九下 2.4 第1课时 图形面积最大及抛物线型问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

4 二次函数的应用 第1课时 图形面积最大及抛物线型问题 课时导入 知识讲解 随堂小测 小结 学习目标 1.经历计算最大面积问题的探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值. 2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.（重点） 课时导入 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m，那么AD边的长度如何表示? 解：（1）设AD=h，由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? （2）由题意可得 ∴当x=20时， y有最大值300. 知识讲解 议一议 在前面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ N M 解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA. ∵DA//EF， 知识点1 图形面积最大问题 在Rt△EGF中， 由 得GM=24（m）. ∴当x=12时， y有最大值300. N M 例1 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多? (结果精确到0.01 m)此时，窗户的面积是多少? (结果精确到0.01 m2) 解：∵7x+4y+πx=15， ∴ ∵0<x<15，且0< <15， ∴0<x<1.48. 设窗户的面积是S m2，则 ∴当x= ≈1.07时，S最大= ≈4.02. 因此，当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02 m2. 图形面积最大问题解决的基本思路： 1. 阅读题目，理解问题. 2. 分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. 3. 用数量的关系式表示出它们之间的关系. 4. 根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5. 检验结果的合理性. 归纳总结 例2 如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离均为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距A点10 m处的立柱FE的高度为3.6 m. 知识点2 抛物线型问题 (1)求正中间的立柱OC的高度． (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由． 解：(1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图， 以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0)． ∵OF＝OA-FA＝40 m，∴E点的坐标为(-40，3.6)． 由题意可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c， ∴y＝- x2＋10. 当x＝0时，y＝10， 即正中间的立柱OC的高度是10 m. 抛物线型问题解决的基本思路： 1. 建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标； 2. 根据图象设抛物线对应的函数表达式； 3. 根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用． 归纳总结 随 堂 小 测 1. 用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框，则窗框的透光面积最大为(　　). A. m2 B. m2 C. m2 D. 4 m2 D 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝-x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　). A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m A 解：∵∠C=90°， AC=8， BC=6， ∴AB=10. ∵四边形CDEF是矩形, ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， 3. 一块三角形废料如图所示，∠C=90°，AC=8，BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在AC，AB，BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大？最大面积是多少？ 同理可得DE= x. 矩形CDEF的面积 S=DE·EF= (0<x<10)， ∴当x=5时, S有最大值，为12. 即当AE为5时，所剪出的矩形CDEF面积最大，最大面积为12. 设AE=x，则BE=10-x， 小结 1. 利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题． 2. 抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式解决问题． 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$