九下 3.4.2 圆周角和圆心角的关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该教案聚焦圆周角定理推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形性质，通过复习旧知求∠BAC度数导入，搭建新旧知识支架，衔接自然。 以学生自主探究为特色，如动手画图测量发现直径对直角，再推理证明，培养几何直观与推理意识，变式训练（如求MN最大值）提升应用能力，助力学生发展探究精神，为教师提供清晰教学流程。

4.2 圆周角和圆心角的关系 （第2课时） 课题 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P80-84 教学目标 1. 掌握圆周角定理的3个推论； 2. 会运用圆周角定理及其推论进行有关的证明和运算。 教学重难点 重点：圆周角定理的几个推论的应用。 难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 上节课我们学习了圆周角定理及其1个推论，请直接求出下图中∠BAC的度数。 师生活动：教师提出问题，学生思考回答。 学生活动：40°，45°，30°。 教师活动：那么圆周角还有哪些性质呢？我们今天这节课继续探究圆周角的相关性质。（板书课题：圆周角和圆心角的关系 第2课时） 通过习题复习圆周角和圆心角的关系，为新课的学习做好铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】圆周角定理的推论 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：同学们，自己在纸上任意画一个圆，然后画出该圆的任意一条直径，并作出直径所对的任意一个圆周角，如图，量一量这个圆周角有什么特点？你能得出什么结论？ 学生活动：思考交流回答。通过测量发现∠BAC=90°，直径所对的圆周角是直角。 教师活动：你能证明这个结论吗？ 学生活动：∵BC为直径，∠BOC=180°，直径BC所对的弧为半圆BC，∠BAC是半圆BC所对的圆周角， ∴=90°。（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） 教师活动：引出推论：直径所对的圆周角是直角。可借助几何画板演示。 教师活动：反过来讲，如果已知圆周角是90°，那么它所对的弦会是直径吗？为什么？请同学们自己作图并说明理由。 学生活动：作图然后思考交流展示。90°的圆周角所对的弦是直径。 如图所示，作圆周角∠BAC，连接OC，OB。 ∵∠BAC=90°，∴∠BOC=2∠BAC=180°。（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B，O，C三点在同一直线上，∴BC是⊙O的一条直径。 教师活动：给出推论：90°的圆周角所对的弦是直径。 几何表达为： 直径所对的圆周角是直角： ∵BC为直径 ，∴∠BAC=90°。 90°的圆周角所对的弦是直径： ∵∠BAC=90° ，∴BC为直径。（多媒体呈现）通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论。 【探究2】圆内接四边形的性质 （一）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？（多媒体呈现） 教师活动：引导学生进行猜想，再让学生进行证明。 学生活动：先猜想然后通过讨论得出证明方法并展示。 猜想：∠BAD与∠BCD互补。 ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°,∠ADC=90°。 ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD与∠BCD互补。 （二）如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ 教师活动：首先让学生猜想结论，然后让学生拿出量角器进行度量，最后通过严密证明验证猜想结果。 学生活动：先猜想，然后交流讨论证明方法，最后展示。 学生：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立。 如图，连接OB，OD， ∵,，（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD与∠BCD互补。 教师活动：提出问题，给出定义与推论。 教师：我们刚才所讨论的这两个四边形有什么共同的特点？ 学生活动：对角互补，四个顶点都在圆上。 教师：像四边形ABCD这样的，四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 所以，我们就得到了圆周角的最后一个推论：圆内接四边形的对角互补。 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°。（圆内接四边形的对角互补） 【拓展提升】 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？（多媒体呈现） 教师活动：首先让学生猜想结论，然后通过严密证明验证猜想结果。一方面，让学生通过一个练习自主经历解决问题的过程，得出结论，另一方面也让学生巩固本节课学习方法的应用。 学生活动：先猜想，然后交流讨论证明方法，最后展示并用语言描述。 学生：∠A=∠DCE。 ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°。（圆内角四边形的对角互补） ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠A=∠DCE。 即圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 【归纳总结】 1. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 2. 圆内接四边形的对角互补。 3. 圆内接四边的一个外角等于它的内对角。 学生先通过作图测量得出结论，再通过证明验证，根据圆周角定理得出推论。 3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角定理的推论 随堂练习 1，2 【变式训练】 如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M，N分别是AC，BC 的中点，则MN的最大值是 。 答案： 考点2 圆内接四边形的性质 随堂练习 3 【变式训练】 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 。 答案：40° 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC长等于（ ） A.4 B.5 C. D. 答案：D 2. 如图，AB是⊙O的直径，AB=13，AC=5，则tan∠ADC= 。 答案： 3. 如图，点A，B，C，D，E都是圆O上的点，=，∠B=116°，则∠D的度数为________度 答案：128° 4. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC=，如果D为圆上一点，且AD=2，那么∠DAC= 。 答案：30°或90° 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 通过探究得到了圆周角定理的3个推论。 2. 通过探究得到了圆内接四边形的内角和外角的性质。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：习题3.5。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 1、 圆周角定理的推论 2、 圆内接四边形 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课在复习上节课所学内容的基础上导入新课，整节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中使学生深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的研究方法。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$