九下 3.6.2 直线和圆位置关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该初中数学教案聚焦“直线和圆的位置关系（第2课时）”，核心知识点含切线判定定理、过圆上点作切线、三角形内切圆与内心概念。课堂以中国基建压路机情境导入，抽象圆与直线相切，回顾旧知（交点、距离判定），引出新课。 教案亮点突出，播放中国基建视频渗透数学与生活联系（数学眼光），用几何画板动态演示切线判定条件（数学思维），类比外接圆学习内切圆（数学思维），例题设计结合实际问题（数学语言）。情境教学与探究式方法提升学生抽象能力、推理意识，助力教师高效教学。

6 直线和圆的位置关系 （第2课时） 课题 直线和圆的位置关系 （第2课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P92-93 教学目标 1. 理解切线的判定方法，并能运用其进行推理。 2. 能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质解决有关问题。 3. 会过圆上一点画圆的切线。 4. 了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 5. 探索三角形内切圆的画法，能用尺规作图作出三角形的内切圆。 教学重难点 重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理，探索三角形内切圆的画法，能用尺规作图作出三角形的内切圆。 难点：探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理。 教学准备 多媒体课件，圆规，直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 中国基建，标定中国速度，在基建过程中，会用到这样一种重型设备——压路机，其广泛用于大型工程项目的填方压实作业。如图，当压路机前端工作的钢轮与地面接触时，从侧面看，钢轮和地面可以抽象出什么几何图形？它们之间存在怎样的位置关系？为什么？（多媒体呈现） 师生活动：教师播放中国基建施工相关视频，以及压路机图片，提出问题。 教师：对于钢轮和地面，我们从侧面看时，如果将地面看做线，钢轮看做圆，那么它们之间的位置关系就可以看做是直线和圆相切，同学们还记得判定直线和圆相切的方法有哪些吗？ 学生活动：思考并回答问题。直线和圆只有一个交点，圆心到直线的距离等于半径。 教师活动：是的，今天这节课我们将对圆的切线的判定进行展开学习。（板书课题：直线和圆的位置关系 第2课时） 以中国基建为背景，见证中国速度，使学生产生民族自豪感，同时渗透数学与生活息息相关的思想，调动学生学习的积极性，引导学生用数学的眼光观察世界，最后在学生观察思考后，引出本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】圆的切线的判定 如图1，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠，⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。当直线l绕点A旋转时，大家注意观察∠与d的变化情况，以及直线与圆的位置关系，回答下面两个问题： （1）随着∠的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化? （2）当∠等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ （3）由此你能得出什么结论？（多媒体呈现） ( d A O r B l 图1 ) ( l A O B d r 图2 )图3 O A l B 师生活动：教师利用几何画板演示旋转实验，探索圆的切线与过切点的半径之间的关系，让学生通过观察，猜想当直线l与半径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线，然后进一步加以验证，得出切线的判定定理。 学生活动：思考交流回答。①观察图1和图2的∠为锐角时，根据直线l到圆心的距离d小于圆的半径r，判断出直线l与圆相交； ②观察图3的∠为直角时，根据直线l到圆心的距离d等于圆的半径r，判断直线l与圆相切。 教师活动：引导学生讨论得出切线的判定所需的条件：一是直线过半径的外端；二是垂直于这条直径。进而总结出切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（多媒体呈现或板书） 【探究2】作圆的切线 已知⊙O上有一点A，过点A画⊙O的切线。（多媒体呈现） 教师活动：引导学生分析，通过圆的判定定理可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么只需要连接OA，再过点A作出OA的垂线即可。 学生活动：思考交流作图展示： 画法：（1）作⊙O，在⊙O上任取一点A； （2）连接OA； （3）过点A作OA的垂线l。 结论：直线l即为所求作的切线。 教师活动：引导学生反思得出：过圆上一点作圆的切线，方法是“连半径，作垂直”。而要证明过圆上一点的直线是垂线，则是“连半径，证垂直”。 【探究3】认识三角形的内切圆 已知：△ABC，如图所示。 求证：⊙I，使它与△ABC的三边都相切。（多媒体呈现） 教师活动：学生作图后，投影展示规范作图及步骤。 学生活动：学生独立思考作图并交流。 作法：（1）分别作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I； （2）过I作BC的垂线，垂足为D；（3）以I为圆心，以ID的长为半径作⊙I。学生由了做外接圆的经验，因此本次作图让学生自主类比作外接圆的过程进行分析并作图。并在此基础上类比外接圆和外心的概念，猜想内切圆和内心的名称，提高学生课堂参与度以及体会类比思想。 结论：⊙I就是所求的圆。 教师活动：同学们能说说这样作图的道理吗？ 学生活动：因为点I是三角形角平分线的交点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点I到三边的距离相等，所以以点I为圆心，该距离为半径所作的圆，与三角形的三边相切。 教师活动：还有其他与三角形三边相切的圆吗？说明理由。 学生活动：没有了，因为三角形角平分线的交点只有一个，所以和三角形三边都相切的圆也只有一个。 教师活动：类比前面我们学习过的外接圆，同学们能给这个圆和这个圆心起一个名字吗？它们和外接圆以及外心有什么不同？ 学生活动：思考交流讨论回答。内切圆和内心。外接圆是过三角形的三个顶点，内切圆是与三角形的三边相切；外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；内心是三角形三条角平分的交点，到三边的距离相等。 教师活动：给出概念并总结。和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 学生通过观察动画，形象直观地探究直线成为切线的条件，归纳判定切线所需要的条件，进而总结出圆的切线的判定定理。 3.学以致用，应用新知 考点1 直线与圆的位置关系 随堂练习 1 变式训练 如图，在直线l上有相距7 cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1 cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2 cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切。 A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5 答案：C 考点2 圆的切线的性质 随堂练习 1 变式训练 如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 答案：B 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列直线中，一定是圆的切线的是（　　） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 答案：B 2. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（　　） A．若DE＝DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB＝AC，则DE是⊙O的切线 C．若CD＝DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB＝AC 答案：A 3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝　 　 答案：130° 4. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，I是△BCD的内心，点O与点I关于直线BD对称，则∠A的度数是 。 答案：72° 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 　 　。 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE， ∵∠BAP+∠DCE＝90°， ∴∠BAP+∠BAD＝90°， ∴∠OAP＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴PA是圆O的切线。 （2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠BCF＝90°， ∵∠BAC＝∠F， ∴sin∠BAC＝sinF＝， 在Rt△BCF中，BC＝2， ∴BF＝＝＝6， ∴AD＝BF＝6。故答案为：6。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 理解切线的判定方法，并能运用其进行推理。 2. 能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质解决有关问题。 3. 会过圆上一点画圆的切线。 4. 了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 5. 能用尺规作图作出三角形的内切圆。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：习题3.8。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 直线和圆的位置关系 （第2课时） 1、 圆的切线判定定理 2、 过圆上一点作圆的切线 3、 三角形的内切圆和内心 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课通过情境导入使学生初步感知圆的切线，感受数学来源于生活的事实。同时本节课采用多媒体进行教学，发挥其直观、形象等效果，力求使教学内容情境化、生活化、问题化，力争深入浅出，提高教学效率。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，同时培养学生类比的思维方法以及数形结合的思想。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$