九下 3.7 切线长定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

*7 切线长定理 课时导入 知识讲解 随堂小测 小结 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点） 2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点） 课时导入 过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看. O P 2 条 议一议 知识讲解 O P 如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ A B 是轴对称图形，对称轴是直线 OP . 如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. （2）在这个图中 你能找到相等的线段吗？说说你的理由. O P A B PA = PB 知识点1 切线长定义 O P 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. PA、PB就是点P到⊙O的切线长. A B O P A B 切线与切线长的区别与联系： 切线是一条与圆相切的直线. 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长. 知识点2 切线长定理 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. O P A B 符号语言表达 ∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB . 证明？ 已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. 求证：PA=PB. 证明：连接 OA，OB. ∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线， ∴ ∠PAO = ∠PBO = 90°. 在 Rt△POA 和 Rt△POB中， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB. ∴ PA = PB. O P A B 拓展结论 PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △APB △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ★切线长问题辅助线添加方法 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； B P O A C E D 想一想 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ A B O C D E F G H 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即 AD＋BC=AB＋CD. 例 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径. B D A F C E O 解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r. 在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24， 26 r ∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF. B D A F C E O 26 r 又∵ ∠C = 90°， ∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26， ∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4， 即 ⊙O 的半径为 4. 随 堂 小 测 B P O A 1. 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是（　　）. A. ∠APO =∠BPO B. PA = PB C. AB ⊥OP D. PA = P0 D B P O A 2. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如AP=4，∠APB = 40 ° ，则∠APO = ， PB = . 20 ° 4 3. 如图，已知VP，VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm. 若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm. 3 3. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. 解：由切线长定理可知PA ＝ PB. ∵ PA是⊙O的切线. ∴ ∠OAP ＝ 90°. ∵ ∠BAC=25°，∴ ∠BAP=65°. 又∵ PA＝PB，∴ ∠ABP＝∠BAP ＝ 65°. ∴ ∠P ＝ 180°-∠BAP-∠ABP ＝ 50°. 小结 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO. 符号语言表达 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$