九下 2.3 确定二次函数的表达式-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

3 确定二次函数的表达式 课时导入 知识讲解 随堂小测 小结 回顾旧知 我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数 （k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 如果确定二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 2 1 课时导入 一名学生推铅球时， 铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？ 解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4,3），因此设它的关系式为y=a(x－4)2＋3 又∵图象过点（10,0） ∴a(10－4)2＋3=0 解得： 图象的表达式为 想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流. 例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2,3）和（-1,-3）,求这个二次函数的表达式. 解:将点（2,3）和（-1,-3）的坐标分别带入表达式y=ax2+c，得 3=4a+c， -3=a+c. 解这个方程组，得 a=2， c=-5. 所以，所求二次函数表达式为y=2x2－5. 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2,5）和（-2,13），求这个二次函数的表达式. 做一做 解法一 5=4a+2b+1, 13=4a-2b+1. 解得 a=2, b=-2. ∴二次函数表达式为y=2x2－2x+1. 解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得： 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2,5）和（-2,13），求这个二次函数的表达式. 做一做 解法二 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得 1=c, 5=4a+2b+c, 13=4a-2b+c. 解这个方程组，得 a=2, c=1. b=-2, ∴二次函数表达式为y=2x2－2x+1. 想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？ 知识讲解 二次函数 y＝ax2+bx+c可化成：y＝（x-h）2+k ，顶点是（h, k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数的y＝ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 随堂小测 1. 已知二次函数的顶点坐标是（-1,1），且经过点（1,-3），求这个二次函数的表达式. 解：根据题意，设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k ∵顶点坐标为（-1,1），∴h=-1, k=1. 把点（1,-3）代入y=a（x+1）2+1得, a（1+1）2+1=-3，∴a=-1. ∴ 二次函数表达式为y= -（x+1）2+1. 2. （1）已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过（1，1）与（2，3）两点，求这个二次函数的表达式； 解：由题意把（1，1）与（2，3）y=x2＋bx+c得, 1=1+b+c， 3=4+2b+c. 解得 b=-1， c=1. ∴二次函数表达式为y=x2-x+1. 2. （2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同. 此题答案不唯一.例如：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过（0, 1）和 （3, 7）两点，求这个二次函数的表达式.再如：已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点坐标为 ，且图象经过点（2, 3），求这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y＝ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗 思考 例2 已知二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点（-1,10）,（1,4）,（2,7）的坐标分别代入表达式，得 10=a－b+c， 4=a+b+c， 7=4a+2b+c. 解这个方程组，得 a=2， c=5. b=-3， ∴二次函数表达式为y=2x2-3x+5. 待定系数法 ∵y=2x2-3x+5=2(x－ )2+ ， ∴二次函数图象的对称轴为直线x= ， 顶点坐标为( , ). 例2 已知二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 议一议 一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 方法一：一般式 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将(0,1)，(1,2)，(2,1)的坐标分别代入表达式，得 1=c， 2=a+b+c， 1=4a+2b+c. 解这个方程组，得 a=-1， c=1. b=2， ∴二次函数表达式为y=-x2＋2x+1. 议一议 一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 2=a+b+1， 1=4a+2b+1. 解得 a=-1， b=2. ∴二次函数表达式为y=-x2＋2x+1. 解：因为二次函数的抛物线经过A（0，1），所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得 方法二：交点式 议一议 一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 解：A（0，1）与C（2，1）的纵坐标相同， ∴ A， C两点关于二次函数的对称轴对称. ∴根据对称轴性质可得对称轴的横坐标 . ∴所以B（1，2）为二次函数的顶点. 则可设y=a（x-1）2+2， 将A（0，1）代入y=a（x-1）2+2，解得a=-1. ∴二次函数表达式为y=-(x-1)2+2 =-x2+2x+1. 方法三：顶点式 随堂小测 已知二次函数经过点（0，2），（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将（0,2），（1,0），（-2,3）的坐标分别代入表达式，得 2=c， 0=a+b+c， 3=4a-2b+c. 解这个方程组，得 c=2. a= ， b= ， ∴二次函数表达式为y= . 小结 待定系数法求二次函数表达式 设 列 解 答 一般式 顶点式 交点式 类型 步骤 课后作业 完成习题2.6 1、2 习题2.7 绿卡图书—走向成功的通行证 $$