九下 2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 二次函数的图象与性质（第2课时） 课题 二次函数的图象与性质（第2课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P35-36 教学目标 1. 能够利用描点法作出函数y=ax2（a≠0）的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=ax2（a≠0）的性质。能正确说出y=ax2（a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2. 能够作出函数y=ax2+c（a≠0）的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=ax2+c（a≠0）的性质。能正确说出y=ax2+c（a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 教学重难点 重点：作出函数y=ax2（a≠0）和y=ax2+c（a≠0）的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2（a≠0）和y=ax2+c（a≠0）的性质。 难点：理解二次函数y=ax2（a≠0）和y=ax2+c（a≠0）图象之间的关系，理解二次函数y=ax2+c（a≠0）中a和c对函数图象的影响。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 上节课，我们一块儿探究了二次函数y=x2以及y=﹣x2的图象与性质，同学们，还记得我们学过哪些内容吗，请快速完成下表。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考回答。 函数 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 学生： 函数 y=x2 y=﹣x2 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线x=0） y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，0） （0，0） 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值，最小值是0 当x=0时，y有最大值，最小值是0 教师：今天这节课我们将在此基础上对二次函数的图象进行进一步的探索与研究。（板书课题：二次函数的图象与性质 第2课时） 通过复习二次函数y=x2以及y=﹣x2的图象与性质，进一步巩固旧知，同时又为学习新知打好基础。 2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=ax2的图象 教师：在平面直角坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象。（多媒体呈现） (1)完成下表： x … … y=x2 … … y=2x2 … … (2)分别画二次函数y=x2和y=2x2的图象。 (3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 学生：（1） x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … （2）图象如图所示。 (3)二次函数y=2x2的图象是抛物线，它与y=x2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标都相同； 不同之处是：y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧，开口更小说明y=2x2函数值的增长速度较快。 二次函数y=2x2的图象的开口方向向上，对称轴为y轴（或直线x=0），顶点坐标是（0，0）。 教师追问：在该坐标系中，继续画出y=x2的图象，它与y=2x2，y=x2的图象有什么相同和不同。 学生：图象如图所示。 二次函数y=x2的图象是抛物线，它与y=2x2，y=x2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标都相同； 不同之处是：y=x2的图象在y=x2的图象的外侧，开口更大，说明y=x2函数值的增长速度较慢。 教师：对于函数y=ax2（a＞0）中，a对函数图象有什么影响？学生：当a＞0时，图象开口向上，且a越大，开口越小。在探究完y=ax2（a＞0）图象的基础上，由学生自主探究y=ax2（a＜0）中a对函数图象的影响。 教师：那么当a＜0时，a对函数图象又有什么影响？ 学生：通过作出y=﹣x，y=﹣2x，y=﹣x2的图象发现，当a＜0时，图象开口向下，且|a|越大，开口越小。 【归纳总结】二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质（多媒体呈现） 师生活动：由教师引导，学生完成总结。 函数表达式 顶点坐标 （0，0） （0，0）由学生归纳梳理二次函数y=ax2（a≠0）中a对函数图象的影响，及时巩固学生对y=ax2（a＞0）图象性质的理解。 对称轴 直线x＝0 直线x＝0 位置 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 开口方向 向上 向下 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，最小值为0 当x＝0时，最大值为0 开口大小 |a|越大，开口越小 【探究2】二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象与性质 师生活动：教师提出问题，学生思考交流，对于图象间的关系，教师可适当引导。 教师：在同一坐标系中分别作出二次函数y=2x2与y=2x2+1，y=2x2－1的图象。观察表格和图象，y=2x2+1，y=2x2－1的图象与y=2x2的图象有什么关系？二次函数y=2x2+1，y=2x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数y=ax2+c（a≠0）中c对函数图象的影响，以及图象间的平移关系，培养学生的动态思维。 学生：列表。 