学易金卷：九年级数学上学期第一次月考02（北师大版，第一章特殊平行四边形～第二章一元二次方程）

第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 三、解答题（本题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（10 分） 17．（9 分） 18．（9 分） 19．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20（9 分） 21．（9 分 ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22（10 分 ) 23.（10 分 ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（    ） A．， B．， C． D． 4．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 5．下列方程无实数根的是（    ） A． B．2 C． D． 6．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（    ） A．2 B．3 C．2 D．4 10．如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 第二部分（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 12．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 14．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ．    15．如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 17．（9分）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 18．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 19．（9分）如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 20．（9分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件． (1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客？ (2)店主想要使该商品每天的利润为800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由 21．（9分）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 22．（10分）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 23．（10分）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（    ） A．， B．， C． D． 4．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 5．下列方程无实数根的是（    ） A． B．2 C． D． 6．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（    ） A．2 B．3 C．2 D．4 10．如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 第二部分（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 12．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 14．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ．    15．如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 17．（9分）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 18．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 19．（9分）如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 20．（9分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件． (1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客？ (2)店主想要使该商品每天的利润为800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由 21．（9分）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 22．（10分）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 23．（10分）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，故本选项正确； B、平行四边形中，，可证明平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，本来就有，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误． 故选：A． 2．用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的方法步骤，是解题的关键． 通过配方法将二次方程左边转化为平方形式，对比选项得出正确结果． 【详解】解：原方程为． 将常数项移到右边，得． 取一次项系数的一半，平方得． 在方程两边同时加上，． 化简，得． 故选：A． 3．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定方法，由矩形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； B.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； C.无法判定四边形为矩形，故不符合题意； D.能够判定四边形为矩形，故符合题意； 故选：D． 4．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 5．下列方程无实数根的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分别求出各选项对应的一元二次方程判别式，根据结果判断即可．解题的关键是掌握一元二次方程有实数根需满足． 【详解】解：A．∵， ∴，，， ∵， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； B．∵ ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； D．∵， 整理得：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，重点考查理解题意的能力，分别求出二，三月份的，以总和为等量关系列出方程．如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，二月、三月的营业额共400万元，可列方程． 【详解】解：设平均每月增长率为， ． 故选：C． 7．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，得出，，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，．证明四边形是矩形，得出，，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q， 则， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝9cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（    ） A．2 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由折叠可知，BP=BP'，QP=QP'，则只要当BP=QP时，即可得四边形QPBP′为菱形．作PD⊥BC于点D，由三线合一的性质及等腰三角形性质可得△PDQ为等腰直角三角形，用t分别表示出DQ和PQ，由BP=QP即可建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可知，BP=BP'，QP=QP'， ∴只要当BP=QP时，即可得四边形QPBP′为菱形． 作PD⊥BC于点D，如图所示． 由∠C=90°，AC=BC=9cm可得，∠ABC=∠BAC=45°， 当BP=QP时，∠ABC=∠PBQ=∠PQB=45°． ∴由三线合一的性质可得DQ=BQ=（BC-CQ）=（9-t）， ∴PQ=DQ=（9-t）， ∵BP=t， 即t=（9-t），解得t=3． 故选：B． 【点睛】本题以动点问题为背景考查了菱形的判定与性质、等腰直角三角形性质、轴对称的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 10．如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，对称的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识；连接，作点E关于直线的对称点H，连接；由矩形的性质及，得四边形是矩形，则；由对称的性质得，则，当点G在线段上时，取得最小值，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，作点E关于直线的对称点H，连接； ∵四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴； ∴四边形是矩形， ∴； 由对称的性质得，， ∴点H在的延长线上； ∵点E为的中点，， ∴， ∴； ∵， ∴当点G在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得； 即的最小值为15． 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 12．