九下 1.5 三角函数的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

5 三角函数的应用 课时导入 知识讲解 随堂小测 小结 学习目标 1.经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.（重点） 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明，发展数学应用意识和解决问题的能力.（难点） 课时导入 A C B a b c (1)三边之间的关系: a2+b2=c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º； (3)边角之间的关系: tan A= . sin A= , cos A= , 解直角三角形的依据： 回顾复习 知识讲解 应用1 方向角问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁. 一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55º的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 东 北 A B C 25° 55° A B 55° C 25° 你是怎样想的？与同伴进行交流. 20海里 D x 过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x. A B 55° C 25° 你是怎样想的？与同伴进行交流. 20海里 D x Rt△ABD中, Rt△ACD中, ∴BC=BD-CD=x·tan 55°-x·tan 25° ∴x= ≈20.79海里 ∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 想一想 应用2 仰角、俯角问题 如图，小明想测量塔CD的高度. 他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°, 30º 再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°，那么该塔有多高?（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 60º 50 m 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角. 30º 60º 50 m 解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高DC=x m. Rt△ADC中, . Rt△BDC中, . ∴ AB=AC-BC= . ∴ x= ≈43(m). 1.首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论. 2.找出问题中有几个直角三角形，或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 3.方程思想、转化思想的运用. 解题步骤: 做一做 应用3 坡度问题 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m). A D C B 40º 35º 4 m ？ 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? A D C B 40º 35º 4 m ？ 解：如图∠ACD=40°,∠ABD=35°, AC=4m. Rt△ACD中, ∴AD=4sin 40° . A B C 坡角 铅直高度h 水平宽度l α 坡度或坡比 坡角越大，斜坡越陡 坡度越大，斜坡越陡 知识拓展 随 堂 小 测 1. 已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）. D 2. 如图，C，D分别是某一湖的南、北两端A和B的正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°的方向上，则AB=_____ km . 3. 如图，小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为30°，A 处到地面B处的距离AB=30 m，则两栋楼之间的距离BC为（ ）. A. 30 m B. m C. m D. 60 m C 4. 如图，有两座建筑物DA 与CB，其中 CB的高为120 m，从DA 的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号） E 解：如图所示，过点A作AE⊥BC，垂足为E. 则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC. 设BE=x . 在Rt△ABE中，∠BAE=30°, 4. 如图，有两座建筑物DA 与CB，其中 CB的高为120 m，从DA 的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号） E 5. 如图，一条斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这条斜坡的坡度是（ ）. A. B. C. D. B 6. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AD= 3 m，坝高AE=DF=6 m，坡角∠α=45°，∠β=30°，求BC的长. 解：∵AD∥BC，且AE⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形AEFD是矩形. ∴AE=DF=6 m，AD=EF=3 m. ∵∠α=45°，∠β=30°， ∴BE=AE=6 m， 小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$