九下 2.4 第1课时 图形面积最大及抛物线型问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该教案聚焦二次函数在几何图形面积最值及抛物线型问题中的应用，以英国圈地运动历史情境导入，从实际面积问题出发，衔接二次函数性质，搭建“实际问题—函数模型—最值求解”的学习支架。 亮点在于以核心素养为导向，通过圈地运动、隧道拱桥等真实情境，引导学生用数学眼光观察现实问题，经历“设元—建模—推理—求解”过程，培养抽象能力与模型意识。探究式教学结合分层练习，助力学生掌握解题方法，也为教师提供结构化教学范例，提升课堂效率与学生应用能力。

4 二次函数的应用（第1课时） 课题 二次函数的应用（第1课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P46-48 教学目标 1.经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。 教学重难点 重点：1.经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。 难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 英国在15世纪末兴起了一场持续300余年的圈地运动，当时的封建地主、新贵族和新兴的资产阶级，强行用栅栏、围墙、壕沟等将古代农村公社残余下来的牧场、原始森林以及沼泽围圈起来作为牧场，末封建地主想要用1000m的围墙，一侧靠河（河流看作直线），圈一块130 000m2的矩形牧场，同学们觉得他能做到吗？如果做不到，他最多能圈多大面积的牧场？（多媒体呈现） 教师：其实利用二次函数，能够较为方便的求出最大面积，而今天这节课，我们就一块儿探究下如何利用二次函数确定相关图形的最大面积。（板书课题：二次函数的应用 第1课时） 以英国古代圈地运动为背景，创设情境，有助于提升学生学习的兴趣，同时引出问题和本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】几何图形的面积最值问题 例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40 m，AE=30 m， (1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,列出y关于x的函数关系式，写出x的取值范围。（多媒体呈现） （3）当x取何值时,y有最大值?最大值是多少？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：（1）由题意，得DC=AB=x m，DC∥AB，， ∴AD=AE－DE=AE－DCtan F=m。 （2）由题意，得y=x(30－x）(0＜x＜40）。 （3）y=x(30－x）=－x2+30x=－（x－20）2+300， 所以，当x=20时，y最大=300。 教师：如果将矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 学生：由勾股定理，得大直角三角形的斜边为50 m，斜边上的高24 m。 设矩形的一边AD = x m，另一边AB = a m，则，得。 所以，矩形的面积为： 。 因此，当x = 25时，。 教师：综上，如果我们要求一个矩形的最大面积，我们的解题思路是什么？ 学生：设未知数x表示矩形的一边长——用含未知数x的代数式表示另一边长，并求出自变量x的取值范围——列出面积y与未知数x之间的二次函数表达式——在取值范围内求出二次函数的最值。 例2 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 师生活动：教师出示问题，学生思考交流回答。 学生：∵7x+4y+πx=15， ∴。 ∵0<x<15，且0<<15， ∴0<x<1.48。 设窗户的面积是S m2，则 S= = = =。 ∴当x=≈1.07时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为4.02 m2。 【归纳总结】 教师：同学们，我们已经求过两类几何图形的最大面积，我们在解题时的共同思路是什么？ 学生：设未知数——用未知数表示面积，得到以面积为函数值的二次函数表达式——化顶点式，在自变量取值范围内求函数最值——得到最大面积。 【探究2】抛物线型问题 教师：生活中，有许多抛物线形状的物体，同学们都知道有哪些？ 学生：拱桥、隧道、喷泉... ... 教师：接下来我们就一块儿探究下二次函数中的抛物线型问题。 例3 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用表示。 （1） 一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？ （2） 如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？（多媒体呈现） 教师：同学们思考一下，怎么判断货车能否通过隧道，方法是什么？ 学生：可以通过计算隧道内1m宽、两米宽分别对应的最大高度，然后跟该卡车的高度进行对比，若该卡车高度小于最大高度，就能通过。 （1）卡车能通过。当x=±1时，y=3.75 ，3.75+2>4，所以卡车能通过。 （2）卡车可以通过。当x=±2时，y=3，3+2>4，所以卡车能通过。 教师：还有其他判断方法吗？ 学生：还可以通过计算隧道内4 m高对应的最大宽度，若卡车宽度小于最大宽度，就能通过。 当y=4-2=2时，x=8，所以（1）（2）中的卡车都能通过。 例4 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 米时，水面宽 6 米，水面下降 米，水面宽8米。无坐标系的拱桥问题，引导学生对于该类问题，先建系，再将实际问题转化为函数问题。 教师：拱桥问题，也是典型抛物线型的问题，与上一题不同的是，本题少了什么？ 学生：坐标系。 教师：所以，我们首先要做的是建立一个合适的坐标系， 那么如何建系可以使得解题简捷呢？ 学生：如图所示，建立坐标系。 教师：这样我们就将关于拱桥的实际问题，转化成二次函数求函数值的问题，即将求水面下降几米时，水面宽8米，转化为求x=4时，y的值是多少？同学们，现在可以解决这个问题了吗，尝试求下答案是多少。 学生：由题意可得,AO=OB=3米，C坐标为(0,2）， 设抛物线表达式为y=ax2+2， 把A点坐标（-3,0）代入，得9a+2=0,解得a=， ∴抛物线表达式为y=x2+2。 当x=4时，y=，所以水面下降米。 【归纳总结】教师：抛物线型问题，本质上就是点的横坐标、纵坐标以及函数表达式之间的交替求解。 ①求函数表达式用待定系数法； ②已知函数表达式及横坐标，纵坐标中的一个，求另一个。 探究利用二次函数解决矩形面积最值问题的一般思路。 让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤。 3.学以致用，应用新知 考点1 几何图形的面积最值问题 如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10 m，则这块矩形场地的最大面积为 　 　m2。 答案：32 考点2 抛物线型问题 如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m．那么两排灯的水平距离是（　　） A．2 m B．4 m C． m D． m 答案：D 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 用长为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x（m），则窗框的透光面积y（m2）关于x（m）的函数表达式为（　　） A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x） 答案：C 2. 如图，九（1）班同学准备用8米长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是（　　） A．米2 B．米2 C．8米2 D．米2 答案：C 3. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图1）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图2），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA'等于（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 答案：A 4. 晋阳高速扩建工程作为省市重点项目，是全省第一条“四改八”高速公路，也是全省在建十四条高速公路的品质示范和绿色示范项目．牛王山隧道是晋阳高速的一处路段，如图，隧道的横截面为抛物线形的隧道，底部宽14 m，高7 m，隧道内双车道通行，交通部门规定车辆必须在中心线两侧行驶，在隧道内禁止变道，且距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，则通过隧道车辆的限高（最大高度）是 　 　m． 答案：3 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 经历探究几何图形最大面积问题，会将最大面积问题转化为函数最值问题； 2. 经历探究抛物线型问题的过程，能够建立合适的坐标系，将抛物线型问题转化为确定函数表达式以及求横、纵坐标问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：P47 习题2.8。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 二次函数的应用（第1课时） 1、 几何图形的最大面积问题 2、 抛物线型问题 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课，以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则。在探究过程中，充分发挥学生的主观能动性，从思考到交流讨论再到总结归纳，使学生在探究中学，将知识的学习渗透到整堂课中。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$