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12， ，，，， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ∴， 故答案为：． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 14．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ． 【答案】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 15．如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判与性质通过分析图形中的各个四边形和三角形，判断各结论的正确性即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， 同理四边形是菱形， ∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确； ∴，，又， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形和菱形等高， ∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍， 则需要，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长四边形的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）按要求解下列方程 (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方程解法的步骤是解题的关键． （1）首先移项化简，再在等式的两边加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案； （2）找出方程的二次项系数一次项系数及常数项，计算出根的判别式的值大于0，将的值代入求根公式，即可求出方程的解； （3）首先去括号和移项，再进行分解因式，即可得出答案； （4）运用直接开平方法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， ， ， ， 即或， ∴． （2）解：方程化为， ， ， 即， ∴． （3）解：， ， ， 即或， ∴． （4）解：， 整理得， 即， ∴． 17．（9分）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 18．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 19．（9分）如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键． （1）由题意可得，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论． （2）过点作于点，根据题意可得，，则，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点是的中点， 即垂直平分， ， 平行四边形是菱形． （2）如图，过点作于点， 由（1）知四边形是菱形，又，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 20．（9分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件． (1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客？ (2)店主想要使该商品每天的利润为800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由 【答案】(1)该店主将每件售价定为12元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客 (2)同意小红同学的说法，理由见解析 【分析】（1）由利润=每件利润销售数量建立方程求出其解即可； （2）由利润=每件利润销售数量建立方程，根据判别式判定即可． 本题考查了一元二次方程的应用，掌握销售问题的数量关系利润=每件利润销售数量是解决问题的关键 【详解】（1）设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 解得，， 要让利于顾客， ， 答：该店主将每件售价定为12元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客； （2）同意小红同学的说法，理由如下： 设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 整理得， ∵ 方程无实数根， 店主不能使该商品每天的利润为800元， 故同意小红同学的说法． 21．（9分）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 22．（10分）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 【答案】(1)； (2)公顷 (3)万元 【分析】（）根据成正比例的定义列出函数式即可； （）根据题意列出方程求出的值，进而结合资金不超过万元解答即可求解； （）根据（）的结果列出算式计算即可求解； 本题考查了列函数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜， ∴， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； ∴， 答：应该修建公顷的大棚； （3）解：万元， 答：他三年的纯收益共有万元． 23．（10分）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． （1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解； （2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②； （2）解：． 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴， （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D A A C A D B D 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．1 12． 13．19 14． 15．①②④ 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）【解析】 （1）解：， 整理得， ， ， ， 即或， ∴．(2分) （2）解：方程化为， ， ， 即， ∴．（4分） （3）解：， ， ， 即或， ∴．（7分） （4）解：， 整理得， 即， ∴．（10分） 17．（9分）【解析】 （1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形；（3分） （2）解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是．（9分） 18．（9分）【解析】 （1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根；（3分） （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为．（9分） 19．（9分）【解析】 （1）证明：在中，点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点是的中点， 即垂直平分， ， 平行四边形是菱形．（3分） （2）如图，过点作于点， 由（1）知四边形是菱形，又，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ．（9分） 20．（9分）【解析】 （（1）设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 解得，， 要让利于顾客， ， 答：该店主将每件售价定为12元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客；（3分） （2）同意小红同学的说法，理由如下： 设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 整理得， ∵ 方程无实数根， 店主不能使该商品每天的利润为800元， 故同意小红同学的说法．（9分） 21．（9分）【解析】 （1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形．（3分） （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，．（9分） 22.（10分）【解析】 （1）解：由题意得，，， 故答案为：；；（2分） （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜， ∴， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； ∴， 答：应该修建公顷的大棚；（6分） （3）解：万元， 答：他三年的纯收益共有万元．（10分） 23．（10分）【解析】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②；（2分） （2）解：．（3分） 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴，（5分） （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ．（10分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 1． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16 ．（10分） ) ( 17．（9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（9分） （9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20（9分） 21．（9分 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22（10分 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 23.（10分 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$