九上 6.1 反比例函数-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

该教案聚焦反比例函数概念，通过导体电流与电阻关系、列车行驶时间与速度关系等现实情境导入，联系已学函数知识，搭建从具体变量关系到抽象概念的学习支架。 以现实问题为载体，小组合作抽象变量关系，体现“用数学眼光观察现实世界”，如矩形面积、人均耕地问题培养抽象能力；归纳定义时引导自主总结表达式形式，发展“数学思维”中的推理意识；例题与变式训练强化“数学语言表达”，助学生构建模型观念。提升学生抽象与应用能力，为教师提供结构化教学流程，落实重难点。

1 反比例函数 课题 第1节 反比例函数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P149-150 教学目标 1.经历从现实情境中抽象出反比例函数概念的过程，初步理解反比例函数所反映的变量之间的关系，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型。 2.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 教学重难点 重点：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 难点：理解反比例函数的概念。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师出示问题。 问题1：我们知道，导体中的电流I，与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR。当U=220 V时， （1）你能用含有R的代数式表示I吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ （3）变量I是R的函数吗？为什么？ 问题2：京沪高速铁路全长约为1 318 km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？变量t是v的函数关系吗？为什么？ 师生活动：教师先让学生进行小组合作交流，再在全班范围内进行问答或交流。学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数，了解所讨论的函数的表示形式。 这节课，我们来学习反比例函数。（教师板书课题： 第1节 反比例函数） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究】 在上述问题中，变量I与R之间的关系可以表示成：I=； 变量t与v之间的关系可以表示成：t=。 教师提问：同学们还能举出类似的实例吗？与同伴交流。 学生活动：结合物理学知识以及小学学过的反比例的知识，学生很容易能举出一些实例，教师应引导用自己的语言表达所举实例中变量的关系。 教师追问：上面的函数关系式有什么共同特点，同学们能说出反比例函数的定义吗？ 学生回答：上面的函数关系式，都具有y=的形式，其中k是常数。 【归纳总结】 1.反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 2.反比函数的表达式形式 （1）； （2）； （3）。 注意：（1）常数k≠0； （2）自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）； （3）当写为时注意x的指数为-1； （4）由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。 做一做： 1.一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 预设：变量y是变量x的函数，是反比例函数，。 2.某村有耕地346.2 hm2，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（hm2/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 预设：该村人均占有耕地面积m（hm2/人）是全村人口数n的函数，是反比例函数，。 3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值。 x -2 -1 - 1 3 y 2 -1 （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。 预设：（1）。 （2） x -3 -2 -1 - 1 2 3 y 1 2 4 -4 -2 -1 - 师生活动：教师鼓励学生类比前面的情境以及反比例函数的概念自主完成前2题，小组交流、展示；对于第3题，教师可以指导学生知道只要一组x，y的值就可以确定反比例函数的表达式，让学生感受函数表达式与函数表格的相互转化。 想一想： 上述问题中，自变量能取哪些值？ 师生活动：教师鼓励学生自己说一说。 在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型。 通过完成“做一做”题目，既巩固反比例函数的定义式，又纠正学生题目步骤的规范化，学生知道确定一个反比例函数关系的关键是求得的值。学生加强了对概念的理解，并初步体会函数表达式与函数表格的相互转化。 让学生了解：自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分。 3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数的相关概念 例1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. y=-2x B. y=- C. y=- D. y=- 答案：C 变式训练 下列关系式中的y是x的反比例函数的个数（ ） ①y=；②y=；③y=1-x；④xy=1；⑤y=2x-1；⑥y=。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 答案：B 考点2 确定反比例函数的表达式 例2 已知函数是正比例函数时，则m=_______；若是反比例函数时，则m=_______。 答案：8 6 变式训练 九年级英语全册约有单词1 200个，小明同学计划用x（天）全部掌握，那么平均每天需要记忆的单词量y（个）与时间x（天）之间是______函数，函数关系式为_______。 答案：反比例 y= 通过例题的讲解，巩固学生理解反比例函数的相关概念，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生掌握确定反比例函数的表达式，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ） A. 小明完成100 m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系 B. 菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系 C. 一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系 D. 压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系 答案：C 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 3. 已知函数y=（m-3）x2|m|-3是反比例函数，则m的值是（ ） A. ±1 B. -1 C. 1 D. 3 答案：A 4. 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄。当车速为50 km/h时，视野为80度。如果视野f（度）是关于车速v（km/h）的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为_______；当车速为100 km/h时，视野的度数为_______度。 答案：f= 40 5. y是x的反比例函数，下图给出了x与y的一些值： x -3 -2 -1 y 2 -1 （1）求出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。 解：（1）y=。 （2） x -3 -2 -1 2 y 1 2 -1 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 2.反比例函数的表达式形式 （1）； （2）； （3）。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P150-151习题6.1中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1节 反比例函数 1.反比例函数的定义 2.反比例函数的表达式形式 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课直接通过实例引入新的教学内容，通过独立思考、小组合作等形式，运用类比的思想方法得到反比例函数的概念，再经过练习巩固概念，由深化新知，进一步体会反比例函数的实际意义。反比例函数概念形成的过程中，应充分利用学生已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$