学易金卷：八年级数学上学期第一次月考02（北师大版2024，第一章勾股定理～第二章实数）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 2．下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 6．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 8．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 9．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 13．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 14．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 15．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）计算： (1)； (2) ． 17．（8分）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 18．（7分）如图，在中，于点．求以为边的正方形的面积． 19．（8分）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 20．（8分）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 21．（8分）已知，求 的值． 22．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 23．（8分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 24．（12分）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 4 S 6 > 8 9 10 B C C C C B 第二部分（非选择题共90分) 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.x2-2 12.9 13.914.1-2√2 15.3w2 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分)【解析】 =5+2-3-1 纷 (2)解：-5+(-2)2+-27-V-22-1 =5+4-3-2-1 =3;(8分) 17.(8分)【解析】 (1)解：5x2-49=x2 5x2-x2=49 4x2=49 x2=49 Γ4 比=±。(4分) (2)解：++9=0 1/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 +=-9 (x+3)3=-27 x+3=-3 x=-6.(8分) 18.(7分)【解析】 解：，AC=10,CD=2, .∴.AD=AC-CD=10-2=8. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=102-82=36, ∴.BD=6.(3分) 在RtABDC中，由勾股定理，得BC2=BD2+CD2=6+22=40, ∴.以BC为边的正方形的面积是40.(7分) 19.(8分)【解析】 解：3m-2的平方根是±2， .3m-2=4, 解得：m=2,(2分) :m+2n+4的立方根是2， .m+2n+4=8 解得：n=1;(4分) (2)解：把m=2、n=1代入2mn+5中得：2×2×1+5=9， 2mn+5的算术平方根为3.(8分) 20.(8分)【解析】 (1)解：，∠B=90°，AB=20m,BC=15m, ∴.AC=√AB2+BC2=V202+152=25(m 故AC的长为25m;(2分) (2)解：，AC2=625,CD2=49,AD2=576, ..AC2=CD2+AD2 .△ACD是直角三角形，∠D=90°. 该空地的面积为Sm+5m4B8C+4D-CD=方×20x15+分×24x7=234m）, 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 234×2000=468000(元)· 故将这块地打造成公园需要468000元.(8分) 21.(8分)【解析】 1 解：.a= V3-2’ 1 √3+2 .a= 5-2（3-25+2 =-5-2,1=5-2,(2分) ∴原式=a+3(a-3)Va-2 a-3 a(a-2) =(a+3)-a-2 aa-2) =a+3+1(5分) =-√5-2+3+V5-2 =-1.(8分) 22.(8分)【解析】 解：在Rt△BC0中，0C=0.7米，BC=2.4米， ∴.B0=V0C2+BC2=V0.72+2.42=2.5米， 由题意得B0=E0, .E0=2.5米，（2分) 在Rt△E0F中，E0=2.5米，OF=1.5米， ∴.EF=VE02-0F2=V2.52-1.52=2米，(4分) 又DE=1米， .DF=DE+EF=3米， 墙的高度为3米.(8分) 23.(8分)【解析】 (1)解：2-5 1 2+5 (2+V3)2-5) 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =2+3;(2分) 1 1 1 (2)解：2++5+V5+4+5+…+2024+V202 -2-1+5-√2+√4-3+…+V2024-V2023 =√2024-1 =2506-1;(4分) 1一=5+2， (3)解：：a=5-2 :a-2=5, .a2-4a+4 =(a-2 =(5 =5.(8分) 24.(12分)【解析】 (1)解：，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC, ·BD=CD=7BC=3,LADB=90°， ∴.AD=VAB2-BD2=V52-32=4; :M8-号8c, BMBc=3:(2分> 故答案为：3. (2)解：，动点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度从点M沿射线MC运动，运动的时间为t秒 (t>0), ∴.当0<t≤6时，PD=6-t； 当t>6时，PD=t-6;(4分) (3)解：AQ=1, .DQ=AD-AQ=4-1=3, BD=3, ..BD =DO, 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当点P在点D左侧时，△PDQ≌△ADB时，PD=AD=4, .6-t=4, 解得：t=2; 当点P在点D右侧时，△PDQ≌△ADB时，PD=AD=4, .1-6=4, 解得：t=10;(7分) 综上分析可知：t=2或t=10时，△PDQ与△ABD全等； (4)解：当AC=AP时，点P与点B重合， 1=BM=3 1 当CA=CP=5时， ①当P在C点的左侧时，MP=MC-CA=MB+BC）-CA=(3+6)-5=4 1=MP-4-4 11 ②当P在C点的右侧时，MP=MC+CA=(MB+BC)-CA=(3+6)+5=14 f=MP=14=14 11 综上所述，当△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t=3或4或14.(12分) 5/5 ( ) ( ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 1． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16 ．（6分） ) ( 17．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（7分） 19．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20（8分） 21．（8分 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22.(8分) 23．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 24．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 2．下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数的定义进行判断． 【详解】解：-8：整数，属于有理数． （即）：可化为分数，属于有理数． 中π是无限不循环小数，除以2后仍为无限不循环小数，属于无理数． 0.66666…：无限循环小数（对应分数），属于有理数． 0：整数，属于有理数． 9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1）：小数部分有规律但不循环，属于无限不循环小数，是无理数． 0.112134：有限小数，属于有理数． 综上，无理数有和，共2个． 故选：C． 3．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 4．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 5．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 6．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 8．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 9．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 13．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出a的值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为：9． 14．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 15．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理． 根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵， ∴最短距离为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）计算 (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 17．（8分）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根是解题的关键． （）根据平方根定义解方程即可； （）根据立方根定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（7分）如图，在中，于点．求以为边的正方形的面积． 【答案】以为边的正方形的面积是40 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识，首先利用勾股定理求出的长，再次利用勾股定理可得的长，再利用正方形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴以为边的正方形的面积是40． 19．（8分）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 20．（8分）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴. 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 21．（8分）已知，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 22．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 23．（8分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． 24．（12分）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)或2 (4)或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 2．下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 6．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 8．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 9．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 13．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 14．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 15．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）计算： (1)； (2) ． 17．（8分）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 18．（7分）如图，在中，于点．求以为边的正方形的面积． 19．（8分）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 20．（8分）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 21．（8分）已知，求 的值． 22．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 23．（8分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 24．（12分）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【√1[/] 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1 [A][B][c][D] 5[A][BI[C][D] 9[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。） 11. 12 14. 5 三、解答题（本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第1页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) D 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20(8分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) D B E 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第5页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) M PB D C M B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第6页