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 y=2x2+1 19 9 3 1 3 9 19 y=2x2－1 17 7 1 ﹣1 1 7 17 二次函数 y = 2 x²，y = 2 x² + 1，y = 2 x² - 1 的图象都是抛物线，且二次项系数a=2，所以图象的开口大小、方向相同，即形状相同。将二次函数 y = 2 x² 的图象向上平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² + 1 的图象；将二次函数 y = 2 x² 的图象向下平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² - 1 的图象。 二次函数y=2x2+1，y=2x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标如表所示。 函数表达式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2－1 开口方向 向上 向上 向上 对称轴 y轴（或直线x=0） y轴（或直线x=0） y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，0） （0，1） （0，-1） 【归纳总结】（多媒体呈现） 1. 二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象与性质 抛物线 y=ax2+c（a＞0） y=ax2+c（a＜0） 顶点坐标 （0，c） （0，c）由学生归纳梳理函数y=ax2+c（a≠0）的图象性质，以及a，c对函数图象的影响，教师补充调整。 对称轴 直线x＝0 直线x＝0 开口方向 向上 向下 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，最小值为c 当x＝0时，最大值为c 2. 二次函数y=ax2+c（a≠0）中a，c对函数图象的影响 a决定函数图象的开口方向：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下； |a|决定函数图象开口的大小：|a|越大，开口越大。 c决定图象与y轴的交点位置。 3. 二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c（a≠0）的图象之间的关系 y=ax2+c（a≠0） 的图象可以看成y=ax2（a≠0）的图象沿轴整体上(下)平移|c|个单位(当c>0时,向上平移;当c<0时,向下平移)得到的。 由学生作出a（a＞0）值不同的二次函数图象，通过对比得出二次函数y=ax2中a对函数图象的影响。 3.学以致用，应用新知 考点 二次函数的图象与性质 P36随堂练习1，2 变式训练 1. 函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到。 答案：上 5 下 11 2. 将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。 答案：下 4 上 7 上 9 3. 将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。 答案：y=4x2+3 4. 抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。 答案：向下 y轴 （0，5） 增大 减小 0 大 5 在知识梳理的基础上，通过及时的练习，进一步提升学生对二次函数的图象与性质的理解掌握，同时教师可根据学生的掌握情况及时讲解。 4.随堂训练，巩固新知 1．对于二次函数y＝﹣2x2，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象关于直线x＝0对称 C．图象开口向上 D．无论x取何值，y的值总是负数 答案：B 2．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 答案：D 3．函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 答案：D 4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　 　。 答案：a＞b＞d＞c 5．已知函数y＝ax2与函数y＝﹣x2+c的形状完全相同，且抛物线y＝ax2沿对称轴平移2个单位就能与y＝﹣x2+c完全重合，求这两个函数的表达式． 解：∵函数y＝ax2与函数y＝﹣x2+c的形状完全相同， ∴a＝﹣，∴函数为y＝﹣x2。 又∵抛物线y＝﹣x2的对称轴为y轴， ∴抛物线y＝﹣x2的图象沿对称轴平移两个单位后就能与y＝﹣x2+c的图象完全重合， ∴平移后的二次函数的表达式为y＝﹣x2±2。 ∴这两个函数的表达式为y＝﹣x2和y＝﹣x2±2。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1.经历了探索二次函数y＝ax2和y＝ax2+c的图象与性质的过程； 2.理解二次函数y=ax2+c（a≠0）中a和c对函数图象的影响。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：P36 习题2.3。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 二次函数的图象与性质（第2课时） 1、 二次函数y=ax2 2、 二次函数y=ax2+c 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识。在教学过程中，先通过表格中数据的变化规律去理解函数的变化趋势，再让学生动手画图象，通过学生自己画的图象去印证发现的变化趋势，加深他们对函数图象的了解，也加深他们对函数性质的了解，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去，这样学生才能真正理解并掌握它。其次合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，几何画板等软件画出的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax²及y=ax2+c的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。整节课是一个动手作图、动眼观察、动脑猜想、实践验证、巩固应用的动态生成过程，学生能力得到培养。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$