求出二次函数的表达式 标记自变量的取值范围 （四）解 借助二次函数的表达式、图像与性质等解决实际问题 （五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义， 要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 典例分析 典例2 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m。 ( 1 ) 求抛物线的关系式； 解：由题意可得：A ( -4，2 )，D ( 4，2 )，E ( 0，6 )， 设拱桥所在抛物线的表达式为y = ax2 + 6 ( a ≠ 0 )， 将A ( -4，2 )代入得：16a + 6 = 2，解得：a = -， ∴抛物线的表达式为y = -x2 + 6 ( -4 ≤ x ≤ 4 )； B C D A O x y E 典例分析 典例2 ( 2 ) 现有一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？ 解：由题意可得： 将x = ±1.2代入y = -x2 + 6，得：y = 5.64， ∵5.64 > 4.5， ∴这辆货运卡车能通过该隧道。 B C D A O x y E 题型探究 【例4】某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB = 1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是________________。 抛物线形问题——涵洞、拱桥问题 题型三 解：设涵洞所在抛物线的表达式是y = ax2 ( a ≠ 0 )， 由题意可得：A ( -0.8，-2.4 )， ∴-2.4 = a × 0.82，即a = -， ∴y = -x2。 y = -x2 A y O x B …………… ……………… 题型探究 【例5】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加____________m。 抛物线形问题——涵洞、拱桥问题 题型三 解：以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题目条件可得：A ( -2，0 )、B ( 2，0 )、C( 0，2 )， 设拱桥所在抛物线的表达式为y = ax2 + c ( a ≠ 0 )， 将B ( 2，0 )、C ( 0，2 )的坐标代入y = ax2 + c， 得：，解得：， 4m 2m ………… C A B ……………… …………… …………… x y O 题型探究 【例5】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加____________m。 抛物线形问题——涵洞、拱桥问题 题型三 ∴抛物线的表达式为y = -x2 + 2， 令y = -，得- = -x + 2，解得：x = ±， ∴水面下降0.5m时，水面宽度为m， ∴水面宽度增加( - 4 )m。 4m 2m ………… C A B ……………… …………… …………… x y O ( - 4 ) 题型探究 【例6】某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。 ( 1 ) 以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； 抛物线形问题——隧道问题 题型四 解：( 1 ) 如图，设抛物线对应的函数关系式为 y = ax2 ( a ≠ 0 )， 由题目条件可得：A ( -3，-3 )，B ( 3，-3 )， 将A ( -3，-3 )代入得：-3 = 9a，解得：a = -， ∴抛物线对应的函数关系式为y = -x2 ( -3 ≤ x ≤ 3 )； 6m 5m 3m 2m A B x O y 题型探究 【例6】( 2 ) 某集装箱箱宽3m，车与箱的高一共是4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。 抛物线形问题——隧道问题 题型四 ( 2 ) 不能，理由如下： 如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置， 令x = 1.5，得y = -0.75， ∴集装箱的顶离隧道的底为5 - 0.75 = 4.25 ( 米 )， ∵车与箱总高4.5米，4.25 < 4.5， ∴此车不能通过此隧道。 6m 5m 3m 2m A B x O y 题型探究 【例7】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y ( m )与水平距离x ( m )之间的关系是y = -x2 + 8x + 20，则他将铅球推出的距离是__________m。 抛物线形问题——抛球问题 题型五 解：当y = 0时，-x2 + 8x + 20 = 0， 解得：x1 = -2 ( 舍 )，x2 = 10， 答：他将铅球推出的距离是10m。 10 题型探究 【例8】一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB 4m ( DE与AB的水平距离 ) 处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y = -0.2x2 + 3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为________m。 抛物线形问题——抛球问题 题型五 解：当yA =3.05时，3.05 = -0.2x2 +3.5， 解得：x1 = -1.5 ( 舍 )，x2 = 1.5， ∴xA =1.5，∴xC = 1.5 - 4 = -2.5， 当xC = -2.5时，yC = -0.2 × ( -2.5 )2 + 3.5 = 2.25， ∴yE = 2.25 - 0.25 - 1.8 = 0.2， 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m。 0.2 课堂小结 用二次函数解决问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确变量常量，找出等量关系 与图形有关问题要结合图形具体分析 （二）设 设自变量、因变量 （三）列 用二次函数表示出变量与常量之间的等量关系 标记自变量的取值范围 （四）解 借助二次函数的表达式、图像与性质等解决实际问题 （五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义， 要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 课堂小结 处理抛物线形问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确抛物线形上的关键点 （二）建 建立合适的直角坐标系， 写出关键点的坐标 （三）求 根据关键点的坐标求出二次函数的表达式 标记自变量的取值范围 （四）解 借助二次函数的表达式、图像与性质等解决实际问题 （五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义， 要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 感谢聆听! $$