九下 3.7 切线长定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

7 切线长定理 课题 切线长定理 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P94-96 教学目标 1. 探索并证明切线长定理，发展推理能力。 教学重难点 重点：理解切线长定理；能运用切线长定理解决问题。 难点：理解切线长定理；能运用切线长定理解决问题。 教学准备 多媒体课件，圆规，直尺，三角尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 同学们玩过用筷子夹球的游戏吗，球用筷子容易夹起来吗？为什么？（多媒体呈现） 师生活动：教师播放相关游戏视频，以及用筷子夹球的图片，提出问题。 教师：对于用筷子夹球，我们从侧面看时，如果将筷子看做直线，球看做圆，那么我们可以抽象出怎样的几何图形？ 学生活动：思考并回答问题。 教师活动：同学们，观察这个图形，它与我们之前所学的圆的切线有什么关系？ 学生活动：它有两条切线并且交于一点。 教师活动：是的，那它具备什么特殊的性质呢？今天这节课我们将对其展开探究学习。（板书课题：切线长定理） 以用筷子夹球的小游戏创设情境，渗透数学与生活息息相关的思想，调动学生学习的积极性，引导学生用数学的眼光观察世界，最后在学生观察思考后，引出本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究】切线长定理 （1）如果点P是圆外一点，你可以过点P作该圆的切线吗？可以作出几条？（多媒体呈现） 教师活动： 给出问题，适当引导，学生作图交流并回答。 学生活动：作图并交流展示（板演）。只能作出两条切线，如图所示。 教师活动：请同学们继续思考，这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？为什么？ 学生活动：学生思考交流回答。是轴对称图形，对称轴是直线PA，因为过直线OP折叠，图形的两部分可以重合。 教师追问：那同学们，在这个图中，你能找到相等的线段吗？说说你的理由。 学生：设切点分别是A，B，因为是轴对称图形，直线OP是对称轴，所以线段PA=PB。 教师活动：教师提出问题，该证明是本节课的重难点，注意适当引导。同学们可以通过证明来进行验证吗？ 学生活动：思考交流讨论并回答（板演）。 连接OA，OB。 ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°。 在Rt△POA和Rt△POB中， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌Rt△POB。 ∴PA=PB。 师生活动：教师给出切线长的概念，引导学生总结切线长定理，学生思考交流回答。 教师：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。（教师板书或多媒体呈现） 教师：同学们观察概念中的线段有何特点？ 学生：①线段在切线上；②线段的两个端点，一个是切点，一个是圆外已知点；③过圆外一点，能得到两条这样的线段，它们的长度相等。 教师：刚才有同学提到了两条线段长度相等，那同学们可以借助切线长的概念，总结下这条性质吗？ 学生：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等。（教师板书或多媒体呈现） 师生活动：提出问题，引导学生作答，给出规范步骤。 教师：我们上节课学习了三角形的内切圆，课后作业中也有要求同学们分别画出直角、锐角、钝角三角形的内切圆，那同学们观察下面三种三角形的内切圆，利用切线长定理，我们可以得到哪些线段相等？ 学生：分别连接圆心和三边上的切点，如图所示。 则三个三角形中都存在OD=OE=OF，AD=AE，BD=BF，CF=CE。 教师活动：给出例题，在学生板演后规范解题步骤。 例 如图所示,在Rt△ABC中,C=90°,AC=10,BC=24,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D，E，F，请利用切线长定理，求⊙O的半径。 学生活动：思考交流并回答（板演）。连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF，设OD=r。 在Rt△ABC中，AC=10，BC=24， ∴AB==26。 ∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF。 又∵∠C=90°， ∴四边形OECF为正方形。 ∴CE=CF=r。 ∴BE=24－r，AF=10－r。 ∴AB=BD+AD=BE+AF=24－r+10－r=34－2r。 而AB=26， ∴34－2r=26。 ∴r=4， 即⊙O的半径为4。 【拓展提升】圆的外切四边形的性质 教师活动：我们探究了三角形内切圆与切线长的关系，那么，在一个圆的外切四边形（各边都与圆相切）中，又存在哪些等量关系呢？请同学们参照下图给出结论，并说明理由。（多媒体呈现） 学生活动：思考交流回答（板演）。 AB+CD=BC+DA。学生在三角形内切圆与切线长的图形基础上，进一步探究圆外切四边形中切线长定理的应用。 理由：设切点分别是E，F，G，H。连接OE，OF，OG，OH。 ∴AE=AF,BE=BH,CH=CG,DG=DF,AE=AF。 ∴AE+BE+CG+DG=AF+BH+CH+DF， 即AB+CD=BC+DA。 教师活动：引导学生用文字说明该结论。 学生活动：思考交流回答。圆外接四边形的对边之和相等。 在教师的引导下探究如何过圆外一点画圆的切线，在此过程中学生会发现过圆外一点可以画两条圆的切线。 先通过对称得出两线短相等， 再通过证明验证结论。 给出切线长的概念，引导学生在此基础上，结合先前证明得出的结论总结切线长定理。 新知旧知结合，提升学生对切线长的理解与运用能力。 巩固学生所学，提高学生解决问题的能力，规范答题。 3.学以致用，应用新知 考点 切线长定理 随堂练习 变式训练 如图，PC，PB分别切⊙O于点C，B．若AB是⊙O的直径，∠P＝70°，则∠A的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．80° 答案：A 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 2.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 3. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．30﹣4π B．30﹣4π C．60﹣16π D．30﹣16π 答案：A 5. 如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1 cm。如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为　　 。 答案：300 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 经历探索切线长定理的过程，理解切线长概念与切线长定理； 2. 能运用切线长定理解决问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：习题3.9。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 切线长定理 1、 切线长定理 2、 圆的外切四边形的性质 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课根据用筷子夹球的小游戏创设情景，引发学生学习的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形，对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。同时因为本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，所以同时培养了学生类比的思维方法以及数形结合的思想。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$